1、3 页师出教育 电话：400-600-2690 第 1 页 共 咨 询 QQ:1400700402极限知识点 第 一 数 学 归 纳 法 ： 证 明 当 n 取 第 一 个 n0 时 结 论 正 确 ； 假 设 当 n k（ k N , k n0 ） 时 ， 结 论 正 确 ， 证 明 当 n k 1时，结论成立.第二数学归纳法：设 P(n) 是一个与正整数 n 有关的命题，如果 当 n n0 （ n0 N ）时 ， P(n) 成立； 假 设 当 n k （ k N , k n0 ）时 ， P(n) 成 立 ， 推 得 n k 1 时 ， P(n) 也成立. 那 么 ， 根 据 对 一 切 自
2、 然 数 n n0 时 ， P(n) 都成立.数列极限的表示方法： lim a n an当 n 时， a n a .几个常用极限： lim C C （ C 为常数）n lim 1 0 (k N , k是常数)n nk对于任意实常数，当| a | 1 时， lim a n 0n当 a 1 时，若a = 1，则 lim a n 1 ；若 a 1 ，则 lim an lim (1) n 不存在n当 a 1 时， lim a n 不存在n数列极限的四则运算法则： 如果 lim a n a, lim bb b ，那么n nn n lim (a n bn ) a bn lim (a n bn ) a bn
3、 lim ann bn a (b 0)b特 别 地 ， 如 果 C 是常数，那么lim (C a n ) lim C lim an Ca .n n n数列极限的应用：求 无 穷 数 列 的 各 项 和 ， 特 别 地 ， 当 q 1 时 ， 无 穷 等 比 数 列 的 各 项 和 为 S （化循环小数为分数方法同上式） 注：并不是每一个无穷数列都有极限.a11 q ( q 1) .3 页师出教育 电话：400-600-2690 第 2 页 共 咨 询 QQ:1400700402 x 1函数极限； 当 自 变 量 x 无 限 趋 近 于 常 数 x0 （但 不 等 于 x0 ）时 ， 如 果 函
4、 数 f (x) 无 限 趋 进 于 一 个 常 数 a ， 就 是 说 当 x 趋 近 于 x0 时，函 数 f (x) 的 极 限 为 a .记 作 limxx0f (x) a 或当 x x 0 时， f (x) a .注 ： 当 x x0 时 ， f (x) 是 否 存 在 极 限 与 f (x) 在 x0 处 是 否 定 义 无 关 ， 因 为 x x0 并 不 要 求 x x0 .（当 然 ， f (x) 在 x0 是否 有 定 义 也 与 f (x) 在 x0 处是否存在极限无关 . 函 数 f (x) 在 x0 有 定 义 是 limxx0f (x) 存在的既不充分又不必要条件.
5、）如 P(x) x 1x 1x 1在 x 1 处无定义，但 lim P(x) 存在，因为在 x 1 处左右极限均等于零.x1函数极限的四则运算法则：如 果 limxx0f (x) a, lim g(x) b ，那么xx0 lim ( f ( x) g(x) a bxx0 lim ( f ( x) g(x) a bxx0 lim f (x) a (b 0)xx0 g(x) b特别地，如果 C 是常数，那么lim (C f (x) C lim f (x) .xx0 x x0lim f (x)n lim f (x)n （ n N ）x x0 x x0注：各个函数的极限都应存在.四则运算法则可推广到任
6、意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.几个常用极限： lim 1 0n x limxa x 0 （0 a 1） ； limxa x 0 （ a 1） lim sin x 1 lim x 1x0 x1x0 sin x1 lim (1x) x e ， lim(1 x) x e （ e 2.71828183 ）x x0函数的连续性： 如 果 函 数 f（x ） ，g（x ）在 某 一 点 x x 0 连续，那么函数 f (x ) g(x), f (x) g(x), f (x) (g(x) 0) 在点 x xg(x) 0 处都连续.函数 f（x）在点 x x 0 处连续必须满足三个条件： 函 数
7、 f（ x） 在 点 x x 0 处 有 定 义 ； limx x0f (x) 存在；函数 f（x）在点 x x 0 处的极限值等于该点的函数值，即limx x0f (x) f (x 0 ) .函数 f（x）在点 x x 0 处不连续（间断）的判定：3 页师出教育 电话：400-600-2690 第 3 页 共 咨 询 QQ:1400700402如果函数 f（x ）在点 x x 0 处有下列三种情况之一时，则称 x 0 为函数 f（x）的不连续点.f（x）在 点 x x 0 处 没 有 定 义 ， 即 f (x 0 ) 不 存 在 ； limx x0f (x) 不 存 在 ； limx x0f
8、 (x) 存 在 ， 但 limx x0f (x) f (x 0 ) .零点定理，介值定理，夹逼定理： 零 点 定 理 ： 设 函 数 f（ x） 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 ， 且 f (a) f (b) 0 .那 么 在 开 区 间 (a, b) 内 至 少 有 函 数 f (x) 的一个零点， 即 至 少 有 一 点 （ a b ）使 f ( ) 0 . 介 值 定 理 ： 设 函 数 f (x) 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 ， 且 在 这 区 间 的 端 点 取 不 同 函 数 值 ， f (a) A, f (b) B ， 那 么 对 于 A, B 之间 任 意 的
9、 一 个 数 C ， 在 开 区 间 (a, b) 内 至 少 有 一 点 ， 使 得 f ( ) C （ a b ）.夹逼定理：设当0 | x x 0 | 时，有 g(x) f ( x) h(x ) ，且 lim g(x) lim h(x) A ，则必有 lim f (x) A.xx0 x x0 xx0注 ： | x x0 | ： 表 示 以 x0 为 的 极 限 ， 则 | x x0 | 就无限趋近于零.（ 为最小整数）几个常用极限： lim q n 0, q 1n lim an n! lim n 0(a 0) 0(a 1, k 为常数）n an limn limnln n 0n(ln n) kn 0( 0, k 为常数）nk
