1、复变函数-A 试卷第 1 页 共 10 页说明：以下是 2007 考卷(A、 B)，考试范围是：第一章到第六章第一节，即 $1.1-$6.1,有星号内容不考。2008 考试范围是：第一章到第五章，有星号内容不考。诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2007复变函数-A 试卷注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3考试形式：闭卷；4. 本试卷共 大题，满分 100 分， 考试时间 120 分钟。题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 总分得 分评卷人一. 填空题（每空 4 分，共 20 分）1. 设复数 , 则 21z._z2. 设
2、函数 在单连通区域 内解析， 是 内任意一条简单正向闭曲线，则积分)(fDC_.CzdA3. 设 为沿原点 到点 的直线段, 则0zi12_.Czd4. 幂级数 的收敛半径为012)(nnzi _.R5函数 在孤立奇点 处的留数 Reszf1cos)(21z 1(),_.fz二. 选择题（每题 4 分，共 20 分）_姓名学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线复变函数-A 试卷第 2 页 共 10 页1. 设 为实数, 且有 则动点yx yixzyixz1,121 ,12|1z的轨迹是 ( ).),(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线2若曲线
3、，则积分 的值是( )2087:ZC34(1)CdzA(A) 2007 (B) 2008(C) 0 (D) 13. 设 在区域 内解析,下列函数为 内解析函数的是( ),(),()yxivuzfDD(A) (B) ,yxv ,()(yxiuv(C) (D) ),()(i4. 设函数 在以原点为中心的圆环内的罗朗展开式有 个, 那么 )4(1)(zzf mm(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45设 在 解析，且 ，则映射 具有( )(zfw00)(zf zfw(A) 只把 的一个邻域内某一小三角形映成含 的一个三角形；0(B) 把 的一个邻域内任一小三角形映成含 的一个曲边三角形,二者
4、近似0z )(0zf相似；(C) 把充分小的圆周 映成三角形；rz0(D) 把含 的充分小的三角形映成圆周0z三. (10 分) 求解方程 .83四. (10 分) 计算复数 Ln (4)i复变函数-A 试卷第 3 页 共 10 页五.(10 分) 计算积分 ， ， 为正向曲线21()4CdzzA3:2C六.(10 分) 将函数 在 内展开成罗朗级数. )1(ln0七. (10 分) 计算积分 20cos35d八. (5 分) 计算 在 处的留数2()1zef九. (5 分) 计算积分 ， ， 为正向曲线5243()CdzzA:3C诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2007复变
5、函数-B试卷注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3考试形式：闭卷；4. 本试卷共 大题，满分 100 分， 考试时间 120 分钟。题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 总分得 分评卷人一. 填空题（每小题 4 分，共 20 分）1. 设 z=(1+i)100，则 Imz= . 2. 设 C 为正向圆周| |=2，f(z)= ，其中|z|2，则 . sin3zdCf()13. 罗朗级数 的收敛圆环为_, 和函数为_10)21()2(nnnz4.积分 |7_coszdA5. 函数 在区域 D 内解析， 且 ，则 在 具有两个性)(fwz00)
6、(zf )(zfw0_ _ 姓名学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线复变函数-A 试卷第 4 页 共 10 页质_，_，此时称 在 是保形的.)(zfw0二. 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）1. 方程 所表示的平面曲线为（ ） 2Re1zA. 圆 B. 直线C. 椭圆 D. 双曲线2. 若函数 在正向简单闭曲线 C 所包围的区域 D 内解析，在 C 上连续，且 为 D()fz za内任一点， 为正整数，则积分 等于（ ） n1()nfzdaAA. B. (1)2(!nifa 2()!ifaC. D. )i ()n3. 是函数 的（ ） 1z4cot(
7、)zA. 3 阶极点 B. 4 阶极点C. 5 阶极点 D. 6 阶极点4. 设 在点 z=0 处解析， ，则 Res 等于（ ） ()Qz )1()zQf (),0fzA. B. 0C. D. () ()5. 设 在 解析，且 ，则映射 具有( )(zfw00)(zf zfwA. 只把 的一个邻域内某一小三角形映成含 的一个三角形；0B. 把 的一个邻域内任一小三角形映成含 的一个曲边三角形，0z )(0zf二者近似相似；C. 把充分小的圆周 映成三角形；rz0复变函数-A 试卷第 5 页 共 10 页D. 把含 的充分小的三角形映成圆周0z三. (10 分) 将 在圆环 内展开成罗朗级数z
8、fsin)(|0:zD四. (10 分) 计算留数 Res 的值6,h五.（10 分）设 ，计算积分 ()cosfz0()ifzd六. (10 分) 计算积分 ，其中 C： 的正向34(1)CdzA|1|七. (10 分) 在指定区域，把函数 展开为洛朗级数(f，2ln(1)zf0|1|八. （5 分）设 ，sifz（1）求 在 的洛朗级数；)(z0|（2）在扩充复平面求 所有孤立奇点处的留数)(zf九. （5 分）设 ， 31()sin)f（1）求 的所有孤立奇点并判断其类型；fz（2）求 Res (),3A 卷参考答案：一 （20 分）（1）1 （2）0 （3）2 （4） （5）22214
9、5()二 （10 分）（1）B （2）C （3）B （4 ）C（5）B三（10 分）解：因为 所以，8(cosin),z（6 分）22(cosin,0,12.33kk复变函数-A 试卷第 6 页 共 10 页即方程有三个解： ， ， （10 分）13zi2z31zi四 （10 分）解：根据对函数的定义有（6 分）(34)ln4(4)LniiArgi5(actn23k（10 分）0,1.k五 （10 分）解：令 ，则 在内有两个一阶极点 ，由留数221()(4fzz()fz,i定理得（6 分）()Re,e(),cfdisfisfiA2()lmlzi ziffz （10 分）六 （10 分）解：七
10、.（10 分）解：令121,cos0.5(),1053s.(3)ii iizzzzededziizdA则 从 而 有23232 21ln(2)l1()(1)0.5()().(2)ln()1.10.5.(1).3.()(1).6zzzzzlzzzz所 以复变函数-A 试卷第 7 页 共 10 页在 内被积函数只有一个奇点 ，且为一阶级点，所以1z1313222Re,05cos()()2zdiiszi八 （10）分解： 在复平面内有两个奇点 1,-1,根据留数定理有()fz11Re,(Re),e(),12zzssfzsfze九 （10 分）解：设 ，则 得所有有限奇点均在 内部，由留数定理15243()(zfz()fz3z得： 1()Re,2(),nkkfisfzfA另一方面： 21522342304e,e(),0()R.,e,(1)zsfzsfzzzsz所以所求积分为： 2i复变函数-A 试卷第 8 页 共 10 页B 卷答案：复变函数-A 试卷第 9 页 共 10 页复变函数-A 试卷第 10 页 共 10 页
