1、1实变函数与泛函分析概要第一章 集合 基本要求：1 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。2 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。3 会求已知集合的并、交、差、余集。4 了解对等的概念及性质。5 掌握可数集合的概念和性质。6 会判断己知集合是否是可数集。7 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。8、了解半序集和 Zorn 引理。第二章 点集 基本要求：1 理解 n维欧氏空间中的邻域、区间、开区 间、闭 区间、体积的概念。2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。4、 会求己知集合的开集和导集。5
2、、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。7、 了解 Peano 曲线概念。主要知识点：一、基本结论：1 聚点性质2 中 T1 聚点原则：P0 是 E 的聚点 P0 的任一 邻域内，至少含有一个属于 E 而异于 P0 的点 存在 E 中互异的点列Pn，使 Pn P0 （n ） 2 开集、导集、闭集的性质2 中 T2、T3T2：设 AB，则 AB， ， 。 2T3：（AB）=A B.3 开（闭）集性质（3 中 T1、2、3、4、5）T1：对任何 ER，是开集，E和 都是闭集。 （称为开核， 称为闭包的理由也在于 此）T2：（开集与闭集的
3、对偶性） 设 E是开集， 则 CE是闭集；设 E是闭集， 则 CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。T4：任意多个闭集之交仍是 闭集，有限个闭集之和仍是闭集。T5：（Heine-Borel有限覆盖定理） 设 F是一个有界 闭集， 是一开集族Uii I它覆盖了 F（即 F Ui），则 中一定存在有限多个开集 U1，U2Um，它们同样覆 盖了 F（即 F Ui）（iI） 4 开（闭）集类、完备集类。开集类：R，开区间，邻域、P闭集类：R，闭区间，有限集，E、 E、P完备集类：R，闭区间、 P二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、
4、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。第三章 测度论 基本要求：1 理解外测度的概念及其有关性质。2、 掌握要测集的概念及其有关性质。3、 掌握零测度集的概念及性质。4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。5、 会利用本章知识计算一些集合的测度。6、 掌握“判断集合可 测性 ”的方法，会进行有关可测集的证明。要点归纳：3外测度：定 义：ER Ii（开区间） Ii E m*（E）=inf Ii 性质：(1) 0m*E+（非负）（2）若 AB 则 m*A m*B（单调性）（3）m* （ Ai） m*Ai（次可列可加性） 可测集：ER 对任意的 TR有：m *（T）= m
5、*（TE）+ m*（TCE）称 E 为 可测集，记为 mE 其性质：1）T1：E 可测 AE BCE使 m*（AB）= m*A+ m*B2）T2：E 可 测 CE 可 测运算性质： 设 S1、S2 可测S 1S2 可测（T3）；设 S1、S2 可测 S1S2 可测 （T4）；设 S1、S2 可测 S1-S2 可测 （T5）。 S1、S2Sn 可测 Si 可测 （推论 3） Si可测（T7） S1、S2Sn 可测，S iSj= Si 可测 m(Si)= m(Si)(T6) Si递增,S 1S2S3lim(Si)=lim mSi=Ms(T8) Si递降可测, S 1S2S3当 mS1是可测集，称
6、（x）是 E 上的可测函数 可测任意的 R E是可测集任意的 R E 在 Ei上可测S S 3 （四则运算） ，g 在 E 上可测 +g，g，1/ 在 E 上可测。4 极限运算 n是可 测函数列， 则 =inf n （x）=sup n 可测（T5）F=lim n G= n 可测 lim5 与简单函数的关系： 在 E 上可测 总可以表成一列 简单函数 n的极限函数 = n，而且可以 办到 123lim n2.opO定理：mE0 存在子集 EE 使得 n 在 E上一致收敛 且 m（E-E）0 闭子集 E E 使得 在E上 连续 且 m（E-E）a 是可测集2 集合分解法，E=E i EiEj= f
