1、1复变函数与积分变换课程考试大纲(一)（物理学、自动化、电子信息工程、信息与计算科学专业，54 学时）一、 教 材：复变函数与积分变换 （第二版） ，华中科技大学数学系编，高等教学出版社，2003 年。二、 考试范围： 教材第一、二、三、四、五(第 4 节不考)、六、八、九章的全部内容。三、 复习的总体要求： 认真阅读教材及各章后面的小结，掌握概念、理解定理并能应用定理解决一些实际问题；有关定理的证明看懂即可；熟练掌握各种形式的复积分、留数、Fourier 变换和Laplace 变换的计算；能在指定区域内对复变函数进行 Taylor 展开或 Laurent 展开。四、复习的具体要求：第一章 复
2、数与复变函数熟练掌握复数的各种表示方法及相应的运算，掌握复数的性质,理解辐角的多值性以及复数与平面上点的一一对应关系；了解复数与实数的不同点。理解和掌握平面点集的有关概念，如邻域、去心邻域、边界点、区域、闭区域、有界集、无界集、曲线的光滑和按段光滑、简单曲线、单连通区域和多连通区域等。了解无穷大与复球面。理解复变函数及与之相关的概念，如复变函数的极限与连续性、复变函数与映射的关系等。第二章 解析函数正确理解复变函数的导数与解析函数这两个重要概念，并熟练掌握判断复变函数可导与解析的方法，牢固掌握 Cauchy-Reimann 方程及其在函数可导与解析性判别中的应用。能区别复变函数在一点可导与一点
3、解析的异同；能熟练进行导数的各种运算。理解调和函数与共轭调和函数的概念，会根据解析函数与调和函数的关系求适合初始条件的解析函数。2掌握各种初等函数，如指数函数、三角函数、对数函数、幂函数、反三角函数等的定义及有关运算，了解这些函数的解析区域。对根式函数与对数函数的多值性、主支、单值分支等概念要正确理解。第三章 复变函数的积分理解复变函数积分的定义和性质以及原函数的概念；深刻理解和掌握 Cauchy 积分定理和 Cauchy 积分公式（包括高阶导数公式） ，并能熟练地利用它们计算复积分。理解解析函数的平均值公式、最大模原理，了解 Liouville 定理。第四章 解析函数的级数表示理解复数项级数
4、及其收敛的概念，掌握复数项级数收敛的判别法。理解关于幂级数的Abel 定理，熟练掌握计算幂级数的收敛半径和收敛域；能熟练地用直接方法和间接方法将解析函数在指定区域内展开成 Taylor 级数。理解 Laurent 级数的概念，掌握 Laurent 定理，并能熟练地将函数在指定的圆环或某点的去心邻域内展开成 Laurent 级数。特别要掌握将同一个函数在不同区域上展开成 Taylor 级数或 Laurent 级数的方法及其意义。第五章 留数及其应用正确理解孤立奇点的定义，熟练掌握对孤立奇点类型的判别方法。掌握函数的零点与极点的关系并能计算它们的阶数。掌握复变函数留数的概念、留数定理，掌握函数在各
5、种奇点处留数的计算，并能利用留数计算几类实变量函数的定积分。第六章 共形映射理解复变函数导数的模和辐角的几何意义，了解保角映射、共形映射的概念。掌握分式线性映射的定义及其性质，如保形性、保对称性和保圆性等，能比较熟练地利用分式线性映射实现标准区域（圆域、半平面或角形区域）之间的共形映射。了解初等函数及其特有的变换功能。第八章 Fourier 变换理解和掌握周期函数的 Fourier 级数的复指数形式及相关概念，如振幅、离散频谱、离散相位谱、离散振幅谱、振幅谱、相位谱等；掌握 Fourier 积分、Fourier 变换、Fourier逆变换的定义，能熟练地应用定义求函数的 Fourier 积分和
6、 Fourier 变换，了解对函数进行3Fourier 变换所需的条件。掌握单位脉冲函数的定义性质及其 Fourier 变换。熟练掌握Fourier 变换的性质及其应用；熟练掌握函数卷积的定义、性质及其计算。1. Laplace 变换熟练掌握 Laplace 变换、Laplace 逆变换及其性质，并能利用定义熟练地求函数的Laplace 变换；了解像函数、原像函数的定义。掌握卷积定理、反演积分公式，并能进行相应的计算。掌握利用留数计算反演积分，利用 Laplace 变换求解常微分方程（组）的方法。（完）五、 试卷题型1. 单项选择题； 2. 填空题; 3. 计算题; 4. 证明题. 其中, 选
