1、椭圆偏振仪测量薄膜厚度和折射率在近代科学技术的许多部门中对各种薄膜的研究和应用日益广泛因此，更加精确和迅速地测定一给定薄膜的光学参数已变得更加迫切和重要在实际工作中虽然可以利用各种传统的方法测定光学参数（如布儒斯特角法测介质膜的折射率、干涉法测膜厚等） ，但椭圆偏振法（简称椭偏法）具有独特的优点，是一种较灵敏（可探测生长中的薄膜小于 0.1nm 的厚度变化） 、精度较高（比一般的干涉法高一至二个数量级） 、并且是非破坏性测量是一种先进的测量薄膜纳米级厚度的方法它能同时测定膜的厚度和折射率（以及吸收系数） 因而，目前椭圆偏振法测量已在光学、半导体、生物、医学等诸方面得到较为广泛的应用这个方法的原
2、理几十年前就已被提出，但由于计算过程太复杂，一般很难直接从测量值求得方程的解析解直到广泛应用计算机以后，才使该方法具有了新的活力目前，该方法的应用仍处在不断的发展中实 验目 的(1) (1) 了解椭圆偏振法测量薄膜参数的基本原理；(2) (2) 初步掌握椭圆偏振仪的使用方法，并对薄膜厚度和折射率进行测量实 验原 理椭偏法测量的基本思路是，起偏器产生的线偏振光经取向一定的/波片后成为特殊的椭圆偏振光，把它投射到待测样品表面时，只要起偏器取适当的透光方向，被待测样品表面反射出来的将是线偏振光根据偏振光在反射前后的偏振状态变化，包括振幅和相位的变化，便可以确定样品表面的许多光学特性1 椭偏方程与薄膜
3、折射率和厚度的测量图 15.1 图 15.1 所示为一光学均匀和各向同性的单层介质膜它有两个平行的界面，通常，上部是折射率为 n1的空气(或真空)中间是一层厚度为 d 折射率为 n2的介质薄膜，下层是折射率为 n3的衬底，介质薄膜均匀地附在衬底上，当一束光射到膜面上时，在界面 1 和界面 2 上形成多次反射和折射，并且各反射光和折射光分别产生多光束干涉其干涉结果反映了膜的光学特性设 1表示光的入射角， 2和 3分别为在界面 1 和 2 上的折射角根据折射定律有n1sin 1=n2sin 2 n3sin 3 （15.1）光波的电矢量可以分解成在入射面内振动的 P 分量和垂直于入射面振动的 s 分
4、量若用 Eip和 Eis分别代表入射光的 p 和s 分量，用 Erp及 Ers分别代表各束反射光 K0， K1， K2，中电矢量的 p 分量之和及 s 分量之和，则膜对两个分量的总反射系数Rp和 Rs定义为RP Erp/Eip , Rs=Ers/Eis （15.2）经计算可得式中， r1p或 r1s和 r2p或 r2s分别为 p 或 s 分量在界面 1 和界面ipiprper21 isisrsEe212 上一次反射的反射系数2 为任意相邻两束反射光之间的位相差根据电磁场的麦克斯韦方程和边界条件，可以证明r1p=tan( 1- 2)/ tan( 1+ 2), r1s =-sin ( 1- 2)/
5、 sin( 1+ 2)；r2p=tan( 2- 3)/tan( 2+ 3), r2s =-sin ( 2- 3)/ sin( 2+ 3) (15.4)式（15.4）即著名的菲涅尔（Fresnel）反射系数公式由相邻两反射光束间的程差，不难算出1222442 sincosdnd (15.5)式中， 为真空中的波长， d 和 n2为介质膜的厚度和折射率在椭圆偏振法测量中，为了简便，通常引入另外两个物理量 和 来描述反射光偏振态的变化它们与总反射系数的关系定义为上式简称为椭偏方程，其中的 和 称为椭偏参数（由于具有角度量纲也称椭偏角）由式(15.1),式( 15.4),式( 15.5)和上式可以看出
