1、3 页师出教育 电话：400-600-2690 第 1 页共 咨 询 QQ:14007004021. 不等式的基本概念不 等 式 知识要点（1） 不等（等）号的定义： a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.（ 2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（ 3） 同向不等式与异向不等式.（ 4） 同 解 不 等 式 与 不 等 式 的 同 解 变 形 . 2.不等式的基本性质（1） a b b a （对 称 性 ）（2） a b, b c a c （传递性）（3） a b a c b c （加法单调性）（4） a b, c d a c b d （同 向 不
2、 等 式 相 加 ）（5） a b, c d a c b d （异 向 不 等 式 相 减 ）（ 6） a. b, c 0 ac bc（7） a b, c 0 ac bc （ 乘 法 单 调 性 ）（8） a b 0, c d 0 ac bd （同 向 不 等 式 相 乘 ）(9) a b 0, 0 c d a b （异向不等式相除）c d(10) a b, ab 0 1 1 （倒数关系）a b（ 11） a b 0 an bn (n Z ,且 n 1) （平方法则）（ 12） a b 0 n a n b (n Z ,且n 1) （开方法则） 3.几个重要不等式（1） 若a R ,则 | a
3、| 0, a 2 0（2） 若 a、 b R ,则 a 2 b2 2ab(或 a 2 b2 2 | ab | 2ab) （当 仅 当 a=b 时 取 等 号 ）（3） 如 果 a,b 都是正数，那么 a b . （当仅当 a=b 时取等号）2极值定理 ：若 x, y R , x y S, xy P, 则： 1 如 果 P 是定值, 那 么 当 x=y 时 ， S 的 值 最 小 ； 2 如 果 S 是定值, 那 么 当 x=y 时 ， P 的值最大.利 用 极 值 定 理 求 最 值 的 必 要 条 件 ： 一 正 、 二 定 、 三 相 等 .(4)若a 、 b、c R ,则 a b c 3
4、 abc （当 仅 当 a=b=c 时 取 等 号 ）3(5) 若 ab 0, 则 b a 2 （当 仅 当 a=b 时 取 等 号 ）a b(6)a 0时 ，| x | a x2 a2 x a 或 x a; | x | a x2 a2 a x a3 页师出教育 电话：400-600-2690 第 2 页共 咨 询 QQ:1400700402 1 2 3 n 1 2 3 n（7） 若 a、b R,则 | a | | b | a b | a | | b |4.几个著名不等式（ 1） 平均不 等式： 如果 a,b 都是正数 ，那么 2 1 1a bab a b 2（当仅当 a=b 时取等号）.即
5、： 平 方 平 均 算 术 平 均 几 何 平 均 调 和 平 均 （ a、 b 为正数） ：特别地， ab ( a b ) 2 a 2 b 2 （当 a = b 时 ， ( a b ) 2 a 2 b 2ab ）2 2 2 2a 2 b 2 c 2 a b c 2 3 3 (a, b, c R, a b c时取等) 幂 平 均 不 等 式 ： a 2 a 2 . a 2 1 (a a . a )21 2 n n 1 2 n注：例如： (ac bd ) 2 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) .常用不等式的放缩法： 1 1 1 1 1 1 1 (n 2)n n 1 n(n 1) n 2
6、n(n 1) n 1 n n 1(n 1)（ 2） 柯 西 不 等 式 ： 若 a1 , a2 , a3 , , an R, b1 , b2 , b3 , bn R;则（a1b1 a2b2 a3b3 a nbn )2 (a 2 a 2 a 2 a 2 )(b2 b 2 b2 b2 )当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号b1 b2 b3 bn（ 3） 琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x2 (x1 x2 ), 有f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 或 f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 )
7、 .2 2 2 2则 称 f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（ 1） 整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结） ， 定 解 .特 例 一 元 一 次 不 等 式 axb 解 的 讨 论 ； 一 元 二 次 不 等 式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（ 2） 分式不等式的解法：先移项通分标准化，则3 页师出教育 电话：400-600-2690 第 3 页共 咨 询 QQ:1400700402 g(x) 0g(x) 或 | f (x) | g(x) f (x) g(x)或
8、f (x ) g(x)( ) f (x) 0 f (x)g(x) 0; f (x) 0 f (x)g(x) 0g(x) g(x) g(x) 0（ 3） 无理不等式：转化为有理不等式求解 1 f (x) 0 定 义 域 f (x) g(x) 2 f (x) 0g(x) 0 f (x) g(x)2 f (x) 0g (x) 03 f (x) 0f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g(x)2（4）.指数不等式：转化为代数不等式a f ( x) ag ( x ) (a 1) f (x) g(x); a f ( x) ag ( x ) (0 a 1) f (x) g(x)a f ( x) b
9、(a 0, b 0) f (x) lg a lg b（5）对数不等式：转化为代数不等式 f (x) 0 f (x) 0loga f (x) loga g(x)(a 1) g(x) 0 ; log f (x) g(x) a f (x) loga g(x)(0 a 1) g(x) 0 f (x) g(x) （6）含绝对值不等式 1 应用分类讨论思想去绝对值 ； 2 应用数形思想 ； 3 应用化归思想等价转化g(x) 0 g(x) f (x) g(x)| f (x) | g(x) g(x) 0( f (x), g(x)不 同 时 为 0)或 g(x) 0注 ： 常 用 不 等 式 的 解 法 举 例 （ x 为正数） ： x(1 x) 2 1 2x(1 x)(1 x) 1 2 3 42 2 3 272 2 2x 2 (1 x 2 )(1 x 2 ) 1 2 3 4 y x(1 x ) y ( ) y 2 2 3 27 9类似于 y sin x cos 2 x sin x(1 sin 2 x) ， | x 1 | x | 1 1 ) 2| | (x与 同 号 ， 故 取 等x x x
