1、第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系,第五章 积分论,本节主要内容: 若f(x) Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且积分值相等 f(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集,Riemann可积的充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,Darboux上、下积分,对a,b作分划序列,令（对每个i及n）,Darboux上积分,Darboux下积分,引理：设f(x)在a,b上为有界函数，记(x)为a,b上的振幅函数，则,故(x)为a,b上的可测函数，从而f(x) L可积。,证明：由于f(x)在a,b上为有界函数， 故(
2、x)为a,b上有界函数，,又对任意实数t， 为闭集，,作函数列,对 a,b作分划序列,引理的证明,引理的证明,引理的证明,从而结 论成立,1.Riemann可积的内在刻画,定理：有界函数f(x)在a,b上Riemann可积的 充要条件是f(x)在a,b上的不连续点全体为零 测度集,教材p-104有另一种证明,证明：若f(x) Riemann可积,则f(x) 的 Darboux上、下积分相等，,上述过程反之也成立。,从而f(x)在a,b上的不连续点全体为零测度集，,引理：设f(x) 是E上有限实函数，则f(x)在x0E 处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0,证明参照教材p-102,2.L
3、esbesgue积分与Riemann积分的关系 (Lebesgue积分是对Riemann积分的推广),定理：若f(x)在a,b上Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且,证明： f(x)在a,b上Riemann可积， 故f(x)在a,b上几乎处处连续，,从而f(x)在a,b上有界可测，并且Lebesgue可积，,Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明,其次， 对a,b的任一分划,根据Lesbesgue积分的可加性，我们有,Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明,对上式左、右端关于一切分划各取 上、下确界，即得,例,注：Lebesgue积分
4、与广义Riemann积分无必然联系,例：f(x)有无穷积分, 但不Lebesgue可积.,注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系,例： f(x)有暇积分但不Lebesgue可积,例 设f(x)是a,b上Lebesgue可积函数，如果对任意实数c(0 c 1)总有 那么f(x)=0 a.e.于0,1,教材p122有另一种证明写法： 证明中用到了积分的绝对连续性,从而有f(x)在F上几乎处处为0,所以f(x)=0 a.e.于0,1,证明（续）,第四节 Lesbesgue积分的几何意义与Fubini定理,第五章 积分论,主讲：胡努春,重积分与累次积分,f(x,y)连续,1.截口定
5、理,证明参照教材p-136分六种情况讨论： 区间，开集， 型，零集，有界可测 集，一般可测集,定理1 设 是可测集，则,(1)对Rp中几乎所有的x，Ex 是Rq中的可测集,m(Ex)作为x的函数，它在Rp上几乎处处 有定义，且是可测函数；,2.Lebesgue积分的几何意义,定理2：设A,B分别是Rp和Rq中的可测集，则AB是Rp+q中的可测集，且m(A B) = mA mB,证明参照教材p-139,2.Lebesgue积分的几何意义,证明参照教材p-139,则f(x)是E上可测函数当且仅当 G(E;f)=(x,y)| xE，0y f(x) 是Rn+1中的可测集;并且有,定理3 设f(x)为可测集 上的非负函数，,3.Fubini定理,证明参照教材p-140,(1)设 f(p)=f(x,y)在 上可积， 则对几乎所有的x A, f(x,y)作为y的函数在B上 可积， 作为x的函数在A上可积,且,先重积分后累次积分,3.Fubini定理,证明参照教材p-140,(2)设f(x)是B上的可测函数， 存在（即|f(x,y)|作为y的函数在B上可积， 且 作为x的函数在A上可积）， 则 f(p)在A B可积 ，且,先累次积分后重积分,
