1、复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念： ， 是实数, . . zxiyRe,Imxzyz21i注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模： ；2zxy2）幅角：在 时，矢量与 轴正向的夹角，记为 （多值0x Argz函数） ；主值 是位于 中的幅角。argz(,3） 与 之间的关系如下：arzctnyx当 ；0,xra当 ；,grctn,0,ayyzx4）三角表示： ，其中 ；注：中间一定是cosinzargz“+”号。5）指数表示： ，其中 。izearz(二) 复数的运算1.加减法：若 ，则1122,zxiyzxiy121212zxiy2.乘除法：1
2、）若 ，则1122,zxiyzxiy；2 1。121 1212122xiyizi xyxyi2）若 , 则121,iizez1； 1212ize121ize3.乘幂与方根1）若 ，则 。(cosin)izze(cosin)nnizze2）若 ，则i（有 个相异的值）122cossin(0,12)nkkz n（三）复变函数1复变函数： ，在几何上可以看作把 平面上的一wfz z个点集 变到 平面上的一个点集 的映射.DG2复初等函数1）指数函数： ，在 平面处处可导，处处解析；cosinzxeyz且 。zze注： 是以 为周期的周期函数。 （注意与实函数不同）z2i3、对数函数： （多值函数）
3、；ln(arg2)Lzizk(0,12)主值： 。 （单值函数）l的每一个主值分支 在除去原点及负实轴的 平面内处处Lnzlz z解析，且 ；1lz注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同）3）乘幂与幂函数： ；(0)bLnae(0)bLnze注：在除去原点及负实轴的 平面内处处解析，且 。z1b4）三角函数： sincossin,cos,t,22ciiziizieezzgt在 平面内解析，且sin,cozzino,z2注：有界性 不再成立；（与实函数不同）sin1,cosz4、双曲函数 ；,22zzeehh奇函数， 是偶函数。 在 平面内解析，且shzcz,szc。,hs（四）解析函数的概念
4、1复变函数的导数1）点可导： = ；0fz00limzfzf2）区域可导： 在区域内点点可导。f2解析函数的概念1）点解析： 在 及其 的邻域内可导，称 在 点解析；fz00zfz02）区域解析： 在区域内每一点解析，称 在区域内解析；3）若 在 点不解析，称 为 的奇点；()fz00zf3解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1函数可导的充要条件： 在 可导,fzuxyivzxiy和 在 可微，且在 处满足 条件：,uxy,v,xy CR,此时， 有 。uvfzix2函数解析的充要条件： 在区
5、域内解析,fzuxyiv3和 在 在 内可微，且满足 条件：,uxy,v,xyDCR；,u此时 。vfzix注意 ： 若 在区域 具有一阶连续偏导数，则,uxyvD在区域 内是可微的。因此在使用充要条件证明时，,uyvD只要能说明 具有一阶连续偏导且满足 条件时，函数CR一定是可导或解析的。()fziv3函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2）利用充要条件 （函数以 形式给出，如第,fzuxyiv二章习题 2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。 （函数 是以 的形fz式给出，如第二章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性质1 复变函数积分的概念： ，
6、是光滑曲线。1limnkckfzdfzc注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 复变函数积分的性质1） （ 与 的方向相反） ；1ccfzdfzd1c2） 是常数； ,ccgfzgzd43） 若曲线 由 与 连接而成，则 。c12 12cccfzdfzfzd3复变函数积分的一般计算法1）化为线积分： ；（常用于理论证明）cccfzduxvyixuy2）参数方法：设曲线 ： ，其中 对应曲线 的起c()zttc点， 对应曲线 的终点，则 。 ()cfdzftzdt（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西古萨基本定理：设 在单连域 内解析， 为 内任fzBcB一闭曲线，则 0cfzdA2