7、在 Ei 上可测3 函数分解法，f 可表为若干函数的运算时4 几乎处处相等的函数具有相同的可测性（1，T 8）5 可测函数类2 判断三种函数之间的关系 第五章 积分论 基本要求：1 了解可测分划、大（小）和、上（下）积分、有界函数 L 可积和 L积分的概念。2、 掌握有界函数 L积分的性质。3、 理解非负函数 L积分与 L 可积的概念。4、 理解一般函数的 L积分确定、L 积分与 L 可积的概念。5、 掌握一般函数的 L积分的性质。6、 掌握 L积分极限定理。7、 弄清 L积分与 R积分之间的关系。8、 熟练掌握计算 L积分的方法。9、 会利用 L积分极限定理进行有关问题的证明。10、了解有界
8、变差函数的概念及其主要性质。11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。7Lebesgue积分1、 Riemann 积分 分割、作和、取确界、求极限。2、 Lebesgue积分定义 1：E= Ei,各 Ei 互不相交，可 测， 则称E i为 E 的一个分划，记作 D=Ei 定义 2：设 f 是定义在 ER（mE =constfVbaffT-4(Lebesgue)设 Va，b,则f1) 在a，b 上几乎处处存在导数 f(x)2) f(x)在a，b 上可积3) 若 f 是增函数,有 f(x)dxf(b)-f(a) 不定积分定义 1:设 在a，b上 L 可 积, La，bffa,x d
9、x 称为 在a，b上的不定积分f定义 2:设 F(x) 是a ，b上的有界函数 , 0 ， 0 ai,bi不交,12只要 ( bi- ai)0，存在 0 使 d（x，x ）0 （） ，当， 时，必有（xn，x ） 是中的闭子空间 ， （，上实系数多项式全体作为，的子空间）是不完备的度量空间、等距同构定义：设（X，d） ， （ ， ）是两个度量空间，如果存在从 X 到 上的保距映照 T，则称（X ， d）与（ ， ）等距同构，此时 T 称为 上的等距同构映照 T：（度量空间完备化定理）设（X，d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间（ ， ） 使（X ，d）与（ ， ）的某个稠密子空间 W 等距
10、同构，而且 在等距同 构下是唯一的。即若（ ， ）也是一个完备的度量空间，且 X 与 的某个稠密子空 间等距同构，则（ ， ）与（ ， ）等距同构。 XdT：设 X=（X，d ）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间 =（ ， ） ，使 X 为 的稠密子空间 6、压缩映照定义：X 是度量空间，T 是 X 到 X 的映照，如果存在一个数 ，0x+yY xYY 是 X的子空间，X 和0是平凡子空间。 线性相关，无关概念M 是 X的非空子集，M 中任意有限个向量线性组合全体记为 spanM 称为由 M张成的包 定义：X 是线性空间， M是 X 中线性无关子集，若 spanM=X，则称 M的基数为 X
11、的维数，记为 dimX，M 称为 X 的一组基，M 的基数是有限时，则称为有限维线性空间，如果 X 只含有零元素，则称 X 为 0维线性空间。8、线性赋范空间定义：设 X 为实（复）线性空间，如果对每一个向量 xX，有一个确定的实数，记为x 与之对应，并且满足：i x0 且x=0 x=0ii x=x其中 为任意实（复）数iiix+yx+y x，yX则称x为向量 x 的范数，称 X 按范数x成为线性赋范空间xn 是中的点列，如果存在 xX，使xn -x0 （n） 则称x n 依范数收敛于 x，记为 xn x（n）或 xn= x 令 d（x，y）=x-y 是由范数导出的距离，由此观之线性贱范空间实
12、际上是一种特殊的度量空间。 若 d 由导出，对任意的 R，x，yX，有：（a） d（x-y，0）= d（x，y） ； （b）d（x，0）=| | d（x，0）反之，X 是线空间，d 是距离，满足（a）和（b） ，那么一定可以在 X 上定义范数x使 d 是由范数导出的距离， x=d（x，0）x是 x 的连续函数，事实上，任意 x，yX，由范数条件 2）和 3）易证| y-x|y-x，所以，当xn -x0 时xnx完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间（Banach Spaces）1） R x=（ | i| ） 构成 Banach 空间 2） Ca，b x=sup|x （t）| 构成 Banach 空间
