实变函数与泛函分析5.2-5.4new.doc

1、5.2 非负简单函数的勒贝格积分定义 设 为可测集， 为 E 上一个非负简单函数，即 E 表示为有限个互不相qER()x交的可测集 之并，而在每个 上， 取非负常值 ，也就是说12,.ki()xic, 这里 是 上的特征函数.1()()ikEixcx()iExi在 E 上的勒贝格积分（简称 L 积分）定义为 () 1()kiExdcmE定理 1 设 为可测集， 为 E 上一个非负简单函数.我们有qR()x（i） 对于任意的非负实数 c, ;()Ecdx（ii） 设 A 和 B 是 E 的两个不相交的可测子集，则()()()ABxdx（iii ） 设 是 E 的一列可测子集，满足1n ,121n

2、A n1则 lim()()nAExdx定理 2 设 为可测集， 和 都是 E 上的非负简单函数.则qR()x（i） ;()()(EEExxd(ii)对于任意的非负实数 ，有和.()()()()EEExdxdxx5.3 非负可测函数的勒贝格积分定义 设 为可测集， 是 E 上一个非负可测函数， 在 E 上的勒贝格积qER()fx()fx分定义为.()sup(): 0()EEfxddxf 是 上 的 简 单 函 数 且 时 ，显然 ，如果 ，则称 f(x)在 E 上勒贝格可积.0f()Efxd定理 1 设 为可测集， 为 E 上一个非负可测函数.我们有qR（i） 若 mE=0，则 ()0Efx（i

3、i） 若 ，则 f(x)=0 a.e.于 E；()Efd（iii ） 若 ，则 a.e.于 E；x()fx（iv） 设 A 和 B 是 E 的两个不相交的可测子集，则.()()()ABfdffd定理 2 设 为可测集， 和 都是 E 上的非负可测函数.我们有qRx()g（i） 若 a.e.于 E，则 ，这时，若 在 E 上 L()fxg()fxgdx()gx可积，则 也在 E 上 L 可积；（ii） 若 a.e.于 E，则 ；特别地，若 a.e.于()fx()()Efxx()0fxE，则 .0d定理 3（列维 Levi）设 为可测集， 是 E 上的一列的非负可测函数.当qR1nf时对于任一自然

4、数 n，有 ，令 ， ，则x()()fx()lim()nfxfxE.()()nEEfdfx定理 4 设 为可测集， 和 都是 E 上的非负可测函数， 都是非qR()fxg和负实数，则.()()()()EEEfxgdxfdd特别地 ，()()EEfxdfxd( ()Eggx定理 5（逐项积分定理） 为可测集， 是 E 上的一列的非负可测函数，则qR1nf.11()()nnEEfxdfxd定理 6【法图（Fatou）引理】 为可测集， 是 E 上的一列的非负可测函数，q1nf则.lim()li()nnEEfxdfxd5.4 一般可测函数的勒贝格积分定义 为可测集， 为 E 上的可测函数.令qER(

5、)fx()max()0ma()0.ff fx， ， ，则 和 都是 E 上的非负可测函数，当 时 ()(),()fxffxfxf若 和 中至少一个有限，则称 f 在 E 上积分确定，称EdEd为 f 在 E 上的勒贝格积分，简称 L 可积.()()fxfx定理 1 设 为可测集，我们有qR（i） 若 但 ，则 E 上的任何实函数 f 都在 E 上 L 可积且E0m；()fxd（ii） 若 ，则 ，即 a.e.于 E；L(+)0f()fx（iii ） 设 f 在 E 上积分确定，则 f 在 E 的任一可测子集 A 上也积分确定，又若,这里 A 和 B 都是 E 的可测子集且 ，则B；()()()

6、fxdfxfxd（iv） 设 f 在 E 上积分确定且 a.e.于 E，则 g 也在 E 上积分确定且()fxg；()()xdg（v） 设 f 和 g 都在 E 上积分确定且 a.e.于 E，则()fx()()Exxd特别地若 且 a.e.于 E，则 ；m()bfB()EbmfxdBm（vi） 设 f 在 E 上 L 可积，则 也在 E 上 L 可积，且 ；f ()Efxd（vii） 设 f 是 E 上的可测函数， g 是 E 上的非负可积函数且 a.e.于 E，则()gff 也在 E 上 L 可积且 .()()Efxdfxxd定理 2 设 为可测集，设 f 和 g 都是 E 上的 L 可积函

7、数，则qR（i） 对于任意的 ， 在 E 上 L 可积且()()Efxdfx（ii） 在 E 上 L 可积且fg()(Efxgd（iii ） 对于任意的 在 E 上 L 可积，且,Rg()()()()Efxdxfdxgdx定理 3（积分的绝对连续性）设 为可测集， ,则对于任意的 .存在qf0.使得对于任意的可测集 ，只要 ，就有0AEm()()EEfxfxd定理 4（积分的可数可加性）设 为可测集， ,这里每个 都是可测集且qR1nn时 ，设 f 在 E 上积分确定，则ijijE1()()nEEfxdfxd定理 5（勒贝格控制收敛定理）设 为可测集， 是 E 上的一列可测函数.F 是qnfE

8、 上的非负 L 可积函数，如果对于任意的自然数 n， a.e.与 E 且()xFa.e.于 E，则lim()nfxf（i） ；lm()0nEnfxfd（ii） .()Ex定理 6 设 为可测集， 都是 E 上的可测函数，F 是 E 上的非qR(1,23)nf和负可积函数，如果 a.e.与 E 且 时 ，则()nfxFnf(i) ;lim0End(ii) ；()()nEfxfx定理 7 设 为可测集， 是 E 上的一列 L 可积函数.如果正项级数qR1nf收敛，则函数项级数 在 E 上 a.e.收敛，其和函数在 E 上 L 可积，且1()Enfxd1()nfx11()()nnEEffxd定理 8 设 为可测集， 是 上的是函数.如果对于任意的qR(,)fxt(,)Eab作为 x 的函数在 E 上 L 可积，对于 a.e.的 ， 作为 t 的函数在(,),tabftx(,)f上可导且 ，这里 F 是 E 上某个非负 L 可积函数，则,(,)(ft作为 t 的函数在 上可导，且(,)Efxtd,ab.)Efxtdt（