1、本资料来源于七彩教育网http:/专题二方程与不等式中考点击考点分析：内容 要求1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念 2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用 3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程 4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用 5、一元二次方程根的判别式及应用 6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集 7、不等式的基本性质 8、一元一次不等式（组）的解法及应用 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到 25%，试卷涉及的
2、主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题结合 20052006 年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查不等式与不等式组的分值一般占到 58%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（
3、组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题难点透视例 1 解方程： 2411xx【考点要求】本题考查了分式方程的解法【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可原方程变形为 方程两边都乘以 ，去分母并)1(412xx )1(x整理得 ，解这个方程得 经检验， 是原方程的根
4、，02x,22是原方程的增根原方程的根是 1【答案】 【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少例 2 .03,42xy【考点要求】本题考查用消元法解二元二次方程组【思路点拨】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法由方程可得 ，xy.03,42 02yx .它们与方程分别组成两个方程组：,y或042xy042x解方程组 可知，此方程组无解；2解方程组 得042xy42421yxx所以原方程组的解是 221【答案】 44221yxx【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基
5、本解题思路，不知如何处理突破方法：将第一个方程通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的方程组，求解解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元常用的方法就是通过因式分解进行降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解例 3 下列一元方程中，没有实数根的是（ ）A B 01-2x02x2C D 【考点要求】本题考查一元二次方程根的判别式【思路点拨】根据 ，确定好选项方程中的各项的系数及常数项，代入根24bacA的判别式进行计算，如果所求结果非负，则有实数根；否则没有实数根C 选项中 0，方程无实数根22()12【答案】选 C【错解分析】出现
6、错误的学生主要是两原因：一是根的判断式未能记牢，出现使用错误，二是在确定各项系数和常数项时，弄错符号，导致计算错误突破方法：将一元二次方程化为一般式后，再确定系数及常数项解题关键：根据 可知，若二次项系数与常数项异号，则方程必有实数根，24bacA从而缩小解题范围例 4 用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为221xx2yx关于 y 的一元二次方程的一般形式是 【考点要求】本题考查利用换元法将分式方程转化为整式方程【思路点拨】整体代换（换元法）也是我们解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次简化运算的作用把 代入原方程得， ，即 ，故答案应填2yx21y20y写 20【答案
7、】 2y【方法点拨】整体换元要求原方程具备一定结构特点，如果不具备，必须设法通过变形化出相同或者相关的形式再进行换元例 5 若不等式组 的正整数解只有 2，求 的整数值632axa【考点要求】本题考查解不等式组及不等式组的解集等知识的综合运用要求 的值，可先求出不等式组中的各不等式的解集，再根据不等式组的正整数解只a有 2，列出关于 的不等式组，进而求出 的值a，解得 63x36x又原不等式组只有正整数解 2由右图，应有 1a ,29.,09【答案】 .a【误区警示】部分学生解出不等式组的解集后，不知如何运用“正整数解只有 2”这一条件突破方法：用含 a 的代数式表示不等式组的解集，结合数轴表