13、3） : x=sup| i|构成 Banach 空间4） L a，b p=（ | （x）| dx） 1/p构成 Banach 空间 p1 f f 证明需用到引理 1 和 2引理 1：（Hlder 不等式）设 p1，1/p+1/q =1， L a，b g L a，b f 那么 ，g 在a，b上 L 可积且成立：f16 | （x）g（x）|dx pgq f f引理 2：（Minkowsky 不等式）设 p1， ，g L a，b，那么 +g L a，b 且成f f 立： +gp p+gpffT-2：L a，b （p 1 ）是 Banach 空间 5）l x=（ |i| ） 1/p 是 Banach
14、空间 T-3 设 X 是 n 维线性赋范空间， （e1，e2，en ）是 X 的一组基, 则存在常数 M 和 M使对一切 x= iei成立 Mx( |i| ） Mx 推论 1:设在有限维线性空间上,定义了范数x和x1那么必存在常数 M 和 M 使得Mxx1Mx定义 2:设 R 是线性空间, x1 和x2 是 R 上两个范数,如果存在正数 c1,c2,使对一切 xR,成立 : c1x 2x1c 2x2则称(R, x1)和(R, x2)是拓扑同构的推论 2:任何有限维赋范线性空间都和欧氏空间拓扑同构,相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构.七七七 线性赋范空间和线性连续泛函 基本要求：1 理解线
15、性算子、线性泛函的概念。2、 掌握线性有界算子的概念和有关性质，以及二者这间的关系。3、 了解算子的范数的概念，熟悉一些线性有界算子的例子，并知道无界算子是存在的。4、 了解线性有界算子空间的概念和性质。5、 掌握共轭空间的概念和性质，知道一些特殊空间的共轭空间。算子定义：线性赋范空间 X 到 Y 的映照 T 被称为算子，如果 Y 是数域，则被称为泛函线性算子和线性泛函 T1： 设 X 和 Y 是两个同为实（或复）的线性空间， ()是DX 的线性子空间，T 为 到 Y 中的映照，如果对任意的 x，y ，及数 ，成立：DT（x+y）=Tx +Ty （1） T（x）=Tx （2 ）则称 T 为 到
16、 Y中的线性算子 ，其中 称为 T的定义域，记为 （T） ，T 称为 T的值域 记为 (T)，当 T取值于实（或复）数域时，称 T为实（或复）线性泛函 R几种常见的线性泛函： 1、相似算子 Tx=x 当 =1 时，恒等算子，零算子；172、P0，1是0，1 上的多项式全体，定义微分算子，若 t00，1，对 xP0，1，定义 （ x）=x（t 0）则 是 P0，1上的线性泛函。f f3、积分算子 xCa，b Tx（t）= x ()d由积分线性性质知 T 为线性泛函，若令 = x 则 是 Ca，b 中的线性泛函()f f4、乘法算子 Tx（t）=tx（t）5、R 中的线性变换是线性算子 线性有界算
17、子 定义：设 X 和 Y 是两个线性赋范空间， T 是 X 的线性子空间 （T）D到 Y 中线性算子，如果存在常数 c，使对所有 x （T） ，有：Txcx，则称 TD是 （T）到 Y 中的线性有界算子 ，当 （T）=X 时，称 T 为 X 到 Y 中的线性有界算D子，简称为有界算子。否则，称为无界算子。T-1：设 T 是线必性赋范空间 X 到线性赋范空间 Y 中的线性算子，则 T 为有界的充要条件是 T 是 X 上的连续算子。T-2：设 X 是线性赋范空间， 是 X 上线性泛函， 是 X 上连续泛函的 的零空间f f f（ ）是 X 中的闭子空间。f定义：T 为线性赋范空间 X 的子空间 （
18、T）到线性赋范空间 Y 中 线性算子，称DTx=s u p Tx/ x 为算子 T 在 （T ）上的范数 Dx0,x （T） 引理：T 是 （ T）上线性有界算子，成立DT=s u p Tx/ x=Tx=s u p Tx/ x x （T ）,x=1 x （T）,x1 线性算子空间和共轭空间X 和 Y 是两个线性赋范空间 ,以 (XY)表示由 X 到 Y 中线性有界算子全体. 当 A和 B 属于 (XY)时, 是所讨论的数域中的数时 ,定义 (XY)中加法运算如下:对任意的 xX, 令(A+B)x=Ax+Bx(A)x=Ax则 (XY)按照如上加法和数乘运算和算子范数构成线性赋范空间.T:当 Y