6、，参数 和 是 n1， n2， n3， 和 d 的函数其中 n1， n2， 和 1可以是已知量，如果能从实验中测出 和 的值，原则上就可以算出薄膜的折射率 n2和厚度 d这就是椭圆偏振法测量的基本原理实际上，究竟 和 的具体物理意义是什么，如何测出它)(11/. 2s2iipspi rrRe eetan们，以及测出后又如何得到 n2和 d，均须作进一步的讨论2 和 的物理意义用复数形式表示入射光和反射光的 p 和 s 分量Eip=|Eip|exp(iip)， Eis=|Eis|exp(iis)；Erp=|Erp|exp(irp) ， Ers=|Ers|exp(irs) （15.6）式中各绝对值
7、为相应电矢量的振幅，各 值为相应界面处的位相由式（15.6）,式（15.2）和式（15.7）式可以得到 )()(|E| isiprspiprsie extan （15.7）比较等式两端即可得tan =|Erp|Eis| Ers|Eip| （15.8）=( rp rs)- ( ip is) （15.9）式（15.8）表明，参量 与反射前后 p 和 s 分量的振幅比有关而（15.9）式表明，参量 与反射前后 p 和 s 分量的位相差有关可见， 和 直接反映了光在反射前后偏振态的变化一般规定， 和 的变化范围分别为 0 ,，和，然后分别求平均计算中，令21和 243， (15. 20)而椭圆开口角
8、与 1P和 3的关系为|31P (15.21)由式(15.22)算得 后，再按表 15.1 求得值利用类似于图 15.4 的作图方法，分别画出起偏角 P1在表 15.1 所指范围内的椭圆偏振光图，由图上的几何关系求出与公式（15.18）类似的 与 P1的关系式，再利用式（15.20）就可以得出表15.1 中全部 与 的对应关系表 15.1 1与 的对应关系P1 =-( ip- is)0/4 -/4/2 /23/4 - 3/4 - (- )(2) (2) 计算 值：应按公式（15.22）进行计算4）|(| 4321 (15.22) 折射率 n2和膜厚 d 的计算尽管在原则上由 和 能算出 n2和
9、 d，但实际上要直接解出（ n2,d）和（, ）的函数关系式是很困难的一般在n1和 n2均为实数（即为透明介质的），并且已知衬底折射率n3（可以为复数）的情况下，将（ n2,d）和（, ）的关系制成数值表或列线图而求得 n2和 d 值编制数值表的工作通常由计算机来完成制作的方法是，先测量（或已知）衬底的折射率 n2，取定一个入射角 1,设一个 n2的初始值，令 从 0变到 180（变化步长可取 /180，/90，等），利用式（15.4），式（15.5）和式（15.6），便可分别算出 d， 和 值然后将 n2增加一个小量进行类似计算如此继续下去便可得到（ n2,d）（, ）的数值表为了使用方便，
10、常将数值表绘制成列线图用这种查表（或查图）求 n2和 d 的方法，虽然比较简单方便，但误差较大，故目前日益广泛地采用计算机直接处理数据另外，求厚度 d 时还需要说明一点：当 n1和 n2为实数时，式（15.4）中的 2为实数，两相邻反射光线间的位相差“亦为实数，其周期为 22 可能随着 d 的变化而处于不同的周期中若令 2=2 时对应的膜层厚度为第一个周期厚度d0，由（15.4）式可以得到 1220sind由数值表，列线图或计算机算出的 d 值均是第一周期内的数值若膜厚大于 d0，可用其它方法(如干涉法)确定所在的周期数 j，则总膜厚是D = (j -1) d0+d 金属复折射率的测量以上讨论
