1、期末总复习二次函数的图像与性质,1.若（m，a），（n，a）是抛物线上不同的两点， 则抛物线的对称轴为：直线,2.抛物线与x轴两个交点 之间的距离,3、系数a的作用： 决定开口方向与开口大 小以及函数最值情况,注意： |a|越大，抛物线的张口越小； |a|越小，抛物线的张口越大， |a|相同的抛物线通过平移 （或旋转）一定能重合。,y,4、系数b的作用： 和抛物线的对称轴有关。 当ab0时，对称轴在y轴左侧 当ab0时，对称轴在y轴右侧 当b=0时，对称轴即为y轴。 以上结论反之也成立。,5、系数c的作用： 和y轴交点的纵坐标， 任何抛物线和y轴必有一个 交点（0，c）。 当c0时，交y轴于负
2、半轴； 当c0时，交y轴于正半轴； 当c=0时，图象必经过原点。,x,6.二次函数的解析式有三种形式： 一般式：顶点式：两根式：,例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断中不正确的有（ ） A.abc0 B.b2-4ac0 C.2a+b0 D.4a-2b+c0,-1,1,x,y,o,二、典型例题举例：,D,例2 （1）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像经过原点，求m的值（2）若二次函数y=x2+2(m-1)x+2m-m2的图像关于y轴对称，求m的值,2m-m2=0,m=2或m=0,（3）二次函数y=(x-a)2+(x-b)2,其中a,b为常数，当y达
3、到最小值时x的值为_,（4）直线x=2是抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴，当x1=0,x2=1.5,x3=3时， 对应的y值依次是 y1,y2,y3,则它们之 间的大小关系是_,例3.求满足下列条件的二次函数解析式： （1）二次函数的图像与x轴交于点A(2,0),B(4,0),且图像过点C(1,6)（2）二次函数当x=1时有最大值y=4,且x=0时y=0（3）二次函数的图像可由函数y=ax2-1的图像向左平移2个单位得到，且过点M(-1,-3),（4）图象在x轴上截得的线段长为4，图象 的顶点坐标为P（3，-2）。,（5）已知抛物线C与抛物线y=2x2-4x+5关于x轴对称，求抛物线
4、C 的解析式。,x,y,O,(1,3),Y=2(x-1)2+3,(1,-3),y=2(x-1)2-3,思考：若把抛物线y=2x2-4x+5绕着顶点旋转1800,（6）抛物线与x轴两交点的横坐标之和为-2.5，积为-6，且过点(0,-6),A(x1,0),B(x2,0) x1+x2=-2.5, x1x2=-6 x1,x2是方程x2+2.5x-6=0的两根 所求的抛物线解析式是 Y=a(x2+2.5x-6),（7）抛物线的顶点是直线y=2x与y=-2x+4的交点，且经过直线y=-2x+4与y轴的交点（8）把抛物线y=ax2+bx+c向下平移2个单位，再向左平移6个当单位，所得的抛物线顶点为(-3,
5、-1)，且a+b+c=9，求原抛物线解析式,例4已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3 满足下列条件： （1）图象与x轴两个交点间的距离为 （2）当x1时，y随x增大而减小。 求m的值。,变式：,已知抛物线 y=-x2+(m-2)x+3与X轴交于A，B两点,与y轴交于点C,且同时满足下列条件:(1)当x-2时,y随x的增大而增大;(2)当x1时,y随x的增大而减小.如果O是坐标原点,M是AB中点,问是否存在这样的m值,使COM的面积等于2或6?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由?,例5.已知点A（-1，-1）在抛物线 y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上 （1）求抛物线的对称轴
6、； （2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称， 问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存 在，说明理由。,解（2） B点与A点关于抛物线的对称轴对称B点坐标为（x,-1），又B点在抛物线 上，,解得B点坐标为,K=-3,y=8x2+10x+1,当直线过点B，且与y轴平行时，满足条件，此时直线为,假设存在直线y=mx+n与抛物线只交于一点B,本节内容主要复习了二次函数的图象和性质，围绕解析式、图象、性质三方面展开。 （1）研究二次函数图象的关键是将函数式转换为顶点式，理解二次函数性质的关键是：充分理解图象的直观性。归纳到“三点（顶点、与坐标轴交点）一开口”。 （
7、2）用待定系数法求二次函数的解析式，三种表达形式在不同条件下，应选择计算量少的那一种形式，通常还用到抛物线截X轴所得线段长，面积等求法。,小结：,例6. 已知二次函数y=x2+ax+a-2 （1）证明：不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q总在x轴下方。 （2）设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一交点为D,问：ACD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由。 （3）在（2）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A,则能使ACD的面积等于0.25的抛物线有几条？请证明的结论。,7.二次函数与方程、不等式的关系,思考：满足什么条件时，二次函数值恒大于0？恒小于0？,