19、是 Banach 空间时, (XY)也是 Banach 空间一般地,设 X 是线性赋范空间 ,如果在 X 中定义了两个向量的乘积 ,并且满足 xy xy x,yX则称 X 为赋范代数 ,当 X 完备时,则称 X 为 Banach 代数,由 T 知,当 X 完备时,(XY)是 Banach 代数.共轭空间:设 X 是线性赋范空间 ,令 X表示 X 上线性连续泛函全体所成的空间,18称 X 为共轭空间 .T:任何线性赋范空间的共轭空间是 Banach 空间.定义:设 X 和 Y 是两个线性赋范空间,T 是 X 到 Y 中的线性算子,并且对所有的 xX,有 Tx=x 则称 T 是 X 到 Y 中的保
20、距算子，如果又是映照到上的，则称是同构映照，此时称与同构七七七 内积空间和希乐伯特空间 基本要求：1 掌握内积空间，希乐伯特空间的概念，熟悉一些具体例子。2、 理解内积与其诱导范数之间的关系。3、 理解许瓦兹不等式和平行四边形法则。4、 了解凸集的概念，掌握正交的有关概念。5、 掌握直交补空间的定义与性质。6、 理解投影算子的概念，掌握投影算子的性质。内积空间和希尔伯特空间定义：设是复线性空间，如果对中任何两个向量,，有一复数，与之对应，并且满足下列条件:x,y 0 ，=0 当且仅当 x=0,xX; +,z= ，z+,z x y zX, C(复数)，=,x x,y X则称， 为 x 与 y 的
21、内积 ,X 为内积空间内积引出的范数 x=，引理(Schwarz 不等式)设 X 按内积， 成为内积空间,则对于 X 中任意向量 x,y,成立不等式 ， xy 当且仅当 x 与 y 线性相关时取等号.易得出:范数不等式x+yx+y内积导出的范数x构成线性赋空间,若完备,则称 Hilbert 空间.满足平行四边形法则. x+y +x-y =2（x +y ） （内积空间范数的特征性质）如 L a，b l 是 Hilbert 空间，当 p2 时 l p不成为内积空间 Ca，b按范数 x= x（t） 不成为内积空间 极化恒等式（内积与范数关系式） （内积可用范数表示）x，y=1/4（x+y -x-y
22、+ix+iy -ix-iy ） 19当 X 为实内积空间时，x，y=1/4（x+y -x-y ） 由 Schwarz 不等式，立得xn，ynx，y定义：设 X 是度量空间，M 是 X 的非空子集，x 是 X 中一点，称 d（x，y）为点inf y Mx 到 M 的距离，记作 d（x，M）在线性赋范空间中 d（x，M）= x-yinf y M设 X 是线性空间，x，y 是 X 中的两点，称集合z=x+（1-）y；01 为 X 中联结点 x 和 y 的线段，记为x，y，如果 M 是 X 的子集，对 M 中任意两点 x，y 必有x，y M则称 M为 X中的凸集定理：（极小化定理）设是内积空间，是中非
23、空凸集，并且按中由内积导出的距离完备，那么，对每一个 x X，存在唯一的 y M，使 x-y= d（x，M） 推论 1：设 X是内积空间，M 是 X 的完备子空间，则对每个 x X，存在唯一的 y M，使 x-y= d（x，M） （应用于微方、现代控制论、逼近论） 定义：设 X是内 积空间，x，y 是 X中两向量，如果 x，y=0 则称垂直或正交，记为 xy如果 X 的子集 A 中每个向量与子集 B 中每个向量正交，ABxy x+y 2=x 2+y 2引理 1：设 X是内积空间 ，M是 X的线性子空间， x X，若存在 y M使x-y= d（x，M） ，那么 x-yM定义 2：直接和：Y 和
24、Z 是 X 的子空间，对每一个 xX，存在唯一的 yY，Zz 使 x=y+z，则称 x为 y和 z的直接和。 y和 z称为一对互补子空间。Z 称为 Y的代数补子空间。 易知互补子空间必线性无关。定义 3：设 X 是内积空间 ，M是 X 的子集，称集合M=xMxM为 M在 X 中直交补 M是 X 中闭线性子空间定理 2：设 Y是 Hilbert 空 间的闭子空间，那么成立 X=Y+Y直接和记作：X=YZ x=y+z，y是 x在 Y中的直交投影。投影算子 Px=y 具有性质：20P 是 X到 Y上的 线性有界算子，且当 Y0时，P=1PX=Y，PY=Y，PY=0P2=P P 是投影算子 P=P*=