11、的主要是透明介质膜光学参数的测量，膜对光的吸收可以忽略不计，因而折射率为实数金属是导电媒质，电磁波在导电媒质中传播要衰减故各种导电媒质中都存在不同程度的吸收理论表明，金属的介电常数是复数，其折射率也是复数现表示为 2n=n2 -i式中的实部 n2并不相当于透明介质的折射率换句话说， n2的物理意义不对应于光在真空中速度与介质中速度的比值，所以也不能从它导出折射定律式中 称为吸收系数这里有必要说明的是，当 2n为复数时，一般 1和 2也为复数折射定律在形式上仍然成立，前述的菲涅尔反射系数公式和椭偏方程也成立这时仍然可以通过椭偏法求得参量 d,n2和 k，但计算过程却要繁复得多本实验仅测厚金属铝的
12、复折射率为使计算简化，将式（15.25）改写成以下形式 2n=n2-in由于待测厚金属铝的厚度 d 与光的穿透深度相比大得多，在膜层第二个界面上的反射光可以忽略不计，因而可以直接引用单界面反射的菲涅尔反射系数公式（15.4）经推算后得 ncositas211int公式中的 n1， 1和 的意义均与透明介质情况下相同实 验 内 容关于椭偏仪的具体结构和使用方法，请参看仪器说明书实验时为了减小测量误差，不但应将样品台调水平，还应尽量保证入射角 1放置的准确性，保证消光状态的灵敏判别另外，以下的测量均是在波长为 632.8nm 时的参数而且，所有测量均是光从空气介质入射到膜面1 测厚铝膜的复折射率取
13、入射角 1=/3按已述方法测得 和 由式(15.26)和式(15.27)式算出 n 和 值，并写出折射率的实部和虚部2 测硅衬底上二氧化硅膜的折射率和厚度已知衬底硅的复折射率为 n3=3.85i0.02,取入射角 1=718二氧化硅膜只有实部膜厚在第一周期内测出 和 后，利用列线图（或数值表）和计算机求出n2和 d，将两种方法的结果进行对比并计算膜的一个周期厚度值 d03 测量 0玻璃衬底上氟化镁（MgF 2）膜层的折射率和厚度(1) 测 0玻璃的折射率首先测出无膜时 K0玻璃的 和 值，然后代入n3=n3（, , 1）的关系式中算出 n3值，测量时入射角 1取 7/18关于 n3与三个参量的
14、关系式，根据式（15.1），式（15.4），式（15.5）和式（15.6），并令膜厚 d0，便可以算出 n3的实部 n0的平方值和 n3的虚部 值为2211220 )( cosiicostasi (15.28)20)(4ncsi(15.29)（2）测透明介质膜氟化镁的折射率和厚度仍取入射角 1=718膜厚在第一周期内测出 和 后也用列线图和计算机求出结果思 考 题(1) 用椭偏仪测薄膜的厚度和折射率时，对薄膜有何要求？(2) 在测量时，如何保证 1较准确？(3) 试证明：| P1-P2| =/2，| P3-P4| =/2(4) 若须同时测定单层膜的三个参数（折射率 n2，厚度d 和吸收系数 ）
15、，应如何利用椭偏方程？遗传算法在椭圆偏振测量中的应用彭子龙 李佐宜 胡煜 谭立国 杨晓非摘要： 详细介绍了椭圆偏振法测量的基本原理和椭偏函数方程的建立，将遗传算法引入到椭偏法测试薄膜的折射率和厚度的计算中，改善了计算的收敛性并提高收敛速度。给出了计算程序流程图，重点分析了各遗传算子的设计。关键词： 椭偏仪测量； 遗传算法中图分类号： O484.5 文献标识码： A文章编号： 1002-1582(2000)03-0277-04Application of genetic algorithm in measurement with ellipsometerPENG Zi-long, LI Zuo-