7、复合闭路定理： 设 在多连域 内解析， 为 内任意一fDcD条简单闭曲线， 是 内的简单闭曲线，它们互不包含互12,n c不相交，并且以 为边界的区域全含于 内，则c 其中 与 均取正向；cfzdA1,kncfzdck ，其中 由 及 所组成的复合闭路。0f1(,2)n3闭路变形原理 ： 一个在区域 内的解析函数 沿闭曲线Dfz的积分，不因 在 内作连续变形而改变它的值，只要在变形ccD过程中 不经过使 不解析的奇点。fz4解析函数沿非闭曲线的积分： 设 在单连域 内解析，fzB为 在 内的一个原函数，则GzfB212112(,)zdzGzB5说明：解析函数 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计
8、算fz时只要求出原函数即可。5。 柯西积分公式：设 在区域 内解析， 为 内任一正向简fzDcD单闭曲线， 的内部完全属于 ， 为 内任意一点，则c0z002cfzdifzA6高阶导数公式：解析函数 的导数仍为解析函数，它的 阶fz n导数为0102(1,2)()!nncfzidfz A其中 为 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线，cfzD0而且它的内部完全属于 。7重要结论：。 （ 是包含 的任意正向简单闭曲12,0()ncindzaAca线）8复变函数积分的计算方法1）若 在区域 内处处不解析，用一般积分法fzDcdtzdt2）设 在区域 内解析，fz 是 内一条正向简单闭曲线，
9、则由柯西古萨定理，cD0cfzdA 是 内的一条非闭曲线， 对应曲线 的起点和终点，则有12,zc212zcffdF3）设 在区域 内不解析D6 曲线 内仅有一个奇点： （ 在 内解c000102()!c nncfzdifzffzA()fzc析） 曲线 内有多于一个奇点： （ 内只有一个ccfzdA1kncfzdic奇点 ）kz或： （留数基本定理）12Re(),nkkcfdzisfzA 若被积函数不能表示成 ，则须改用第五章留数定理来1()nofz计算。（八）解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念：若二元实函数 在 内有二阶连续偏导(,)xyD数且满足 ，20xy为 内的调和函数。(,)x
10、yD2解析函数与调和函数的关系 解析函数 的实部 与虚部 都是调和函数，并称虚部fzuivuv为实部 的共轭调和函数。v 两个调和函数 与 构成的函数 不一定是解析函数；v()fzuiv但是若 如果满足柯西,uv黎曼方程，则 一定是解析函数。iv3已知解析函数 的实部或虚部，求解析函数 的方fz fzuiv法。1）偏微分法：若已知实部 ，利用 条件，得,uxyCR7；,vxy对 两边积分，得 （*）uxuvdygx再对（*）式两边对 求偏导，得 （*） x vudygx由 条件， ，得 ，可求出 CRuvyuyx；gx代入（*）式，可求得 虚部 。 uvdygx2）线积分法：若已知实部 ，利用
11、 条件可得,uxyCR，vudxdyxdy故虚部为 ；0,xyc由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中 与 是解析区域中的两点。0,xy,3）不定积分法：若已知实部 ，根据解析函数的导数公式,uxy和 条件得知，CRvfziixy将此式右端表示成 的函数 ，由于 仍为解析函数，故Uzfz（ 为实常数）fzdcc注：若已知虚部 也可用类似方法求出实部v .u（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列 （ ）收敛于复数 的充要条件nnaib1,2 abi8为（同时成立）lim,linnab2）复数列 收敛 实数列 同时收敛。n,2复数项级数1）复数项级数 收敛的充要条件是级数 与
12、 同0()nnaib0na0nb时收敛；2）级数收敛的必要条件是 。lim0n注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性1幂级数的概念：表达式 或 为幂级数。00()nncz0ncz2幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数 在0ncz处收敛，那么对满足 的一切 ，该级数绝对收敛；0z0zz如果在 处发散，那么对满足 的一切 ，级数必发散。0 2）幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 比值法 如果 ，则收敛半径 ；
13、1lim0nc1R 根值法 ，则收敛半径 ；lin9 如果 ，则 ；说明在整个复平面上处处收敛；0R如果 ，则 ；说明仅在 或 点收敛；00z注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。 （如）20ncz3幂级数的性质1）代数性质：设 的收敛半径分别为 与 ，记00,nnazb1R2，12min,R则当 时，有z（线性运算）000()nnnnabazbz（乘积运算）01000()()()nn nnz a2）复合性质：设当 时， ，当 时， 解析r0nfzRgz且 ，gzr则当 时， 。R0nnfgzagz3） 分析运算性质：设幂级数 的收敛半径为 ，则0n 0R 其和函数 是收敛圆内的解
