1、第三节 可测集的结构,第三章 测度论,注：开集、闭集既是 型集也是 型集；有理数集是 型集，但不是 型集；无理数集是 型集，但不是 型集。,有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集； 通过取余 型集与 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）,例 区间 是可测集，且,注：零集、区间、开集、闭集、 型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发 通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。,证明见书本p66,2. 可测集与开集、闭集的关系,即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）， 从而可测集基本上是至多可数
2、个开区间的并。,证明：若(1)已证明，由Ec可测可知,取F=G c，则F为闭集,(1).若E可测，则,证明:(1)当mE+时，由外测度定义知,从而（这里用到mE+ ）,对每个Ei应用上述结果,(2)当mE=+时， 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：,例,证明：对任意的1/n，,例：设E为0,1中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。,例：设E*为0,1中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小测度集的开集和闭集。,开集: (0,1)闭集：,开集： 闭集：空集,3. 可测集与 集和 集的关系,可测集可由 型集去掉一零集， 或 型集添上一零集得到。,(2).若E可
3、测，则存在 型集H, 使,(1).若E可测，则存在 型集 O, 使,(1).若E可测，则存在 型集 O, 使 (2).若E可测，则存在 型集H, 使,证明：若(1)已证明，由Ec可测可知,取H=O c，则H为 型集 ， 且,(1).若E可测，则存在 型集 O, 使,证明：对任意的1/n，,例：,例：设E*为0,1中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的 型集或 型集。,设E为0,1中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的 型集或 型集。,注：上面的交与并不可交换次序,类似可证：,证明:由外测度定义知,第四节 不可测集,存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73 ; 1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理）,存在不是Borel集的可测集 （利用Cantor函数和不可测集构造）参见：实变函数周民强 , p87,
