1、1实变函数与泛函分析教学大纲应用数学与信息计算等专业使用修订单位：山东财政学院统计与数理学院修订时间： 2009 年 8 月修订1课程中文名称：实变函数与泛函分析课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis课程号：30001001学时数：68学分数：4先修课程：数学分析、线性代数适用专业：应用数学与信息计算等专业。一、课程的性质和任务1. 课程性质 实变函数与泛函分析是数学专业的一门专业基础课程。 实变函数课程结合抽象测度与积分理论, 介绍 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分的理论。 通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的
2、基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。 泛函分析课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻
3、，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代2数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。2. 课程任务通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解
4、决问题的能力。从内容上，通过这门课程的教学应使学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程。系统掌握 Lebesgue 测度和 Lebesgue 积分理论，距离空间的一些基本概念，赋范线性空间与内积空间基本概念，有界线性算子的概念，共轭空间以及 Banach 空间一系列重要基本定理，线性算子性质，泛函表示定理，共轭算子，自共轭算子概念等，使学生了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养抽象的思维能力，为进一步钻研现代数学数学理论打下基础。从能力方面，加强学生抽象思维能力、逻辑推理能力、自学能力与科学创新能力培养。从教学方法上，坚持“学生是学主体、教师
5、是教关键”的人性化教育的指导思想。努力启发学生的学习积极性、主动性, 指导学生学习数学的思维方法, 掌握数学的基本理论与技巧。课堂教学采取启发式、互动式。作业布置精心挑选, 各种方法、各种题型都能得到练习, 举一反三。注重基本概念的实际背景和概念的形成过程。二、课程教学内容第一章 集合教学目的与要求：要求理解与掌握的基本内容：集的运算及其运算规律，映射以及与映射有3关的一些概念。集的等势，可数集概念及其基本性质，实数集的不可数性。教学重点与难点：集的对等，Cantor 三分集具有完备性，稀疏性。教学内容：1、集与集的运算： 集的概念，集的运算，De Morgan 公式2、映射与集的对等：映射的
6、概念，Bernstein 定理3、可数集与基数： 集的对等，集的基数，可数集与不可数集，可数集的性质及其例子第二章 点集教学目的与要求：本章介绍实变函数论必需的直线上的点集的概念和知识。度量空间 n 维欧氏空间 ,聚点内点 界点, 开集闭集完备集，直线上的开集、闭集及完备集的构造。要求掌握直线上的开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包，完备集等概念，理解开集的构造定理及 Cantor 三分集的完备性，稀疏性。理解Bernstein 定理，了解序集概念以及 Zorn 引理，Zermelo 选择公理。教学重点与难点：开集的构造定理以及由一个集的所有子集构成的集的势。Cantor 三分集具有完备性，稀疏
7、性。教学内容：1、度量空间，n 维欧氏空间：度量空间的定义，n 维欧氏空间、欧几里得距离的概念，邻城及基本性质，非空点集间的距离等。2、聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass 定理。43、开集、闭集及其性质、Heine-Bore（有限覆盖定理）4、直线上的开集、闭集及完备集的构造第三章 测度教学目的与要求：掌握直线上的开集与闭集的测度以及直线上有界集的内外测度以及Lebesgue 测度以及可测集的概念，理解可测集对可列并，及余的封闭性，理解Lebesgue 测度的完全可加性以及可测集的 Caratheodory 条件。教学重点与难点：直线上的有界可测集的概念与此同时性质，L
8、ebesgue 测度的完全可加性，可测集的 Caratheodory 条件。教学内容：1、有界点集的外、内测度，可测集： 直线上有界开集，闭集的测度及基本性质，直线上有界集的外，内测度，Lebesgue 可测集及测度。2、 可测集的性质：直线上有界集可测的充要条件，可测集的补集是可测的，可测集关于集合的并、交运算是封闭的，测度的单调性，可测集关于集合的可列并，可列交运算是封闭的测度的完全可加性，可测集的 Caratheodory 条件，渐张可测集列以及渐缩可测集列的测度性质。第四章 可测函数教学目的与要求：了解可测度函数类并讨论它的性质，为下面学习 Lebesgue 积分做准备。理解可测函数的