14、析函数；0nfza 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 10nfzazzR 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变； 100z nnafdz10zR（十一）幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开：设函数 在圆域 内解析，则在此圆域内fz0zR可以展开成幂级数 ；并且此展开式是唯fz 00!nnff一的。注：若 在 解析，则 在 的泰勒展开式成立的圆域的收敛fz0fz0半径 ；0Ra其中 为从 到 的距 最近一个奇点 之间的距离。 0zf0za2常用函数在 的泰勒展开式1） 2301!nznzze z2） 20nnzz 13） 3521 210() ()si!n nn zz z4） 242 20()(1
15、)co!nnnzz 3解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出 ，于是 。01!nncfz00nnfzcz2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开1. 洛朗级数的概念： ，含正幂项和负幂项。0nncz2洛朗展开定理：设函数 在圆环域 内处处解析，f102Rz11为圆环域内绕 的任意一条正向简单闭曲线，则在此在c0z圆环域内，有 ，且展开式唯一。0nnfcz3解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4利用洛朗级数求围线积分：设 在 内解析， 为fz0rzRc内的任何一条正向简单闭曲线，则
16、。其0rzR 12cfdziA中 为 在 内洛朗展开式中 的系数。1c()f0rzR01z说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中 的系10()z数。（十三）孤立奇点的概念与分类1。 孤立奇点的定义 ： 在 点不解析,但在 的 内fz0 0z0z解析。2。孤立奇点的类型：1）可去奇点：展开式中不含 的负幂项；0z201020fzczcz2）极点：展开式中含有限项 的负幂项；0z(1) 211020000()()()()mmccfz zczz 0,()mgz其中 在 解析，(1) 10mmgz 0且 ；0,mzc3）本性奇点：展开式中含无穷多项 的负幂项；0z10100 ()()()()
17、mmccfz czzz （十四）孤立奇点的判别方法121可去奇点： 常数；00limzfc2极点： 0z3本性奇点： 不存在且不为 。0lizf 4零点与极点的关系1）零点的概念：不恒为零的解析函数 ，如果能表示成fz，0()mfzz其中 在 解析， 为正整数，称 为 的 级零点；0,zm0zfm2）零点级数判别的充要条件是 的 级零点0zfm0,(1,2)nmfzn3）零点与极点的关系： 是 的 级零点 是 的 级极0zf0z1fm点；4）重要结论若 分别是 与 的 级与 级零点，则zazmn 是 的 级零点；An 当 时， 是 的 级零点；mnzaz当 时， 是 的 级极点；znm当 时，
18、 是 的可去奇点；mnza 当 时， 是 的 级零点，zlin(,)lm当 时， 是 的 级零点，其中nzal（十五）留数的概念131留数的定义：设 为 的孤立奇点， 在 的去心邻域0zf fz0内解析， 为该域内包含 的任一正向简单闭曲线，则0zc0z称积分 为 在 的留数（或残留） ，记作 2cfzdiAfz00Re,sfz1cfi2留数的计算方法若 是 的孤立奇点，则 ，其中 为0zf 0Re,sfz1c1c在 的去心邻域内洛朗展开式中 的系数。fz 1()1）可去奇点处的留数：若 是 的可去奇点，则0zf 0Re,sfz2） 级极点处的留数m法则 I 若 是 的 级极点，则0zfm0R
19、e,sf010li()()!mzdzfz特别地，若 是 的一级极点，则0f 0Re,sfz0lim()zfz注：如果极点的实际级数比 低，上述规则仍然有效。法则 II 设 ， 在 解析，PzfQ,z00,Pz，则00,z00Re,sQzz（十六）留数基本定理设 在区域 内除有限个孤立奇点 外处处解析，fzD12,nz为 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则cD12Re,ncnfzdisfzA说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积14函数 在 内各孤立奇点处留数的局部问题。fzc注意：当在 c内的起点较多时，采用无穷点处的留数进行转换。无穷点留数的定义及计算方法需要掌握。积分变
