1、8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆答案 A2. 设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1， 和 且长为 的棱与长为2a的棱异面，则 的取值范围是（ ）2a（A） （B） （C） （D）(0,)(0,3)(,)(,3)答案 A3. 下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是( )A BC D解析 由几何体
2、分析知中正视图和侧视图相同答案 ：D4一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( )A. a2 B2 a2 C. a2 D. a224 2 22 223解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S之间的关系是 S S，本题中直观图的面积24为 a2，所以原平面四边形的面积等于 2 a2.故选 B.a224 2答案 B5将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为( )解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两
3、条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项 D 符合答案 D6如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ，12则该几何体的俯视图可能是( )解析 当俯视图为 A 中正方形时，几何体为边长为 1 的正方体，体积为 1；当俯视图为 B 中圆时，几何体为底面半径为 ，高为 1 的圆柱，体积为 ；当俯视12 4图为 C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1，体积为 .12答案 C7. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析 由正视图可排除 A，C；由侧视图可判断该几
4、何体的直观图是 B.答案 B二、填空题8利用斜二测画法得到的：三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形以上结论正确的个数是_解析 由斜二测画法的规则可知正确；错误，是一般的平行四边形；错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，也错误答案 19一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为_解析 由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为.答案 10. 用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如
5、图所示，则它的体积的最大值为_，最小值为_解析 由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为 14，体积的最小值为 9.答案 14 911如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_解析 (构造法)由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥 C1- ABCD)，还原在正方体中，如图所示多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即 AC1.由正方体棱长AB2 知最长棱 AC1的长为 2 .3答案 2 3【点评】 构造正方体，本题就很容易得出结论，此种方法在立体几何问题中较为常见，把抽象问题转化为直观问题解决1
6、2如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中 ABC 是边长为 2 的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为_解析 根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥，结合数据可知其底面正六边形的边长为 1，棱锥的高为 h .由于三视图中“宽相等” ，3那么侧视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等，可得其长度为 ，则该几何体的侧视图的面积为 S . 312 3 3 32答案 32三、解答题、13如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
7、(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；解析 (1)如图(2)所求多面体的体积V V 长方体 V 正三棱锥 446 213 (1222) (cm3)284314正四棱锥的高为 ，侧棱长为 ，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为3 7多少？解析 如图所示，正四棱锥 S-ABCD 中，高 OS ，侧棱 SA SB SC SD ，3 7在 Rt SOA 中，OA 2， AC4.SA2 OS2 AB BC CD DA2 .2作 OE AB 于 E，则 E 为 AB 中点连接 SE，则 SE 即为斜高，在 Rt SOE 中， OE BC ， SO ，12 2 3 SE ，即侧面上的斜高为 .5 515.
8、 已知，如图一个空间几何体的三视图(1)该空间几何体是如何构成的？(2)画出该几何体的直观图；(3)求该几何体的表面积和体积解析 (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为 2，高为 1 的长方体，上半部分是一个底面各边长为 2，高为 1 的正四棱锥(2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图(3)由题意可知，该几何体是由长方体 ABCDABCD与正四棱锥PABCD构成的简单几何体由图易得：ABAD2，AA1，PO1，取 AB中点 Q，连接 PQ，从而 PQ ，所以该几何体表面积PO 2 O Q2 12 12 2S (ABBCCDDA)12PQ(ABBCCDDA)AAABAD4 12.2体积 V221 221 .13 16316一个正方体内接于高为 40 cm，底面半径为 30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长解析 如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为 x cm，则 OC x， ，22 22x30 40 x40解得 x120(32 )，2正方体的棱长为 120(32 ) cm.2