8、示出不等式组的解集，再转化为关于 a 的不等式组，求出 a 的值例 6 如图甲是 某 学 校 存 放 学 生 自 行 车 的 车 棚 的 示 意 图 （ 尺 寸 如 图 所 示 ）， 车 棚 顶 部 是 圆 柱侧 面 的 一 部 分 ， 其 展 开 图 是 矩 形 图 乙 是 车 棚 顶 部 截 面 的 示 意 图 ， 弧 AB 所 在 圆 的 圆 心 为 O车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留 ） 【考点要求】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现【思路点拨】连结 OB，过点 O 作 O
9、EAB，垂足为 E，交弧 AB 于 F，如图由垂径定理，可知：E 是 AB 中点，F 是弧 AB 中点，EF 是弓形高 AE = 2 ，EF =213设半径为 R 米，则 OE=(R2) 米 在 Rt AOE 中，由勾股定理，得 R 2= 解得 R =422)3()(sinAOE= ， AOE =60，3OAEAOB=120 弧 AB 的长为 = 180423帆布的面积为 60=160 （平方米） 38【答案】160 （平方米） 【方法点拨】部分学生遇此问题，不能将实际问题抽象为数学问题突破方法：联系实际，将车棚顶部展开得长方形，其长为车棚长，宽为弧 AB 长解题关键：在利用数学知识解决实际问
10、题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题例 7 已知方程组 2,31yxm的解 x、y 满足 2x+y0，则 m 的取值范围是（ ）A m Bm Cm 1 D m1443【考点要求】本题考查方程（组）与不等式的综合问题，此类题型常用的方法是可把看作已知数，用它来表示其余未知数【思路点拨】由题意，可求出 ，代入 2x+y0，解得752,1yxm 或者也可整体求值，把第 (2)式乘以 4 减去第(1) 式直接得 ，43 4317mEFOBAOBA图乙图甲A B2 米4 米360 米 得 ，解得 m 07432yx43【答案】选 A【方法点拨】本题一般做法是把
11、 m 看作是已知系数，用含 m 的代数式表示 x、y，解出方程组的解，然后再把所求的 x、y 的值入题目中的不等式，从而得到只含 m 的不等式，求出解集或者也可以依据题目条件的特点，从整体考虑，直接进行整理得到与不等式相关的代数式，进行求解例 8 根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？【考点要求】本题考查方程在实际情境中的运用，结合现实问题情景,需把方程和不等式有关内容有机结合起来,求出整数解.【思路点拨】设饼干的标价每盒 x 元，牛奶的标价为每袋 y 元，则 108.9.xy由得 y=9.20.9 x 把代入，得 x+9.20.9 x10 x 8由得 8 x10 x 是整数 x=
12、9将 x=9 代入，得 y=9.20.99=1.1 【答案】饼干一盒标价 9 元，一袋牛奶标价 1.1 元【方法点拨】部分学生不习惯这种情境题，不能很好地从情景对话中找出有用的信息来突破方法：因为题目中的条件只是两人对话，因此要紧紧围绕两人的对话进行分析，综合各数据列出不等式组求解解题关键：情境题中的条件一般不会很多，但每一句话都可能给出重要信息，因此要仔细阅读分析例 9 某商场计划拨款 9 万元从厂家购买 50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元，商场销售一台甲种电视机可获利 150 元，销售乙种
13、电视机每台可获利 200 元，销售丙种电视机每台可获利 250 元(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的 3 倍商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于 8500 元的前提，购进这三种型号的电视机一盒饼干的标价可是整数元哦！小朋友，本来你用 10 元钱买一盒饼干是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！今天是儿童节，我给你买的饼干打 9 折，两样东西请拿好！还有找你的 8 角钱阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上 10 元钱）共 50 台，请你设计这三种不同型号的电视机各进
14、多少台？【考点要求】本题考查方程（组）在实际生活中的应用【思路点拨】在市场经济大环境背景下,用数学知识确定价格,预计利润,是中考应用性问题的常见题型.我们通过运用数学知识能够避免盲目的投资,创造最大的经济.（1）()设甲种电视机 台,乙种电视机 台.xy则 ,解得502190xyy25xy()设甲种电视机 台,丙种电视机 台.z则 ,解得501290xzz351x（)设乙种电视机 台,丙种电视机 台.y则 ,解得 (舍去)502190yzz8753.yz(2)设甲种电视机 台,乙种电视机 台,丙种电视机 台.)4(zz由题意得 150210325090()8zz解得: 37.4z, 进货方案有
