1、限时检测提速练(十一) 大题考法立体几何的综合问题A 组1(2018潍坊二模)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AB BC，AA 1 DA1，ABC120(1)证明：AD BA1；(2)若 ADDA 14，BA 12 ，求多面体 BCDA1B1C1D1 的体积6(1)证明：取 AD 中点 O，连接 OB，OA 1AA1DA 1，ADOA 1在 ABCD 中，ABC 120，BAD60又 ABBC，则 ABAD，ABD 是正三角形，AD OB，OA1 平面 OBA1，OB平面 OBA1，OA 1OBO，AD平面 OBA1，ADA 1B(2)解：由题设知A 1AD 与 BAD 都是
2、边长为 4 的正三角形A1O OB2 3A1B2 ，A 1O2OB 2A 1B2，A 1OOB ，6A1O AD，A 1O平面 ABCD，A1O 是平行六面体 ABCDA1B1C1D1的高，又 SABCDAD OB42 8 ，3 3V VABCDA1B1C1D1S ABCDA1O8 2 48，3 3V1VA 1ABD SABDA1O 2 42 8，13 13 12 3 3VBCDA1B1C1D1VV 140，即几何体 BCDA1B1C1D1的体积为 402(2018宣城二调)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1底面ABC，ABAC 2，BAC120，AA 13，D，D 1 分别
3、是 BC，B 1C1 上的中点，P 是线段AD 上的一点( 不包括端点) (1)在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，并证明直线 l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1QC1D 的体积解：(1)在平面 ABC 内作直线 lBC，则直线 l 与平面 A1BC 平行，即图中的直线PQ.ABAC2, D 是 BC 上的中点，则 ADBC，即 lAD，又侧棱 AA1底面 ABC，则 lAA 1，ADAA 1A，故直线 l平面 ADD1A1(2)VA1QC1DVDA 1QC1 SA1QC1h，13因为平面 A1ACC1平面 AB
4、C，过 D 作线段 DEAC 于 E，则 DE平面 AA1C1C，即 DE 为 DA1QC1的高，由 ABAC2 ， CAB120，得 DE ，32则 VDA1QC1 SA1QC1h 23 13 13 12 32 323(2018石嘴山二模)如图所示，在三棱锥 PABC 中，PC平面ABC，PC 3，D，E 分别为线段 AB，BC 上的点，且 CDDE ，CE2EB22(1)求证：DE 平面 PCD；(2)求点 B 到平面 PDE 的距离(1)证明：由 PC平面 ABC，DE 平面 ABC，故 PCDE由 CE2，CDDE ，得CDE 为等腰直角三角形，故 CDDE2又 PCCDC，故 DE平
5、面 PCD(2)解：由(1)知，CDE 为等腰直角三角形，DCE ，4过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，易知 DFCF EF1，又 DE平面 PCD，所以 DEPD，PD ，PC2 CD2 11设点 B 到平面 PDE 的距离为 h，即为三棱锥 BPDE 的高，由 VBPDEV PBDE得 SPDEh SBDEPC，13 13即 PDDEh BEDFPC，1312 1312即 h113，所以 h ，11 232222所以点 B 到平面 PDE 的距离为 322224(2018蚌埠二模)如图，四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ADBC ，AD 3BC6，PB6 ，点 M 在线段 AD 上
6、，且 MD4，AD AB，PA平面2ABCD(1)求证：平面 PCM平面 PAD；(2)当四棱锥 PABCD 的体积最大时，求四棱锥 PABCD 的表面积(1)证明：由 AD6，DM4 可得 AM2，易得四边形 ABCM 是矩形，CMAD，又 PA平面 ABCD，CM平面 ABCD，PA CM，又 PMAD M，PM ，AD 平面 PAD，CM平面 PAD，又 CM平面 PCM，平面 PCM平面 PAD(2)解：四棱锥 PABCD 的体积为 V (ADBC )ABPA ABPA，1312 43要使四棱锥 PABCD 的体积取最大值，只需 ABPA 取得最大值由条件可得 PA2AB 2PB 2
7、72，722PA AB，即 PAAB36，当且仅当 PAAB 6 时，PA AB 取得最大值 36PC2 ，PD6 ，CD2 ，19 2 13cos CPD ，则 sin CPD ，PC2 PD2 CD22PCPD 2219 1119SPCD PCPDsin CPD6 ，12 22则四棱锥 PABCD 的表面积为 (62)126 2 26 6 6(10 )(1266) 12 2 22 22 2B 组1(2018日照二模)如图，在菱形 ABCD 中，BAD ，其对角线 AC 与 BD 相交于3点 O，四边形 OAEF 为矩形，平面 OAEF平面 ABCD， ABAE2(1)求证：平面 DEF平面
