1、 1 / 5等 比 数 列一、基础知识1定义与定义式从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列. )(1为 不 等 于 零 的 常 数qan2通项公式 ,推广形式:1namnnqa3前 n 项和 )10(1)(1qSnnn 且注 :应 用 前 n 项 和 公 式 时 ,一 定 要 区 分 的 两 种 不 同 情 况 ,必 要 的 时 候 要 分 类 讨 论 .q与4 等 比 中 项 :若 a、 b、 c 成 等 比 数 列 ,则 b 是 a、 c 的 等 比 中 项 ,且 acb5 在 等 比 数 列 中 有 如 下 性 质 : n(1)若 qpnmNqpm则,(2)下
2、标 成 等 差 数 列 的 项 构 成 等 比 数 列(3)连 续 若 干 项 的 和 也 构 成 等 比 数 列 .6 证 明 数 列 为 等 比 数 列 的 方 法 :(1)定 义 法 :若 为 等 比 数 列数 列 nn aNqa)(1(2)等 比 中 项 法 :若 为 等 比 数 列数 列且 nnn a )0(21221(3)通 项 法 :若 为 等 比 数 列数 列的 常 数均 是 不 为n N，qc0,(7 解 决 等 比 数 列 有 关 问 题 的 常 见 思 维 方 法(1)方 程 的 思 想(2)分 类 的 思 想 运 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 时 ,需 要 对
3、 讨 论1q和 当( )为 递 增 数 列等 比 数 列时或 naqaqa,10,1,01 1(11qann为 递 减 数 列等 比 数 列时或 1二 、 范 例 剖 析1 关 于 基 本 公 式 的 运 用2 / 5例 1 已 知 等 比 数 列 中 ， a1+a2+a3=7， a1a2a3=8， 求 an。n变 式 ： 将 该 题 中 的 等 比 数 列 改 为 等 差 数 列 ， 结 果 是 多 少 ？例 2 已 知 数 列 为 等 差 数 列 ， 公 差 d 0， 的 部 分 项 组 成 下 列 数 列 ： ， ， ， ， 恰 为 等 比 数 列 ，nanaak12kn其 中 k1=1
4、, k2=5, k3=17， 求 k1+k2+k3+kn。2.关 于 等 比 数 列 的 证 明例 3.数列 的通项公式分别是 它们公共项由小到大排列的数列是 ,写出 的nba, ,23,nban ncn前 5 项 证明 是等比数列c3.数学应用题-数列建模例 4： 一 对 夫 妇 为 了 给 他 们 的 独 生 孩 子 支 付 将 来 上 大 学 的 费 用 ， 从 孩 子 一 出 生 就 在 每 年 生 日 ， 到 银 行 储 蓄 a 元 ,一 年 定期 ， 若 年 利 润 率 为 r， 保 持 不 变 ， 且 每 年 到 期 时 ， 存 款 （ 含 利 息 ） 自 动 转 为 新 的 一
5、 年 定 期 ， 当 孩 子 18 岁 上 大 学 时 ， 将所 有 存 款 （ 含 利 息 ） 全 部 取 回 ， 则 取 回 总 钱 数 为 多 少 ？4 等 比 数 列 综 合 题例 5 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 和 满 足 ， ， 成 等 比 数 列 ， lgbn， lgan+1， lgbn+1 成 等 差 数 列 ， 且nab5anbn1na1=1， b1=2， a2=3， 求 通 项 an， bn。数列部分技巧专题方法一：通项常见的求法。1. 观察法例 1. 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1） 910,6385,42，；（2） 93,617
6、5,3，；3 / 52. 累差叠加法例 2. 已知数列 na的前几项依次是：6，9，14，21，30，求其通项公式。3. 待定系数法例 3. 已知a n为等差数列， 23a,62，求 an。4. 错位相减法例 4. 如果数列 na的前 n 项和为 3a2Sn，求这个数列的通项公式 na。5.累商叠成法例 5. 已知 1a,na1，求数列 na的通项公式 na。方法二：解递推关系式常见方法1. 公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有 )2n(Sa1n，等差数列和等比数列的通项公式。2. 归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。这
7、种方法叫做归纳法。3. 累差叠加法：利用恒等式 )a()a(a1n121n 求通项公式的方法称为累差叠加。累差叠加法是求型如 )(fan1的递推数列通项公式的基本方法（其中数列f(n)可求前 n 项和） 。例 2. 已知数列 中， *n11N,2a,2a，求 an。4 / 55. 转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：（1）凑配、消项变换如将一阶线性递推公式 dqan1（q、d 为常数， 0q，q） 。通过凑配变成 daq1dann ，或消常数项转化为)(qan11n2；（2）倒数变换如将一阶分式递推公式 d
8、acn1（c、d 为非零常数）取倒数得 c1ad1nn； （3）对数变换如将一阶递推公式 )1p,0,(apn1 取对数得 lglpalg1（4）换元变换如将一阶递推公式 ndqa（q、d 为非零常数， q， d）变换成d1qadn1n，令 nab，则转化为一阶线性递推公式。例 4. 已知数列 中，a 1=1， )2n(1a2，求 na的通项公式。配型法迭代法例 5. 已知数列 na（ *N）中， n1na2,a，求 an。例 6. 已知数列 na满足 )2n(a,21n1，求数列 na的通项公式。方法三：数列求和常见的方法1. 公式法2. 错位相减法3. 裂项相消法求和例 3. 求数列 ,)
9、2n(1,53,421的前 n 项和 Sn。5 / 54. 并项求和例 4. 求 21n22)(4315. 倒序相加求和：等差数列求和重点题型重点题一：设数列 na的前 n 项和 )Nn(32S，求数列 na的通项公式。重点题二：已知等差数列 na， S为前 n 项和，若 90S,384，求 12。重点题三：等差数列 na， b的前 n 项和分别为 nS和 T，若 n213，则 1ba等于_。重点题四：设等比数列 na的首项为 a，公比为 )0a(，若其前 10 项中最大的项为 1024，求 a 的值。重点题五：已知等比数列 na中， 214S,3，求 a。重点题六：一个数列 na，当 n 为奇数时， 1n5a；当 n 为偶数时， 2na。这个数列的前 2m 项之和为_。