15、:甲、乙、丙各为 34 台、12 台和 4 台；甲、乙、丙各为 30 台、15 台和 5 台；商场的利润为 （元）8020154 （元）730 要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为 30 台、15 台和 5 台；【答案】 （1）方案一：甲种电视机 25 台，乙种电视机 25 台，方案二：甲种电视机 35台，乙种电视机 15 台；（2）要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为 30 台、15台和 5 台【方法点拨】部分学生完成此题时，解题不能完整突破方法：本题以现实问题为背景，以方案设计为主题，体现分类讨论的数学思想.例 10 某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克
16、，计划利用这两种原料生产、 两种产品，共 50 件已知生产一件 种产品，需用甲种原料 9 千克，乙种原料 3ABA千克；生产一件 种产品，需用甲种原料 4 千克，乙种原料 10 千克（1） 据现有条件安排 、 两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出B来（2） 若甲种原料每千克 80 元，乙种原料每千克 120 元，怎样设计成本最低【考点要求】本题考查运用不等式知识解决实际生活和生产中的问题，不仅考查学生对知识的掌握，灵活运用知识的解题的能力，同时考查学生数学建模的能力【思路点拨】 （1）设生产 种产品 件， 种产品 件按这样生产需甲种的AxB)50(x原料 ， 即： 为整数，290)5(
17、033649x.3,232有三种生产方案,1x第一种方案：生产 种产品 30 件， 种产品 20 件；AB第二种方案：生产 种产品 31 件， 种产品 19 件；第三种方案：生产 种产品 32 件， 种产品 18 件（2）第一种方案的成本：（元） 6280)130(12)0439(80 第二种方案的成本： （元） 6230)193(948 第三种方案的成本： （元） 8)(第三种方案成本最低【答案】 （1）第一种方案：生产 种产品 30 件， 种产品 20 件；AB第二种方案：生产 种产品 31 件， 种产品 19 件；第三种方案：生产 种产品 32 件， 种产品 18 件（2）第三种方案成本
18、最低【方法点拨】解决本题的关键在于找出生产 种产品和 种产品分别甲种原料和乙种原料的数量，再根据厂里现有甲乙两种原料的数量列出不等式组，解不等式组得出结果可得三种生产方案再根据三种不同方案，求出最低成本难点突破方法总结方程（组）及方程（组）的应用问题是中考命题的重点，主要考查学生的应用能力，题型内容贴近生活实际，考查学生的分析问题和解决问题的能力，在解题时应注意以下问题：1.正确理解和掌握方程与方程组的相关概念，性质，结论和方法，这是解决有关方程与方程组问题的前提2.用化归思想求解二元一次方程组，可化为一元一次方程和一元二次方程的分式方程3.熟练掌握用换元法解方程及方程组4.关注社会，积累生活
19、经验，通过阅读、观察、比较、分析、归纳、综合等方法解决与生产、生活密切相关的社会热点问题拓展演练一、填空题1 “某数与 6 的和的一半等于 12” ，设某数为 x，则可列方程_2方程 2xy5 的所有正整数解为_3当 x_时，代数式 3x2 与 65x 的值相等 04方程组 的解是_4y5. 已知方程组 的一组解是 ，则其另外一组解是 xab 23xy6. 3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要_场比赛，则 5 名同学一共需要_比赛7不等式 的解集是_132x8当 x_时，代数代 的值是正数x329不等式组 的解集是_24x10不等式 的正整数解是_01311 的最小值是 a，
20、 的最大值是 b，则x6._a12生产某种产品，原需 a 小时，现在由于提高了工效，可以节约时间 8%至 15%，若现在所需要的时间为 b 小时，则_ b _二、选择题13关于 的一元二次方程 的一个根是 0，则 的值为 （ x 1)1(22axa）A. 1 B. l C. 1 或1 D. 14. 使分式 的值等于零的 x 是( )2561xA.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-615. 若两个连续整数的积是 56,则它们的和是( )A.11 B.15 C.-15 D.1516. 若方程组 的解 、 的值相等，则 a 的值为 143yxaxy( ）A. 4 B. 4 C . 2 D. 11
21、7. 不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+ =0; C. D.(x+2)(x-3)=-5530x18. 若 是方程 的两个实数根，则 的值 ,20723（ ）A2007 B2005 C2007 D401019某超市一月份的营业额为 200 万元,已知第一季度的总营业额共 1000 万元, 如果平均每月增长率为 x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+2002x=1000C.200+2003x=1000 D.2001+(1+x)+(1+x)2=100020.一元一次不等式组 的解集是 （ ） 31A-2x3 B-3x