8、 BDF；(2)若点 H 在线段 BF 上，且 BF3HF ，求三棱锥 HDEF 的体积(1)证明：ABCD 为菱形，AOBD 四边形 OAEF 为矩形，AOFO，EFAO ，EFBD ， EFFO，又 BD FO O，EF平面 BDF又 EF平面 DEF，平面 DEF平面 BDF(2)解：连接 EH，DH，EB，则由(1)可知 EF平面 BDF，又BDF 中，BDOF2，EFAO ，3故三棱锥 EBDF 的体积为 22 ，13 12 3 233又 BF3HF ，所以 VEBDFV BDEF3V HDEF ，233故 VHDEF 2392(2018株洲检测)如图，四棱锥 EABCD 中，平面
9、ABCD 是平行四边形，M，N 分别为 BC，DE 的中点(1)证明：CN平面 AME；(2)若ABE 是等边三角形，平面 ABE平面 BCE，CE BE，BECE2，求三棱锥NAME 的体积(1)证明：取 AE 中点 F，连接 MF，FN 因为AED 中，F，N 分别为 EA，ED 的中点，所以 FN 綊 AD12又因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 BC 綊 AD又 M 是 BC 中点，所以 MC 綊 AD，所以 FN 綊 MC12所以四边形 FMCN 为平行四边形，所以 CNMF，又 CN平面 AEM，MF平面 AEM，所以 CN平面 AEM(2)解：取 BE 中点 H，连接 AH
10、，则 AHBE，因为平面 ABE平面 BCE，平面 ABE平面 BCEBE，AH平面 ABE，所以 AH平面 BCE又由(1)知 CN平面 AEM，所以 VNAEMV CAEMV AMEC又因为 M 为 BC 中点，所以 VAMEC SMECAH SBECAH 22 13 1312 13 12 12 3 33所以三棱锥 NAEM 的体积为 333(2018资阳二模)如图，三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长均为 2，AA 1面 ABC，E ，F分别为棱 A1B1，BC 的中点(1)求证：直线 BE平面 A1FC1；(2)平面 A1FC1 与直线 AB 交于点 M，指出点 M 的位置，说明理由，
11、并求三棱锥 BEFM的体积(1)证明：取 A1C1的中点 G，连接 EG，FG ，于是 EG 綊 B1C1，又 BF 綊 B1C1，12 12所以 BF 綊 EG所以四边形 BFGE 是平行四边形所以 BEFG，而 BE面 A1FC1，FG面 A1FC1，所以直线 BE平面 A1FC1(2)解：M 为棱 AB 的中点理由如下：因为 ACA1C1，AC 面 A1FC1，A 1C1面 A1FC1，所以直线 AC平面 A1FC1，又面 A1FC1平面 ABCFM，所以 ACFM.又 F 为棱 BC 的中点所以 M 为棱 AB 的中点三角形 BFM 的面积SBFM SABC ，14 14 (1222s
12、in 60) 34所以三棱锥 BEFM 的体积 VBEFMV EBFM 2 13 34 364(2018商丘二模)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 ABB1A1底面ABC，AC AB ，ACABAA 12，AA 1B160 ，E，F 分別为棱 A1B1，BC 的中点(1)求三棱柱 ABCA1B1C1 的体积；(2)在直线 AA1 上是否存在一点 P，使得 CP平面 AEF？若存在，求出 AP 的长；若不存在，说明理由解：(1)三棱柱 ABCA1B1C1中， A1B1AB因为 ABAA 12，所以 A1B1AA 12又因为AA 1B160 ，连接 AB1，所以 AA1B1是边长为 2
13、 的正三角形因为 E 是棱 A1B1的中点，所以 AEA 1B1，且 AE ，3又 ABA1B1，所以 AEAB，又侧面 ABB1A1底面 ABC，且侧面 ABB1A1底面 ABCAB，又 AE侧面 ABB1A1，所以 AE底面 ABC，所以三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 VS ABCAE ABACAE 22 2 12 12 3 3(2)在直线 AA1上存在点 P，使得 CP平面 AEF证明如下：连接 BE 并延长，与 AA1的延长线相交，设交点为 P，连接 CP因为 A1B1AB，故 PEPB PA1PA A1EAB由于 E 为棱 A1B1的中点，所以 ，故有 PEEB，A1EAB 12又 F 为棱 BC 的中点，故 EF 为 BCP 的中位线，所以 EFCP又 EF平面 AEF，CP平面 AEF，所以 CP平面 AEF故在直线 AA1上存在点 P，使得 CP平面 AEF此时，PA 1AA 12.所以 AP2AA 14