16、yi, HU Yu, TAN Li-guo, YANG Xiao-fei(Dept. of Electrical Sci. measurement; genetic algorithm1 引 言随着薄膜技术在信息存储材料、光学及空间技术等领域中的广泛应用，薄膜光学常数的精确测定也越来越显示其举足轻重的作用。测定介质薄膜折射率的布儒斯特角方法和测定厚度的多光束干涉法早已为广大薄膜工作者所熟悉，但是受到计算手段等的限制，具有最高测试精度的椭圆偏振法一直没有得到广泛的实际应用。椭偏法不仅可以测定单层介质膜、吸收膜的复折射率和厚度，采用适当的测量方法和计算程序，它还可以同时测定多层介质膜、吸收膜的复折
17、射率和厚度，为分析薄膜的光学特性提供了强有力的手段。椭偏法的另一个突出的优点是它是一种无损测量即不破坏待测样品也没有特别的样品要求。本文首先介绍椭偏法测量的基本原理和实验装置，然后结合程序框图分析在采用遗传算法计算椭偏法测试结果中遗传算子设计及收敛性等细节。2 基本原理当一束线偏振光入射到薄膜表面时，入射光波中的电场强度 P 分量和电场强度 S 分量在两种媒质的交界面上的行为是不同的，即通常 P 分量和 S 分量的反射率和反射相移各不相同，于是在反射光的 P 分量和 S分量之间产生了附加的振幅差和位相差，反射光一般会成为椭圆偏振光。在入射介质及基片的光学常数和入射角已知的情况下，这个反射的椭圆
18、偏振光的参数仅由薄膜的光学常数决定。这就是椭偏法测量薄膜光学常数的根据。下面给出以多层膜为对象的具体表达式。为了计算多层膜的椭偏率，就必须先计算薄膜对 P 分量和 S 分量的菲涅尔反射系数 rp和 rs。计算多层膜菲涅尔反射系数的方法很多，如特征矩阵法、矢量法等 1 ，这里从编程的角度考虑采用了递推法，如图1 所示。递推法的基本思路是从多层膜的底层开始，依次将两个相邻界面按光学导纳等效为一个界面，一直等效到薄膜的表面，这时就相当于只有单一界面了。取 k+1 层的组合导纳为 Yk+1= k+1，则第 j 层的组合导纳的等效递推关系为图 1 递推法计算多层膜光学导纳示意图(1)其中 j称为第 j
19、层的位相厚度 。以上各式中 j为第j 层的光学导纳(2)各层的折射角 i由 Snell 定律决定。需要指出的是，当第 j 层为吸收膜即 nj为复数时， j亦应当是一个复数。这样依次计算直到第一层，最后得到多层膜的等效组合导纳 YY 1。则整个膜系 P 分量和 S 分量的菲涅尔反射系数分别为(3)则理论上该多层膜的椭偏率 c表示为(4)另一方面，通过椭偏仪我们可以得到多层膜系的椭偏率测量值 m。下面先介绍椭偏仪的基本结构和测试原理。消光椭偏仪的光路如图2 所示，图中采用 P-S 坐标系。自然光经起偏器成线偏光 E0，再经 45的 /4 波片成等幅椭偏光。经样品反射后一般会改变其偏振态，调节起偏器
20、的方位角可使反射光成为线偏光 Er，最后经检偏器消光。/4 波片的作用是使 E0分解成 E 快 和 E 慢 ，如图 3 所示，并且使 E 快 超前 E 慢/2 的相位。一般 /4 波片的快轴方向取45。我们取45方向，所以图 2 消光椭圆偏振仪的光路图图 3 /4 波片作用下的线偏光(5)(6)它们在 X、Y 轴上的投影合成为 Eip 和 Eis，经简单的计算可得(7)(8)于是E ip=E is (9) ip- is=2P-/2 (10)上式表明我们得到了等幅且 P、S 相位差可调的入射偏振光。通过起偏器使反射光在膜系相位变化 的基础上给予足够的补偿，从而使之成为线偏光，即 +ip-is=r