22、2 Cx -3 Dx 221如图 1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集 （ ） A B Cx+1-1 D-2x412x32x22关于 x 的方程 的解是非负数，那么 a 满足的条件是( ) 6aAa3 Ba3 Ca3 Da3三、解答题23已知关于 x、y 的方程组 myx21（1）求这个方程组的解；（2）当 m 取何值时，这个方程组的解中， x 大于 1，y 不小于124已知方程组 的解为负数，求 k 的取值范围17265yxk25某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超
23、过部分还要按每度 0.5 元交费该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：月份 用电量（度） 交电费总数（元）3 月 80 254 月 45 10根据上表数据，求电厂规定 A 度为多少？26艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等.（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品 100 件若每件工艺品降价
24、 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?27近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作 24 天可以完成，需费用 120 万元，若甲单独做 20 天后，剩下的工程由乙做，还需 40 天才能完成，这样需费用 110 万元问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元？ 习题答案专题二方程与不等式一、填空题1.1(6)2x2. （提示：将原方程化为 ，x 从 1 取起，求出相应
25、的 y 的值，,y 52y要求均为正）3. （提示：列方程 ）12x326xx4. （提示：用代入消元或加减消元法）y5. （将 代入原方程然后所得解方程即可）36x2y6. 3，10（提示：设 x 名学生参加比赛，每人需参赛（x1）场，因为甲跟乙比赛时，也是乙跟甲比，所以总共比赛场次为(1)2x7. x5（利用不等式的基本性质）8. x （提示：由题意，23 x0，解得 x ）239.2x1（提示：求两不等式解集的公共部分）10.1，2，3（提示：先求出不等式的解集为 x ，再取其中的正整数）1011.4（提示：x2 最小值 a=2，x6，最大值 b=6，ab=2(6)=4）12.85%ab
26、92% a（提示：由题意可列不等式（115%）ab（18%）a）二 、选择题13.B（提示：把 x=0 代入原方程，解得 a=1，考虑到一元二次方程二次项系数不能为 0，所以 a=1）14.A（提示：分式值为 0，即分子为 0 且分母不为 0，所以 ，x=6.25601x15.D（提示：设较小数为 x，则较大数(x+1),x (x+1)=56，解得 ，故两27,8数为 7、8 或7、8）16.C（提示：因为 x，y 值相等地，则原方程组可化为 ，解之得(1)43axb）2xa17B（提示：先将各方程整理为一般式，再利用根的判别式进行判断，B 项中0，所以 B 项方程无实数根）254164bc1
27、8B（提示：因为 是方程 的两个实数根，则,207x，把它代入原式得 ，再利用根与系20732数的关系得 ，所以原式=2005）219D（提示：第一季度 1000 万元营业额为一、二、三三个月的总额，应把三个月营业额相加）20C（提示：不等式的解集为 x2，不等式的解集为 x3，共公部分为x3）21. C（提示：解四个不等式，得解集分别为 x2，x9，x2，x2，数轴上表示的范围是 x2）22. D（提示：解关于 x 的方程得 ，因为解非负，所以 0，解得3a23aa3）三、解答题23. 解（1）24mxy(2)由题意得 即 ，解得 1x5.1xy24m24. 解方程组，得 ，因为方程组的解是
28、负数，所以 即 ，8k0xy2108k解得 k8)25解：1012(90A) 由表中数据可得 251012(80A) 解得：A5026解：(1)设该工艺品每件的进价为 元，则标价为 .x)45(x由题意得: 解得1)354()5(8.0 x 201（2）工艺品应降价 元.a则 时,获得的利润最大为90)()1)(42Wa.9027解：（1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要 x 天，y 天根据题意得 1402yx解这个方程组得 x=30,y=120 .经检验 x=30,y=120 是方程组的解（2）设单独完成此项工程，甲需费用 m 万元，乙需费用 n 万元，根据题意，得 104203)(nm解这个方程组得 m=135,n=60 .