25、P2设 X 是内积空间，M 是 X 的子集，记（M ）=M显然有 MM反之有：引理 2：设 Y是 Hilbert 空间 X 的闭子空间，则成立 Y=Y引理 3：设 M是 Hilbert 空间 X 中非空子集，则 M 是线性包 SpanM 在 X 中稠密的充要条件是 M=0定义 4：设 M是内积空间中不含零的子集，若 M中向量两两直交，称 M为 X中直交系，又若 M 中向量范数 为 1，则称 M为 X 中的就范直交系。直交系的基本性质：x 1+x2+.+xn 2=x 1 2+x 2 2+.x n 2直交系 M 是 X 中线性无关子集定义 5:设 X 是线性赋范空间,x i, i=1,2,.是 X
26、 中一列向量, 1, 2,.n 是一列数,作形式级数 ixi 称 Sn= ixi 为 n 项部分和若存在 xX,使 n Snx 则 称级数收敛, 并称 x 为其和,记作 x= ixi1i定义 6:设 M 为内积空间 X 中就范直交系, xX,称数集 x，eeM为向量 x关于就范直交系 M的富里叶系数集,而称x，e为 x 关于 e 的 Fourier 系数 引理:设 X 是内积空间,M 是 X 中就范直交系,任取 M 中有限个向量 e1,e2,.en那么:(1) x- x，e ie i 2=x- x，e i 2 0n n (2) x- i ei x- x，e ie i其中 i为任意的 n 个数n
27、 n 定理(Bassel 不等式 )设e k是内积空间 X 中的有限或可列就范直交系,那么对每一个xX,成立不等式 x，e i 2x 2 若上式等号成立,则称为 Parseval 等式引理：设 e k 为 Hilbert 空间 X 中可列就范直交系，那么成立：21（1） iei 收敛的充要条件是 i2 收敛 （2）若 x= iei 则 i=x，e i i=1,2,.故 x= x，e ie i (3) 对任意的 xX,级数 x，e ie i 收敛 推论 1: 设 e k 是 X 中可列就范直交系，则对任意的 xX ， x，e n=0lim n 定义:设 M 是内积空间 X 的就范直交系,如果 s
28、panM=X 则称 M 是 X 中的完全就范直交系.定理:设 M 是 Hilbert 空间 X 中就范直交系，M 完全的充要条件是 M=0定理:M 是 Hilbert 空间 X 中完全就范直交系的充要条件是，对所有 xX,Parseval 等式成立.满足定理条件的 M X 中的 x 可展成 x= x，e e 称为向量 x 关于就范直交系 M 的 Fourier 展开式. 推论 2: (Ce定理)M 是 Hilbert 空间 X 中就范直交系,若 Parseval 等式在某个稠密子集 N 上成立,则 M 完全.引理 3:设xi是内积空间 X 中有限或可列个线性无关向量,那么必有 X 中就范直交系
29、e 1,e2,.,使对任何正整数 n,有spane1,e2,.en= spanx1,x2.xn本定理的证明过程称为 Gram-Schmidt 正交化过程定理 4；每个非零 Hilbert 空间必有完全就范直交系。定义 5：设 X 和 是两个内积空间，若存在 X 到 的映照 T，使对任意的 x，yX 以及数 ，满足T（x+y）=Tx+ TyTx，Ty=x，y 则称 X 和同构，并称 T 为 X 到 上的同构映照 定理 5：两个 Hilbert 空间 X 与 同构的充要条件是 X 与 有相同的维数。 推论 3：任何可分的 Hilbert 空间必和某个 R 或 l 同构 定理（Riesz 定理）设
30、X 是 Hilbert 空间，f 是 X 上线性连续泛函，那么存在唯一的zX，使对每一个 xX 有f（x）=x，z 并且 f=z对每个 yX 令 Ty=fy 其中 fy 为 X 上如下定义的泛函：fy（x）=x，y ， xX显然 fy 是 X 上线性连续泛函，由 Riesz 定理，T 是 X 到 X上的映照，X是 X 上线性连续泛函全体所成的 Banach 空间，又Ty=y。易看出，对任意的 x，yX 以及数 ，成立：T（x+y）= Tx+Ty （）事实上，对任何 zX，有 T（x+y） （z）=z，x+y =Tx（z）+Ty（z）=（Tx+Ty） （z）22所以（）成立 .称满足（ ）的映照
31、 T 是复共轭线性映照,Ty= fy 是 X 到 X上保范共轭线性映照,称为复共轭同构映照,若存在 H 空间 X 到 上的复共轭同构映照,则称 X 与 是复 共轭同构,此时将 X 当成 ,当 X 是 H 空间时,X=X ,即 X 是自共轭的. 定理：设 X 和 Y 是两个 H 空间，A(XY)，那么存在唯一的 A (XY)，使对任何的 xX， yY，成立 Ax，y=x，A y 且A=A定义：设 A 是 H 空间 X 到 H 空间 Y 中的线性有界算子，则上定理中算子 A为 A 的Hilbert 共轭算子，简称共轭算子。共轭算子有下列基本性质：（A+B）=A +B（A） = A （A）=A AA