21、p-rs=0 或 。对应于45的 /4波片快轴取向，我们有(11)由椭偏仪测得两组起偏器和检偏器的方位角（P，A），按（11）式计算并得到 、 的平均值，最后得到膜系椭偏率的测量值为 m=tge i (12)令 c= m就建立起了膜系的椭偏函数方程。从以上推导可以看到，椭偏函数方程是一个超越方程。一般情况下入射介质和基片的折射率是已知的，当固定测试光的波长和入射角时，方程是各层膜的复折射率 nj及膜层厚度 dj的函数，它不可能通过解析方法直接求解，吴永汉等曾采用变量代换法讨论了单层介质膜时的方程求解 2 。特别是当薄膜是多层结构时，方程中的未知量个数多于方程数，此时方程已不能唯一决定一组 nj
22、及 dj。进一步的分析可知，椭偏函数具有一定的周期性 3 ，其周期是 ndcos =，如果令 f(nj,dj)= c- m，则 f(nj,dj)是一个多峰函数，n j、d j的真实值的函数值应对应于某个周期中的峰值，如果我们根据其他信息(比如薄膜制备时间等)能够预先大概地判定膜系中各层膜的 nj及 dj的范围，则有可能采用合适的算法而得到 nj及 dj，徐瑛则采用蒙特卡洛方法讨论了多层膜系的椭偏方程求解并给出了计算流程图 4 。我们分析并综合比较了各种算法的特点，决定采用遗传算法来求解椭偏函数方程。3 遗传算法设计遗传算法是受到自然界生物从低级、简单到高级复杂的漫长而绝妙的进化过程的启发，借鉴
23、于达尔文的物竞天演、优胜劣汰、适者生存的自然选择和自然进化的机理而产生的一种求解问题的高效并行全局搜索方法。它能在搜索过程中自动获取和积累有关搜索空间的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最优解，尤其适合于处理传统搜索方法难以解决的高度复杂的非线性问题 5,6 及多参数优化问题。我们基于遗传算法的薄膜参数计算框图如图 4 所示，下面结合收敛性着重介绍遗传算子的设计。图 4 遗传算法的计算流程图(1) 编码考虑到表达的普遍性，将折射率统一视为复数(若薄膜为介质材料则复折射率的虚部为零)，这样连同膜层厚度总共为每层 3 个未知量。我们定义复折射率的实部和虚部的各占 10 个基因位，而膜层厚度占 12
24、位，一个膜层为一个子串。这样对于 n 层的薄膜而言，其染色体长度为32n。(2) 评价函数如上文所述，函数 f(nj,dj)= c- m，反映了计算值与测量值之间的差距。我们由此构筑了函数 f(n j,dj)=( c- m)/ m这一计算值与测量值之间的相对差距来描述解的合理程度。该函数值越小表明当前的一组 nj、d j的越合理（即适应值越大），所以我们在通过解码计算得到所有个体的函数值之后，找出其中的最小值 fmin 并定义相应个体的适应值为 1，其它个体的适应值则为 adj=fmin/f j。(3) 复制算子采用定比例方法。设群体规模为 N，我们规定在下一代中只有20N 的个体是由复制产生
25、的，同时规定只有适应度最好的 4 个个体（相同个体只计一次）有生成下一代个体的权力，并且这 4 个最优个体在 20N 中占的比例依次为：50、25、15和 10。这种复制算子使得在下一代的种群中较优个体占一定规模但是不能完全控制进化过程，从而避免了计算过程中的不成熟收敛。(4) 交配池与交叉算子设定交配池规模为 80N，上一代中的所有不相同的个体全部作为交配池中的当然成员，其不足部分由随机产生的个体补足。然后指定上一代中的最优个体作为父代之一与交配池中的所有个体依次进行两点交叉，交叉位随机产生并且两交叉点间的距离为 4 个基因位，这样就使进化优势得到了积累。由此产生的 80N 个个体和直接复制
