1、图 1AABBCC23图 12七、立体几何1 （人教 A 版，必修 2P17第 4 题）图 1 是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称正视图 侧视图俯视图变式题 1如图 11 是一个几何体的三视图（单位：cm）（）画出这个几何体的直观图（不要求写画法） ；（）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线 与 所成的角为 ，求 ABCcos俯视图A正视图 侧视图ABBABCACA12313解：（）这个几何体的直观图如图 12 所示（）这个几何体是直三棱柱由于底面 的高为 1，所以 ABCAB故所求全面积 22ABCSS386 2(cm)这个几何体的体积 123ABCVS3(cm
2、)图 11（）因为 ，所以 与 所成的角是 /ABABCBC在 中， ，RtC22231故 3cos12 （人教 A 版，必修 2，P20例 3）如图 2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图俯视图PP正视图 侧视图OO AAA变式题 21如图 21已知几何体的三视图（单位：cm） （）画出它的直观图（不要求写画法） ；（）求这个几何体的表面积和体积 2PP正视图 侧视图OO AAA2俯视图解（）这个几何体的直观图如图 22 所示（）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为 1cm，高为 2cm） ，它图 2图 21PAO图 221A图 24 BCEDPQ1的上部是
3、一个圆锥（底面半径为 1cm，母线长为 2cm，高为 cm） 3所以所求表面积 ，21127S2(cm)所求体积 223V3变式题 22如图 23，已知几何体的三视图（单位：cm） （）画出这个几何体的直观图（不要求写画法） ；（）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线 、 所成角为 ，求 （理科考生）1AQPDcos俯视图正视图 侧视图PPPAA1A1 11B1B1C1D1DQQ222解：（）这个几何体的直观图如图 24 所示 （）这个几何体可看成是由正方体 及直三棱柱 的组合体1AC11BQD由 ， ，12PAD1D可得 1故所求几何体的全面积 2254S2(cm)所求几何体的体积 2
4、3110V3(cm)（）由 ，且 ，可知 ，/PQCD/PDQC图 231D图 31ABC1FE故 为异面直线 、 所成的角（或其补角） 1AQC1APD由题设知 ， ，2226BQ132AC取 中点 ，则 ，且 ，E3E222310QC由余弦定理，得22111cosACQ60523 （北师大版必修 2P31第 4 题）如图 3，已知 E，F 分别是正方体 的棱 和棱 上的点，且 ，1ABCD1A1C1AECF求证：四边形 是平行四边形1B图 3A1BCD1FE变式题：如图 31已知 、 分别是正方体 的棱 和棱 的中点EF1ABCD11（）试判断四边形 的形状；1BD（）求证：平面 平面 1
5、解（）如图 32，取 的中点 ，连结 、1M1AMF 、 分别是 和 的中点，1BC ，1/在正方体 中，有1AD， ，11/BC1/MFA图 321BC1FE四边形 是平行四边形，1AMFD /又 、 分别是 、 的中点，E1B ，1/A四边形 为平行四边形，M 1/EB故 DF四边形 是平行四边形1又 ，RtEABtC ，故四边形 为菱形1FD（）连结 、 、 四边形 为菱形，1A1EBFD 1EB在正方体 中，有1CD，11AB 平面 1D1C又 平面 ，EFA 1B又 ，D 平面 EF1又 平面 ，B故平面 平面1D1A1B1BCD图 4A1B1BCDxyzF图 42EA1B1BCDF
6、图 41 E4 （人教 A 版，必修 2，P74例 2）如图 4，在正方体 中，求直线 与平面 所成的角1BCDA1AB1CD变式题：如图 41，已知正四棱柱 中，底面边长1ABCD 2A，侧棱 的长为 4，过点 作 的的垂线交侧棱 于点 ，B11E交于点 1CF（）求证： 平面 ；1AE（）求 与平面 所成的角的正弦值D解：（）如图 42，以 为原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间ADC1xyz直角坐标系 xyz 1111(0,)(,0)(,)(0,2)(,4)(2,)(0,4)(,)DABBCD设 ，则 ,2Et 1,tC ， 1BC14Et ， ， t(0,)(2,0)B又
7、 ，12AD 且 4CE140AC 且 1B1 且 平面 AD1BDE（）由（）知 是平面 的一个法向量，又 ，1(2,4)C 1(0,24)ABACDPB图 5ABCDPQ图 51 11 30cos, 6|ACB 与平面 所成角的正弦值为 1ABDE5 （人教 A 版，必修 2，P 87，第 10 题）如图 5，已知平面 ，且 是垂足，试判断直线 与,ABPCD AB的位置关系？并证明你的结论C变式题 51，如图 5，已知平面 ，且 是垂足,BP（）求证： 平面 ；ABPCD（）若 ，试判断平面 与平面 的位,2 置关系，并证明你的结论变式题 51，如图 5，已知平面 ，,且 是垂足,ABP
8、（）求证： 平面 ；CD（）若 ，试判断平面 与平面 的位置关系，并证明你的结论1,2解（）因为 ，所以 同理 PABPDAB又 ，故 平面 PCABC（）设 与平面 的交点为 ，连结 、 PDH因为 平面 ，所以 ，AB,所以 是二面角 的平面角H又 ，所以 ，即 1,2PC22CPD09CP在平面四边形 中， ，D09HABCDPQ图 52E所以 09CHD故平面 平面 变式题 52如图 51，已知直二面角 ， 与平面 、 所成的AB,Q角都为 ， 034PQ为垂足， 为垂足,CAB,D（）求直线 与 所成角的大小；C（）求四面体 的体积PQ解：（）如图 52，在平面 内，作 ，连结 、
9、则四边形 为平行/CEDQPE四边形，所以 ，即 为直线 与 所成的角（或其补角） /ECD因为 ,ABP所以 同理 PQ又 与平面 、 所成角为 ，所以 ， ，所以0303PQC03PD， 0cos342C01sin42D在 中， ，从而 RtDQ12CE因为 ，且 为平行四边形，ABE所以 E又 ，所以 ,PCPC故 平面 ，从而 QEQ在 中， RtE2cos4P所以 ，045P即直线 与 所成角的大小为 QCD05（）在 中， ，所以 RtPCQ04,3PC2P三角形 的面积 ，D12DSQ故四面体 的体积14333CDQVP6 （人教 A 版，必修 2，P 87，B 组第 1 题）如
10、图 5，边长为 2 的正方形 ABCD 中，（1）点 是 的中点，点 是 的中点，将 分别沿 折起，使EFC,AEDCF,ED两点重合于点 ，求证： ,CAD（2）当 时，求三棱锥 的体积14B变式题如图 51，在矩形 中， 是 的中点，以 为折痕将ABCD2,1,AECDAE向上折起，使 为 ，且平面 平面 DAEB（）求证： ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值图 61ABCABCE解（）在 中， ，RtCE2CE在 中， ，tADAD ，22B ABEFAEF图 6平面 平面 ，且交线为 ，AEDBCEA 平面 B 平面 ， （）设 与 相交于点 ，由（）F 知， ，ADE 平面 ，B 平面 ，平面 平面 ，且交线为 ，BD如图 62，作 ，垂足为 ，则 平面 ，FGFGA连结 ，则 是直线 与平面 所成的角AC由平面几何的知识可知 ， 12E23E在 中， ，RtAF59F在 中， ，可求得 tEBDGEB26G 26309sin15FA直线 与平面 所成的角的正弦值为 CBD 3015BCDEFG图 62