9、基本性质，可测函数的几个等价条件，几乎处处的概念，可测函5数的上、下确界函数的可测性，可测函数的上、下极限函数及极限函数的可测性。可测函数可以用简单函数来逼近，两个可测函数的和、差、积、商（假定运算几乎处处有定义）的可测性；集列的上、下限集及极限集，叶果洛夫定理可测函数列测度收敛与几乎处处收敛之间的关系，Riesy 定理。教学重点与难点：可测度函数可以利用简单函数来逼近，可测度函数以测度收敛与几乎处处收敛的关系，可测函数用连续函数逼近；叶果洛夫定理，Riesy 定理。教学内容：1、可测函数及其性质：可测函数的定义及等价条件，可测函数与连续函数的关系，可测函数与简单函数的关系，可测函数在和、差、
10、积、商及极限运算下的封闭性。2、 叶果洛夫（Eropoff）定理3、可测函数的构造及依测度收敛：依测度收敛及性质，依测度收敛、逐点收敛、几乎处处收敛的关系。第五章 可测函数的积分教学目的与要求：在前面所讲的测度论的基础上讨论 Lebesgue 积分，它是本课程的重要内容。了解简单函数的积分及性质、非负可测函数的积分、可测函数的积分、无界集上可测函数的积分；Lebesgue 积分的有限可加性、绝对连续性、-可加性，非负单增简单函数列积分与极限次序的交换、Lebesgue 积分的线性、单调性、唯一性，可积函数可用简单函数或连续函数平均逼近；Levi 定理、 Fatou 定理、 Ledesgue 控
11、制收敛定理有界收敛定理；R 积分与 L 积分的比较。教学重点与难点：6多元函数的偏导数与全微分；求二元函数极值；直角坐标系与极坐标系下二重积分。教学内容：1、可测函数及其性质：可测函数的定义及等价条件，可测函数与连续函数的关系，可测函数与简单函数的关系，可测函数在和、差、积、商及极限运算下的封闭性。2、 积分的性质：积分的有限可加性，积分的绝对连续性，积分的 -可加性，非负单增简单函数列积分与极限次序的交换，积分的线性，积分的单调性，积分的唯一性，可积函数可用简单函数或连续函数平均逼近。3、 积分序列的极限：Levi 定理、 Fatou 定理、 Ledesgue 控制收敛定理有界收敛定理。4、
12、 R 积分与 L 积分的比较：定义在有限区间上的 R 可积函数必 L 可积（反之不然） ，有关积分与极限次序的交换 L 积分优于 R 积分，有关 Newton-Leibniz 公式 L 积分优于 R 积分。第六章 距离空间、线性赋范空间教学目的与要求：要求学生熟练掌握距离空间、线性赋范空间的定义；压缩映象原理，距离空间的完备化，Banach 不动点原理及应用；Banach 空间的定义及例，线性赋范空间中的闭子空间，Riesz 引理与有限维空间的刻画。教学重点与难点：距离空间的完备化，Banach 不动点原理及应用。教学内容：1、度量空间的定义及例子；度量空间中的极限、稠密集、可分空间2、连续映
13、射73 、柯西点列和完备度量空间。4、度量空间的完备化5、压缩映射原理、不动点定理及其应用6、赋范线性空间和巴拿赫空间第七章 线性算子教学目的与要求：掌握线性算子的基本概念、基本性质；有界线性算子空间的相关概念；共鸣定理及其应用；开映射定理与与闭图像定理。教学重点与难点：共鸣定理及其应用；开映射定理与与闭图像定理。教学内容：1、线性算子与有界线性算子空间：线性算子与线性泛函的定义及例，线性算子或泛函的连续性与有界性的刻画，有界线性算子与泛函的例，有界线性算子空间的定义及其完备性刻画2、共鸣定理及其应用：共鸣定理及其推论, 共鸣定理的应用举例3、开映射定理与与闭图像定理第八章 线性泛函教学目的与
14、要求：学习有界线性算子与连续线性泛函，算子的范数，经典空间的共轭空间；有界线性泛函的 Hahn-Banach 延拓定理；有界线性泛函的表示、共轭空间与共轭算子。8教学重点与难点：有界线性泛函的 Hahn-Banach 延拓定理；有界线性泛函的表示、共轭空间与共轭算子。教学内容：1、线性泛函的基本性质2、Hahn-Banach 延拓定理、 Hahn-Banach 延拓定理的若干推论 .3、某些空间上的有界线性泛函的表示4、共轭算子三、学时分配章 次 题 目 学时分配第一章 集 合 6第二章 点 集 8第三章 测 度 8第四章 可测函数 8第五章 可测函数的积分 8第六章 距离空间、赋范线性空间
15、10第七章 线性算子 8第八章 线性泛函 8期中复习、考试 2期末复习 2合计 64四、课程教学的基本要求1.课堂讲授以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。92.习题课、课外作业、答疑每章末适时地组织习题课，每节课结束布置相应的课外作业，作业的主要目的是复习巩固课上讲解的内容，掌握解题思路和过程，平时课内外及时答疑。五、本课程与其他课程的联系与分工本课程的先修课程：数学分析、线性代数.本课程的后续课程：复变函数，非线性泛函分析等六、建议教材及主要参考资料1.建议教材1实变函数与泛函分析 ，郭大钧等，山东大学出版社；2005.7 第二版.102.主要参
16、考资料1 夏道行等, 实变函数与泛函分析, 北京, 高等教育出版社, 1987.2 张恭庆等，泛函分析讲义，北京，北京大学出版社, 1987。3 周民强, 实变函数, 北京, 北京大学出版社, 1995.4 W.Rudin, 泛函分析, 刘培德译, 北京, 机械工业出版社,2004.5 程其襄，张奠宙等： 实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社，20046 F.黎茨，B.塞克福尔维-纳吉著，庄万等译：泛函分析讲义第一卷，第二卷，科学出版社，1981.7 郑维行，王声望， 实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社，1992（第二版） 本课程的考核方法为：平时成绩 10%（考勤 + 平时作业）+期中考试 20% +期末考试（闭卷）70%。