20、换复习提纲一、傅里叶变换的概念 ()()()jwtFftfedF 12jtft二、几个常用函数的傅里叶变换 1tFej ()()utj 1Ft 2() 000cos)()wt in(Fj 2te三、傅里叶变换的性质 位移性（时域）： 00()jwtFfte()Ff15 位移性（频域）： 0 00()()jwt wFefF 位移性推论： 01sin)2tfj 位移性推论： 000co()()tf 微分性（时域）： （ ） ，)Fjw ,(tft， ()(nnFftjw(1),ntft 微分性（频域）： (),()nnjtFjtfFw 相似性： 1()(fatF(0)a四、拉普拉斯变换的概念 0(
21、)()()stLftfed五、几个常用函数的拉普拉斯变换 ； 1ktes 是自然数 ；11()!(mmLts)（ ）,)(2 ；()uts 1L 2 2sin,cosktLkt hh 设 ，则 。 （ 是以 为周期的周()(ftTft01()()Tsftftde()ftT期函数）六、拉普拉斯变换的性质 微分性（时域）： 20,()()0()LftsFfLftsFf 微分性（频域）： ，()()nn16 积分性（时域）： 0tFsLfd 积分性（频域）： （收敛）sft 位移性（时域）： atLefFa 位移性（频域）： （ , ）st0()0tft 相似性： 1()()sfat(0)七、卷积及
22、卷积定理 1212()*()ftftd FftFw 1212()() Lfts八、几个积分公式 ()(0)ftdf t 16000()()()ftLfsFds kt skfedt模拟试卷一一.填空题1. .71i2. I= ,则 I= . 的 正 向为其 中 0,sin azcdzezcz3. 能否在 内z1tanRz0展成 Lraurent 级数？ 174其中 c 为 的正向： = 2z dzzc1sin25. 已知 ，则 = sinFtf二.选择题1. 在何处解析 zzfRe(A) 0 (B)1 (C)2 (D)无2.沿正向圆周的积分. = dzz21sin(A)2 . (B) 0. (C
23、) . (D)1sin 1sin以上都不对.3 的收敛域为 nnnz14(A) . . (B) (C) . (D)无法4ez2121z确定4. 设 z=a 是 的 m 级极点,则 在点 z=a 的留数是 .zf zf(A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对.三.计算题1. 为解析函数， ，ivuzf 3223 yxyxvu求 u2设函数 与分别以 z=a 为 m 级与 n 级极点，那么函zf18数 .在 z=a 处极点如何？zgf3求下列函数在指定点 z0处的 Taylor 级数及其收敛半径。1,02zzf4求拉氏变换 （k 为实数）ttf6sin5. 求方程 满足条
24、件 的解.teyy3410y四.证明题1.利用 ez的 Taylor 展式，证明不等式 zzz ee12.若 (a 为非零常数 ) 证明：Ftfaatf1模拟试卷一答案一.填空题1. 2. 0 3.否 4 5. i 1/6二 .选择题0.5,1.2,tftt1. (D) 2. (A) 3(A) 4. (C) 三.计算题1. 23uxyc2函数 在 z=a 处极点为 m+n 级zgf3 121nnfzR194 263s5. .7142tttytee模拟试卷二一.填空题1. C 为 正向，则 = 1zcdz2. 为解析函数，则 l, m, n 分2323 lxyiynxmyf 别为 .3. 2Re
25、 ,0shz4. 级数 .收敛半径为 12nnz5. -函数的筛选性质是 二.选择题1 ，则 1tuetft ft(A) . (B) (C)2 (D) 以1ss 1ses 1ses上都不对2 ，则 Ftftft2(A) . (B) . 2 F(C) . (D) 以上都不对i203C 为 的正向， 3z.2103czd(A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对4. 沿正向圆周的积分 = dzz22sin(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对.三.计算题1. 求 sin(3+4i). 2计算 其中 a、b 为不在简单闭曲线 c 上cbzad,的复常数，a b.3
26、求函数 在指定点 z0处的 Taylor 级数及1,0zzf其收敛半径。4求拉氏变换 （k 为实数）tetf四.证明题1. 收敛，而 发散，证明 收敛半径为 10nC0nC0nnzC2.若 ，(a 为正常数)证明：sFtfaatf121模拟试卷二答案一.填空题1. 2. 3.1 4. 1 2i3,1lnm5. - 0tfdtf二.选择题1 (B) 2(C) 3 (C) 4. (A)三.计算题1. 43432iieei2当 a、b 均在简单闭曲线 c 之内或之外时 0,cdzA当 a 在 c 之内, b 在 c 之外时 2,cdziabaA当 b 在 c 之内, a 在 c 之外时 ,c iz3