7、择题和填空题两类客观题占 1/3 左右. (完)大纲制定者：王建平 教授大纲审定者：盛宝怀 教授2006 年 9 月4复变函数与积分变换课程考试大纲(二)（物理学、自动化、电子信息工程、信息与计算科学专业，36 学时）一、 教 材：复变函数与积分变换 （第二版） ，华中科技大学数学系编，高等教学出版社，2003 年。二、考试范围： 教材第一、二、三、四、五(第 3、4 节不考)、八、九章的全部内容。三、 复习的总体要求： 认真阅读教材及各章后面的小结，掌握概念、理解定理；有关定理的证明看懂即可；熟练计算各种形式的复积分、留数、Fourier 变换和 Laplace 变换；能在指定区域内对复变函
8、数进行 Taylor 展开或 Laurent 展开。四、考试的具体要求：第一章 复数与复变函数熟练掌握复数的各种表示方法及相应的运算，掌握复数的性质,理解辐角的多值性以及复数与平面上点的一一对应关系。理解和掌握平面点集的有关概念，如邻域、去心邻域、边界点、区域、闭区域、有界集、无界集、曲线的光滑和按段光滑、简单曲线、单连通区域和多连通区域等。了解无穷大与复球面。理解复变函数及与之相关的概念，如复变函数的极限与连续性、复变函数与映射的关系等。第二章 解析函数正确理解复变函数的导数与解析函数这两个重要概念，并熟练握判断复变函数可导与解析的方法，牢固掌握 Cauchy-Reimann 方程及其在函数
9、可导与解析性判别中的应用。能熟5练进行导数的各种运算。理解调和函数与共轭调和函数的概念，会根据解析函数与调和函数的关系求适合初始条件的解析函数。掌握主要几种初等函数，如指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的定义及有关运算，了解这些函数的解析区域。对根式函数与对数函数的多值性和主支等概念有所了解。第三章 复变函数的积分理解复变函数积分的定义和性质；深刻理解和掌握 Cauchy 积分定理和 Cauchy 积分公式（包括高阶导数公式） ，并能熟练地利用它们计算复积分。了解解析函数的平均值公式和最大模原理。第四章 解析函数的级数表示理解复数项级数及其收敛的概念，掌握复数项级数收敛的判别法。理解关于幂级
10、数的Abel 定理，掌握计算幂级数的收敛半径和收敛域；能熟练地用直接方法和间接方法将解析函数在指定区域内展开成 Taylor 级数。理解 Laurent 级数的概念，掌握 Laurent 定理，并能熟练地将函数在指定的圆环或某点的去心邻域内展开成 Laurent 级数。特别要掌握将同一个函数在不同区域上展开成 Taylor 级数或 Laurent 级数的方法及其意义。第五章 留数及其应用理解孤立奇点的定义及其分类方法。掌握函数的零点与极点的关系并能计算它们的阶数。掌握复变函数留数的概念、留数定理，掌握函数在奇点处留数的计算。第八章 Fourier 变换理解和掌握周期函数的 Fourier 级数
11、的复指数形式及相关概念，如振幅、离散频谱、离散相位谱、离散振幅谱、振幅谱、相位谱等；掌握 Fourier 积分、Fourier 变换、Fourier逆变换的定义，能熟练地应用定义求函数的 Fourier 积分和 Fourier 变换。掌握单位脉冲函数的定义性质及其 Fourier 变换。熟练掌握 Fourier 变换的性质及其应用；掌握函数卷积的定义、性质及其计算。第九章 Laplace 变换6熟练掌握 Laplace 变换、Laplace 逆变换及其性质，并能利用定义熟练地计算求函数的Laplace 变换；了解像函数、原像函数的定义。掌握卷积定理、反演积分公式，并能进行相应的计算。掌握利用留数计算反演积分，利用 Laplace 变换解常微分方程（组）的方法。五、 试卷题型1. 单项选择题； 2. 填空题; 3. 计算题; 4. 证明题. 其中, 选择题和填空题两类客观题占 1/3 左右. (完)大纲制定者：王建平 教授大纲审定者：盛宝怀 教授2006 年 9 月