26、产生的 20N个个体合并为下一代的种群。(5) 变异算子群体的总基因位数为 34n.N，变异概率为 Pm，则在一次进化过程中共有 34n.N.Pm位的基因发生突变，突变个体及突变基因的位置随机指定。我们固定群体中的第一个个体始终为适应值最好的个体，并且该个体不参与变异操作。这样在每一个进化过程中，只要产生了适应度更好的个体，该个体都将被无条件地保留，从而保证了计算的收敛性 5 。上述复制、交叉和变异算子的综合运用保证了种群在进化过程中始终有足够的多样性，从而加快了收敛速度。图 5 绘出了某次计算中种群多样性和收敛误差与遗传代数的关系。其中定义图 5 遗传计算过程中的种群多样性和收敛特性在实际的
27、计算过程中，我们尝试了各个参数不同取值时的计算效率和结果，最后确定的参数为 N=150、P c0.8、P m0.2，最大遗传代数为 Genmax=膜层数50。同时以方便实用为目标，我们在 MatLab5.2 下开发了 Windows 风格的应用软件包。该软件包同时具有计算参数设定、测试数值输入与计算、结果保存与打印等常用的功能。4 结果与讨论我们测试了采用 RF 磁控溅射法制备的部分单层介质薄膜样品，由溅射时间和溅射速率预估膜层厚度的大致范围，并在该软件包下计算了样品的折射率和膜厚，所得结果和文献2所提供的变量代换方法计算的结果相比较，如下表 1 所示。从计算结果来看，将遗传算法引入椭偏测量的
28、计算中是可行的，其计算结果稳定、可靠。我们相信在计算多层结构的薄膜样品时，遗传算法将能更显著地发挥其收敛速度快、计算结果稳定的优势。表 1 遗传法和文献2的代换法计算的结果比较P1 52.22 50.00 53.34 35.15 27.17A1 17.52 17.82 13.72 13.54 14.83P2 -37.67 -40.09 -36.68 -54.32 -62.49(P, A)A2 -16.33 -17.28 -12.88 -15.62 -18.87n 1.7294 1.6617 1.7633 1.7717 2.2373d(nm) 262.1 51.3 492.2 365.5 604
29、.8遗传法Err 0.0017 0.0031 0.0078 0.0042 0.0015n 1.7276 1.6588 1.7594 1.7745 2.2406代换法 2d(nm) 263.1 52.4 494.3 370.9 603.7注：计算时用到的参数：入射角 70，空气折射率 1.0003，玻璃基片折射率 1.5206，薄膜为单层膜。 5 结束语电子材料和光学材料研究的进一步活跃以及计算机技术的高速发展，必将使椭圆偏振测试方法得到越来越广泛的应用。在有预估区间的情况下通过单次椭偏测量后计算多层膜参数经实践不失为一种相对简单有效的方法，其关键是采用一种稳定高效的计算方法。作者尝试将遗传算法
30、引入其中，并得到了有益的结果。感谢华中理工大学数学系杨霞、胡吉卉研究生在本论文形成过程中的帮助。彭子龙（华中理工大学 电子科学与技术系， 武汉 430074）李佐宜（华中理工大学 电子科学与技术系， 武汉 430074）胡煜（华中理工大学 电子科学与技术系， 武汉 430074）谭立国（华中理工大学 电子科学与技术系， 武汉 430074）杨晓非（华中理工大学 电子科学与技术系， 武汉 430074）参考文献：1唐晋发，郑权. 应用薄膜光学M. 上海科学技术出版社，1984.2吴永汉，窦菊芳. 椭偏法测膜厚的直接计算方法J. 物理实验，1997, 18(1):11-13.3徐瑛，华中理工大学硕士毕业（学位）论文，1997.4吴启宏，唐晋发. 透明薄膜光学常数的椭圆偏振测量J. 浙江大学学报，1980, (4):89-98.5陈国良，王熙法，庄镇泉，王东生. 遗传算法及其应用M. 人民邮电出版社，1996.6刘勇，康立山，陈毓屏. 非数值并行计算遗传算法M. 北京：科学出版社，1997.