27、 . 10122nnnzzf R4 sk模拟试卷三一.填空题1 z=0 为 的 级零点,12zezf2. . 0,1Re32zs223. a,b,c 均为复数，问 一定相等吗？ .bccba与4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？ 5. = .czdos二.选择题1. 设 u 和 v 都是调和函数,如果 v 是 u 的共轭调和函数，那么 v 的共轭调和函数为 .(A) u. (B)-u. (C)2u (D)以上都不对。2级数 .1nine(A) . 发散. (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)无法确定3C 为 的正向, 则 .2z29zcedA(A) .1 (B)2 (C) (D)
28、 912i以上都不对4 ，则 .Ftftf1(A) (B) (C) (D) 以上ie ieieF都不对三.计算题1.计算 .0cos4521,201 dzdzf 证 明从 而232求在指定圆环域内的 Laurent 级数. 1,12zzf3利用留数计算定积分: 20cosd4求拉氏变换 （k 为实数） .tetf四.证明题1.说明 是否正确，为什么？Lnznz22.利用卷积定理证明 sFdtft0模拟试卷三答案一.填空题1 4 2. 1 3. 不一定 4. 否 5. 0二.选择题1. (B) 2 (A) 3 (C) 4 (D) 三.计算题1. 10,2zdfA2 . 1120nnnf zz3
29、4 21sk24模拟试卷四一.填空题1. 复数 三角表示形式 .iz12. 设 为调和函数，其共轭调和函数为 xyxu223. 能否在 z=-2i 处收敛而 z=2+3i 发散. nnizc04. 为 的 06sin63zzzf级极点5. 卷积定理为 二.选择题1 则 = 2Ftf(A) .7 (B)1 (C)2 (D) 以上都不对2. 若 ，n 为整数.n= nii3131(A) 6k (B)3 (C)3k (D)63. C 是直线 OA，O 为原点，A 为 2+i, 则 = dzcRe(A).0. (B)（1+i ）/2. (C).2+i. (D). 以上都不对.4设 ，则 3sinttf
30、 ft(A) . (B) (C) (D) 以上21s213sse32125都不对三.计算题1求在指定圆环域内的 Laurent 级数.0,sinzzf2.设函数 与分别以 z=a 为 m 级与 n 级极点，那么函数f.在 z=a 极点如何？zgf3求 傅氏变换。其 他,0;5tEtf4求拉氏变换 .tetft6sin2四.证明题1.若 求证,1,12.若 ,证明：.Ftf 00021cos Fttf模拟试卷四答案一.填空题1. 2. cosin22yxyc3. 否4. 15265. 略二.选择题1(B) 2. (C) 3. (C) 4(C) 三.计算题1 2011!nnzfz2.当 mn 时，
31、 z=a 为 的 m-n 级极点zgf当 mn 时， z=a 为 的可去奇点f3 52sinjEe4 .263s四.证明题1.略2.略模拟试卷五一.填空题271. 根为 , 0942iiz2. 和 是否相等 dz2dzz43. 叙述傅氏积分定理 4. 拉氏变换的主要性质 二.选择题1已知 则 的收敛圆环0!11, .2nnccn 2nncz为 (A). . (B) (C) . (D)无法确4241z ez2121z定2. 将 z 平面上 映射成 w 平面上的 w142yx(A) .直线 (B)u+v=1 (C) (D)以412vu上都不对3z=0 是 什么奇点 zef12(A) .可去 (B)
32、本性奇点 (C)2 级极点 (D) 以上都不对4. 的傅氏变换为 0t(A) 1 (B) (C) 0tie 0tie(D) 以上都不对三.计算题281. 解方程 .0iez2.利用留数计算定积分: dxx23cos3利用能量积分求 dx2sin4.求 的拉氏逆变换.12sF四.证明题1. 试证 argz 在原点与负实轴上不连续.2. 下列推导是否正确？若不正确，把它改正： .2121123 23 izidzdzzz 模拟试卷五答案一.填空题1. 3232i i和 -2. 相等3. 略4. 略二.选择题1 (B) 2. (C) 3 (B) 4. (B) 三.计算题291. .2zki2. 3e3 2sinxd4. 1te复变函数与积分变换试题（本科）一、填空题（每小题 2 分，共 12 分）1、设 ，则其三角表示式为_；iz22、满足|z+3|-|z-1|=0 的 z 的轨迹是_ ；3、 _;)(iLn4、 的傅氏变换为_；jate55、 的拉氏逆变换为_.s216、 在 处展开成幂级数为)(5zf0_。二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）1、设 ，则下列命题正确的是（ ）zfcos)(A、 是有界的； B、 以 为周期；|)(|f )(zfC、 ； D、 在复平面上处处解析。2iziezf f
