1、场论与复变函数(Functions of Complex Variables) 教学大纲付小宁课程编号: SC1112004 学分数： 3 学分课内时数：46 课程性质：必修课适用专业：测控技术与仪器 先修课程：数学分析 开课学期：第四学期 开课院系：04 院自动化/电气/测控一、该课程的地位、基本要求、与其他课程的联系和分工复变函数课程是研究复数域上函数的一门学科，为“测控技术与仪器专业”的必修课，属于专业基础课性质。本课程讲述复变函数及其相互关系的研究、计算复变函数的各种方法，包括复数及复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数和保角映射。通过本课程的学习，可以进一步培养学生的逻辑思维
2、能力，扩展学生的数学知识，为学生掌握复变函数在自然科学和工程技术中的应用打下基础。数域从实数域扩大到复数域后，产生了复变函数论，并且深刻地深入到代数学、微分方程、概率统计、拓朴学等数学分支。二十世纪以来，已被广泛地应用到理论物理、天体力学等方面，发展到今天已成为一个内容非常丰富，应用极为广泛的数学分支，成为理工科大学的必修课程。掌握场论的有关内容、概念和方法，使学生理解和掌握在力学、电学、电磁学等学科中所遇到的场的数学背景，掌握其运算的一般规律，使学生得到抽象科学思维的训练，提高学生数学素养和能力，为学生学习有关后续课程以及进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。二 、 课 程 内 容 及 学
3、时 分 配第一章 复数与复变函数 3学时第一节 复数及其代数运算第二节 复数的几何表示第三节 复数的乘幂与方根第四节 区域第五节 复变函数第六节 复变函数的极限和连续性。要求：1. 熟练掌握复数的各种表示方法及其运算。2. 了解区域的概念。3. 熟悉简单图形或区域的复变函数表示4. 掌握复变函数的极限与连续性。第二章 解析函数 6学时第一节 解析函数的概念第二节 函数解析的充要条件第三节 初等函数第四节 解析函数与调和函数的关系。要求：1. 了解复变函数等价于一对实二元函数，理解有关导数及解析的概念。2. 掌握复变函数解析的充要条件。3. 了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的
4、主要性质（包括在单值区域中的解析性） 。4 . 了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法。第三章 复变函数的积分 6学时第一节 复变函数积分的概念第二节 柯西古萨基本定理第三节 基本定理的推广复合闭路定理第四节 原函数与不定积分第五节 柯西积分公式第六节 解析函数的高阶导数。要求：1. 理解复变函数积分的概念，了解其性质，掌握积分的一般计算方法。2. 掌握柯西积分定理及其推广复合闭路定理。3. 掌握柯西积分公式和高阶导数公式。4. 了解解析函数无限次可导的性质。第四章 级数 5学时第一节 复数项级数第二节 幂级数第三节 泰勒级数第四节 洛朗级数。要求：1.
5、了解复数项数列收敛、发散的概念。2. 了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念。3. 了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法。4. 掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质。5. 了解泰勒定理，能将一些简单的解析函数展开为幂级数。6. 了解洛朗级数，掌握将简单的函数在其孤立奇点附近展开为洛朗级数的间接法。第五章 留数 5学时第一节 孤立奇点第二节 留数第三节 留数在定积分计算上的应用。要求：1. 理解孤立奇点的概念、分类及判别方法，函数的零点及极点的关系。2. 了解留数的概念，掌握极点处(含 )留数的求法。3. 掌握留数定理。4. 会用留数求 3 种标准类型的实积分。第六章 共形映射
6、5学时第一节 共形映射的概念第二节 分式线性映射第三节 唯一决定分式线性映射的条件第四节 几个初等函数构成的映射。要求：1. 了解解析函数的导数的几何意义及保角映射的概念。2. 掌握线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性。3. 了解 ( 为正有理数) 和 的映射性质。zze4. 认识一些简单区域（如：平面、半平面，角形域，园，带形域等）之间的保角映射。场论部分 10 学时内容：数量场和矢量场的概念；数量场的等值面和矢量场的矢量线的概念；数量场的方向导数和梯度的定义及计算；矢量场的通量和散度的定义及计算；矢量场的管量和旋度的定义及计算；有势场、管形场、调和场的概念和意义。1.基本要求（1
7、） 正确理解数量场、矢量场的基本概念，理解数量场的等值面和矢量场的矢量线的意义 。（2） 正确理解数量场的方向导数及梯度的概念，并会求一般函数沿给定方向的方向导数和梯度。（3） 正确理解矢量场的通量及散度的意义，熟练运用法则求一些矢量场的通量和散度。（4） 正确理解矢量场的环量及旋度的意义，会用基本公式求一些矢量场的环量和旋度。（5） 理解有势场、管形场、调和场的基本概念，会求有势场的势函数；理解矢性算子（哈密顿算子）的一般概念。2.重点、难点重点：数量场、矢量场的基本概念，方向导数和梯度、通量和散度、环量和旋度的计算。难点：方向导数和梯度、通量和散度、环量和旋度的计算。三 、 作 业 或 实
8、 验 要 求本 课 程 是 一 门 工 程 数 学 课 程 ， 理 论 性 与 应 用 性 并 重 。 该课程作业以教材练习题为主，每章约 12 道题。四 、 考 核 方 式闭 卷 形 式 考 试 ， 考 试 试 题 以 基 本 概 念 、 基 本 定 理 、 基 本 计 算 方 法 和 有 关 应 用 为 主 ，平时成绩(作业)占 20%，考试成绩占 80%。五 、 教 材 和 参 考 书教材：1 工程数学复变函数(第四版)，西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社，1996年5月第4版；2 谢树艺 编矢量分析与场论 （第三版） ，北京：高等教育出版社，2005年。参考书： 1 复变函数.孙利祥主编，复旦大学出版社，1998 年；2 复变函数（第三版），余家荣，高等教育出版社，2000 年；3 复变函数. 路见可，钟寿国等，武汉大学出版社，1999 年；4 谢树艺 编矢量分析与场论学习指导书 （第三版） ，北京：高等教育出版社，2005年。
