1、华中科技大学 2003 至 2004 学年第一学期复变函数与积分变换期末考试试题华中科技大学复变函数与积分变换试题 2004.1.4系别 _班级_学号_姓名_题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分得分得分 评卷人 一、填空（每题 3 分，共 24 分）1 的实部是_，虚部是_，辐角主值是_.2满足 的点集所形成的平面图形为_ ，该图形是否为区域_.3 在 处可展成 Taylor 级数与 在 处解析是否等价？_.4 的值为_ ；主值为_.5积分 的值为_， _.6函数 在 处 Taylor 展开式的收敛半径是_.7设 , 则_，其中 定义为_ .8函数 的有限孤立奇点 _， 是何种类型的
2、奇点？_.得分 评卷人二、（6 分）设 ，问 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.得分 评卷人三、（8 分）设 求 的值使 为调和函数，并求出解析函数 .得分 评卷人四、（10 分）将函数 在有限孤立奇点处展开为 Laurent 级数.得分 评卷人 五、计算下列各题（每小题 6 分，共 24 分）1 ，求2求出 在所有孤立奇点处的留数34得分 评卷人 六、（6 分）求上半单位圆域 在映射下的象.得分 评卷人七、（8 分）求一映射，将半带形域 映射为单位圆域.得分 评卷人 八、（6 分）设 在 内解析，在闭圆 上连续，且 ，证明：.得分 评卷人 九、（8 分）用 Laplace 变换求解
3、常微分方程：华中科技大学复变函数与积分变换试题解答 一、填空（每题 3 分，共 24 分）1 的实部是 ，虚部是 ，辐角主值是 .2满足 的点集所形成的平面图形为， 以2 为焦点 ，长半轴为 的椭圆，该图形是否为区域 否 .3 在 处可展成 Taylor 级数与 在 处解析是否等价？ 是 .4 的值为 ；主值为 . 5积分 的值为 ， 0 .6函数 在 处 Taylor 展开式的收敛半径是 1 .7设 , 则其中 定义为 .8函数 的有限弧立奇点 0 ， 是何种类型的奇点？ 可去 .二、（6 分）设 ，问 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.解：（2 分）均连续，要满足 条件，必须要成
4、立即仅当 和 时才成立，所以函数 处处不解析； （2 分）（ 2 分）三、（8 分）设 求 的值使 为调和函数，并求出解析函数 .解：因 ，要使为调和函数，则有即 （4 分）所以 时， 为调和函数，要使 解析，则有， （2 分）所以 即 ，故（2 分）四、（10 分）将函数 在有限孤立奇点处展开为 Laurent 级数.解： 的有限孤立奇点为 及（ 2 分）1）当 时（2 分）2）当（2 分）3）当（2 分）4）当（2 分）五、计算下列各题（每小题 6 分，共 24 分）1 ，求解：因 在复平面上处处解析由柯西积分公式知，在 内，（3 分）所以 （2 分）而点 在 内，故（1 分）2求出 在所
5、有孤立奇点处的留数解：函数 有孤立奇点 0 与 ，而且在 内有如下 Laurent展开式：（3 分）故 （2 分）（1 分）3解： ，它共有两个二阶极点，且 在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点 ，所以 （2 分）（1 分）（3 分）4解：由三角函数公式（1 分）（2 分）令 ，则 ，于是（1 分）被积函数 在 内只有一阶极点，由公式故由留数定理（2 分）六、（6 分）求上半单位圆域 在映射下的象.解：令 ，则，（3 分）故 将上半单位圆域映射为 且沿 0 到 1 的半径有割痕.（3 分）七、（8 分）求一映射，将半带形域 映射为单位圆域.解：（2 分）（1 分）（2 分）（2 分）（ 1 分）八、（6 分）设 在 内解析，在闭圆 上连续，且 ，证明：证：由于（2 分）（4 分）九、（8 分）用 Laplace 变换求解常微分方程：解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得（4 分）即 （2 分）故 （2 分）
