1、2.1 函数及其表示最新考纲 考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1函数与映射函数 映射两个集合A，B设 A，B 是两个 非空数集 设 A，B 是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的
2、数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应名称称 f：AB 为从集合 A 到集合B 的一个函数称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射函数记法 函数 y f(x)，xA 映射： f：A B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数 yf(x) ，x A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列
3、表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数知识拓展简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合；(4)若 f(x)x 0，则定义域为x|x0；(5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1；(6)正切函数 ytanx 的定义域
4、为 Error!.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)对于函数 f：A B，其值域就是集合 B.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等( )(3)函数 f(x)的图象与直线 x1 最多有一个交点( )(4)若 A R，Bx |x0，f：xy |x| ，其对应是从 A 到 B 的映射( )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的( )题组二 教材改编2P24T1(4)函数 f(x) 的定义域是_4 xx 1答案 (，1)(1,43P25B 组 T1函数 yf(x )的图象如图所示，那么，f (x)的定义域是 _；值域是_；其中只有唯一的 x
5、值与之对应的 y 值的范围是_答案 3,02,3 1,5 1,2)(4,5题组三 易错自纠4已知函数 f(x)x|x| ，若 f(x0)4，则 x0 的值为_答案 2解析 当 x0 时，f( x)x 2， f(x0)4，即 x 4，解得 x02.20当 x0，则|log 2x| ，解得 x 或 x .12 12故 x 的集合为 . 1，2，22分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数 f(x)Error! 则满足 f(f(a)2 f(a)的 a 的取值范围是( )A. B0,123，1C. D1, )23， )(2)(2017全国)设函数 f(x)Error!则满足 f(x)f 1 的 x
6、 的取值范围是_(x 12)思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围解析 (1)令 f(a)t，则 f(t)2 t，当 t0，g(t)0，值域为 y|y0，所以与其定义域和值域分别相同的函数为 y ，故选 D.1x4(2017湖南衡阳八中一模) 已知 f(x)Error!则 f 等于( )(f(19)A2B3C9D9答案 C解析 f log3 2，(19) 19f f(2) 2 9.(
7、f(19) (13)5已知 f ，则 f(x)等于( )(1 xx ) x2 1x2 1xA(x 1)2(x1) B( x1) 2(x1)Cx 2 x1(x 1) Dx 2x1(x1)答案 C解析 f 2 1，令 t (t1)，则 f(t)t 2t1，即 f(x)(1 xx ) x2 1x2 1x (x 1x ) x 1x x 1xx 2x1(x 1)6.如图，AOD 是一直角边长为 1 的等腰直角三角形，平面图形 OBD 是四分之一圆的扇形，点 P 在线段 AB 上，PQAB，且 PQ 交 AD 或交弧 DB 于点 Q，设 APx(00，f(f(2)f(log 29)3 3 3 381243
8、.故选 B.log942log92log98已知 f(x)Error!的值域为 R，那么 a 的取值范围是( )A(，1 B.( 1，12)C. D. 1，12) (0，12)答案 C解析 要使函数 f(x)的值域为 R，需使Error!Error! 1a .12即 a 的取值范围是 . 1，12)9已知 f( 1) x2 ，则 f(x)_.x x答案 x 21( x1)解析 令 1t，则 x(t1) 2(t1) ，代入原式得 f(t)( t1) 22(t1)t 21，x所以 f(x)x 21( x1)10已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x) 的定义域是_2lofx答案 (2,8
9、解析 要使函数有意义，需 f(x)0，由 f(x)的图象可知，当 x(2,8时，f(x)0.11已知函数 f(x)Error!则满足不等式 f(1x 2)f(2x)的 x 的取值范围是_答案 (1， 1)2解析 由题意得Error!或Error!解得1x0 或 0x 1，2所求 x 的取值范围为( 1， 1)212(2018 届全国名校第一次联考 )定义新运算“”：当 mn 时，mnm；当 mn 时，mnn 2.设函数 f(x)(2x)x(4x)，x1,4，则函数 f(x)的值域为_答案 2,0(4,60解析 由题意知，f(x )Error!当 x1,2时，f(x)2,0；当 x(2,4时，f
10、(x )(4,60 ，故当 x1,4时，f(x)2,0 (4,6013设函数 f(x)Error!若 f(f(a)3，则实数 a 的取值范围是( )A(， B ，)3 3C ， D(， 3 3 3答案 D解析 令 f(a) t，则 f(t)3 等价于Error!或 Error!解得 t3，则 f(a)3 等价于Error!或 Error!解得 a ，则实数 a 的取值范围是(， ，故选 D.3 314已知函数 f(x)满足对任意的 xR 都有 f f 2 成立，则(12 x) (12 x)f f f _.(18) (28) (78)答案 7解析 由 f f 2，得 f f 2，f f 2，f
11、f 2，(12 x) (12 x) (18) (78) (28) (68) (38) (58)又 f 21，(48) 12f(48) f(48) 12f f f 2317.(18) (28) (78)15已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x，y，都有 f(xy) f (x)y(y2x1)，且 f(1)3 ，则函数 f(x)的解析式为_答案 f(x) x 2x 1解析 令 x0，y x ，得 f(x)f(0)x 2x.把 x1 代入上式，得 f(0)f(1) 21，从而有 f(x)x 2x 1.16已知函数 f(x)Error!则 f(f(3)_，f (x)的最小值是_答案 0 2 32解析 f(3)lg(3) 21lg101，f(f(3)f(1)0，当 x1 时，f(x)x 3 2 3，当且仅当 x 时取等号，此时 f(x)min2 30；2x 2 2 2当 x1 时，f(x)lg( x21)lg10，当且仅当 x0 时，取等号，此时 f(x)min0.f(x)的最小值为 2 3.2