32、 =A A=A AA=0 等价于 A=0 当 X=Y 时， （AB）=BA定义：T 为 H 空间 X 到 X 中的线性有界算子，若 T=T，则称 T 为 X 上的自伴算子；若 TT=TT，则称 T 为 X 上正常算子；若 T 是 X 到 X 上的一对一映照，且T=T ，则称 T 是 X 上的酉算子。 引理：T 为复内积空间 X 上线性有界算子，那么 T=0对一切 xX，成立 Tx，x =0定理：设 T 为复 H 空间 X 上线性有界算子，则 T 为自伴算子的对一切的 xX， Tx，x 是实数。自伴的和与差仍为自伴，下面有：定理：T1 和 T2是 H 空间 X 上两个自伴算子，则 T1T2自伴的
33、充要条件是T1T2=T2T1定理：设Tn是 H 空间 X 上一列自伴算子，并且 Tn=T，那么 T 仍为 X 上自伴算子。 定理：设 U 及 V 是 H 空间 X 上两个酉算子，那么（1）U 是保范算子，即对任何 xX，成立 Ux = x；（2）当 X0时，U=1（3）U 是酉算子； （4）UV 是酉算子；（5）若 Un，n=1，2，是 X 上一列酉算子，且 Un 收敛于有界算子 A，则 A 也为酉算子。定理：设 T 为复 H 空间上线性有界算子，那么 T 是酉算子 T 是映照到上的保范算子。定理：设 T 是复 H 空间 X 上线性有界算子，A+iB 为笛卡尔分解，则 T 为正常算子的23AB
34、=BA定理：设 T 为复 H 空间 X 上线性有界算子，则 T 为正常算子 对 xX，成立 Tx = Tx七七七 巴拿赫空间中的基本定理 基本要求：1 掌握四大定理的条件和结论，了解与其相关的内容。2、 能进行简单的证明。 Banach spaces令 p（x）=fzx，则 p（x）是在整个 X 上有定义的泛函，且满足（1）p（x）= p（x） x X（2）p（x+y）p（x）+p（y） x，yX称 X 上满足（1）和（2）的泛函为次线性泛函。定理 1：（Hahn-Banach 泛函延拓定理）设 X 是实线性空间，p（x）是 X 上次线性泛函，若 是 X 的子空间 Z 上的实线性泛函，且被 p
35、（x）控制，即满足（x）p（x） ， xZ，则存在 X 上的实线性泛函 ，使当 xZ 时，有 （x）= （x） ，并且在整个空间X 上仍被 p（x）控制，（ x）p（x） ， xX可以证明在全空间上定义的实线性泛函 ，使 是 f的延拓，且对一切的 xX 有（x） p（x）设是满足下列三个条件的实线性泛函 g 全体：i g 的定义域 （g）是 X 的线性子空间。Dii g 是 f 的延拓，即 Z，且当 xZ 时，成立 g（x）=f（x）()iii 在 上 g 被 p（x）控制，即对一切 x ，有 gp 。() D()在 中规定顺序如下：若 g1，g 2，而 g1，是 g2的延拓（即 （g 1）
36、（g 2） ，并且当 x （ g2）时，g 1（x）=g 2（x ） ） ，就规定 g2 时，EE ；）右连续性：对任何 o（-，+）Eo +0= Eo ；） （强） E=0 （强） E=I 称 E 是一个谱系。 注:显然,当 时，EE 此时有 EE=EE=E另外,若 M，E=I，则称其为区间 m，M上的谱系。定理： E（(- ，+)）是 H 空间上一族投影算子， E成为谱系对任何 xH，函数 Fx（）=（Ex ，x）满足：）Fx 单调不减。即 时，Fx（）Fx（）Fx 是右连续函数； ） Fx（）=0 Fx（）=x 酉算子的谱分解理论有限维空间中，U= =I Pj为互相直交的投影算子 j=1njj1j 记 j为 eiJ,由j 及 J可以作一个谱系 ，这个谱系是0，2 上的谱系，将其写 成积分形式 dEiT-1：U 是复 Hilbert 空间 H 到它自身的酉算子，那么必有 H 中的谱系E 0，2 ，满足 E0=0，并使 U=20idEe说明：C 2 =ff 0，2 ，f（0）=f（2）是 Banach 空间 C0，1的闭线性子空间，且 f=f T2表示三角多 项式全体， T2是 C2中的线性子空间，且 T2在 C2中稠0max，t密，E 称为 U 算子的谱系。系 1：若复数 使1，则 是酉算子 U 的正则点。系 2：数 ei0 (00 使 U 的谱系 E在 0-,0+中是常
