1、河北辛集中学 2019 届高三 12 月月考数学试题一选择题（共 12 小题）1.复数 的虚部为（ ）z=32i31+iA. B. 1 C. D. 12 52 12【答案】A【解析】.Z=(3+2i)（ 1-i）2 =52-i2的 虚 部 为 -122.已知集合 ， ，若 是 的充分不必要条A=x|xR|x22x3 0 B=x|xR|1 x m xA xB件，则实数 的取值范围为（ ）mA. B. C. D. (3,+) (1,3) 3,+) (1,3【答案】A【解析】试题分析：因为 又 ,所以 ，选 A.A=xR|x22x33考点：集合包含关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法
2、：直接判断“ 若 p 则 q”、 “若 q 则 p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则 p 是 q 的充分条件2等价法：利用 pq 与非 q非 p，qp 与非 p非 q，p q 与非 q非 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 AB，则 A 是 B 的充要条件3.已知点 ， ， ， ， ， 是抛物线 ：P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3) P4(x4,y4) P5(x5,y5) P6(x6,y6) C上的点， 是抛物线 的焦点，若 ，且y2=2px(p 0) F
3、 C |P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|=36，则抛物线 的方程为（ ）x1+x2+x3+x4+x5+x6=24 CA. B. C. D. y2=4x y2=8x y2=12x y2=16x【答案】B【解析】从点 向抛物线的准线作 于点 ，Pi(i=1,2,3,4,5,6) PiPil Pi由抛物线的定义有： ，6i=1xi+p26=6i=1|PiPi|即： ,24+3p=36p=4则抛物线 的方程为 .C y2=8x本题选择 B 选项.4.已知双曲线 的两个焦点 ， 都在 轴上，对称中心为原点离心率为 若点 在 上，且C F1F2 x 3 M C， 到原点
4、的距离为 ，则 的方程为（ ）MF1MF2M 3 CA. B. x24y28=1 y24x28=1C. D. x2y22=1 y2x22=1【答案】C【解析】由直角三角形的性质可得 ，又 ，MF1MF2, MO=F1O= 3=c ca= 3, a=1,b2=31=2的方程为 ，故选 C.C x2y22=15.已知 表示不超过实数 的最大整数， 为取整函数， 是函数 的零点，x x g(x)=x x0 f(x)=lnx2x则 等于（ ）g(x0)A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】略6.已知四棱锥 的三视图如图所示，则此四棱锥的表面积为（ ）PABCDA. B. C. D.
5、7+22+52 3+22+62 7+22+62 3+22+52【答案】A【解析】【分析】根据三视图可判断该几何体是底面是矩形，有一条侧棱与底面垂直的一个四棱锥，由三视图的信息可以求得各面的边长，从而解决问题。【详解】根据三视图可判断该几何体是底面是矩形，有一条侧棱与底面垂直的一个四棱锥，其表面积为： = ，故选：A 。S=21+1211+1221+122 2+12 517+22+52【点睛】本题主要考查了三视图-长对正、宽平齐、高相等得到实物图中的数据，由三视图还原实物图处理问题。7.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）x y x2y+10|x|y10 z=2x+yA. 4 B. 6 C
6、. 8 D. 10【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示当目标函数 平移到点 时值最大，最大值为 8；应选 C考点：线性规划的应用8.已知点 及抛物线 上一动点 ，则 的最小值是（ ）M( 5,0) x2=8y P(x0,y0) y0+|PM|A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】设抛物线的焦点为 ，则 ，准线方程为 ，过点 向准线作垂线，垂足为 ，则F F(0,2) y=2 P(x0,y0) N，由抛物线的定义可得 ，则 ，当y0=|PN|2 |PN|=|PF| y0+|PM|=|PN|+|PM|2=|PF|+|PM|2三点共线时， 最小，最小值为 ，故选 A.P
7、,F,M y0+|PM| |MF|2= ( 50)2+(02)2=32=1点睛：本题主要考查了抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，在此题中首先应将 转化为到准线的距离，要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线y0上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换9.若 均为锐角且 ， ，则 =（ ）, cos=17cos(+)=1114 sin(32+2)A. B. C. D. 12 12 32 32【答案】B【解析】为锐角， ， ， ，, 00 ex2f(x)30令 ，则函数 是 R 上的单调递增函数，g(x)=ex2f(x)3 g(x)而 ,2f(x)3+1ex10ex2f(x
8、)3eg(x)g(1)据此可得 .x1本题选择 A 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。二填空题（共 4 小题）13.各项为正数的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则an
9、a2 a9 22=_log4a3+log4a4+log4a8【答案】92【解析】与 的等比中项为a2 a9 22a2a9=8log4a3+log4a4+log4a8=log4a3.a8=log483=log2229=9214.在面积为 2 的等腰直角 中， 分别为直角边 ， 的中点，点 在线段 上，则ABC E,F AB AC P EF的最小值为_PBPC【答案】 32【解析】【分析】由等腰直角 ，建立如图的平面直角坐标系，由等腰直角 的面积为 2 得：ABC ABC，则 ，12AB2=2 AB=2以 为坐标原点， ， 所在直线为 ， 轴建立坐标系A AB AC x y求出 ， ，由 ， 分别
10、为直角边 ， 的中点，B(2,0) C(0,2) E F AB AC求得 ， ，设 ，且 ，E(1,0) F(0,1) P(m,n) m+n=1则 ， ，PB=(2-m,-n) PC=(-m,2-n)PBPC=-m(2-m)-n(2-n)=m2+n2-2m-2n=(m+n)2-2mn-2(m+n)=1-2mn-2=-1-2mn，=-1-2m(1-m)=-1+2(m-12)2-12 0m1把 的最小值问题转化成关于 的二次函数类型的函数最值问题，从而解决问题。PBPC m【详解】等腰直角 的面积为 2，则 ，则 ，ABC12AB2=2 AB=2以 为坐标原点， ， 所在直线为 ， 轴建立坐标系A
11、 AB AC x y即有 ， ， ， 分别为直角边 ， 的中点，B(2,0) C(0,2) E F AB AC则 ， ，设 ，且 ，E(1,0) F(0,1) P(m,n) m+n=1则 ， ，PB=(2-m,-n) PC=(-m,2-n)PBPC=-m(2-m)-n(2-n)=m2+n2-2m-2n=(m+n)2-2mn-2(m+n)=1-2mn-2=-1-2mn，=-1-2m(1-m)=-1+2(m-12)2-12-32当且仅当 时，取得最小值，且为 故答案为： m=12 -32 -32【点睛】数量积 的最值问题一般转化成函数的最值问题处理：（1）根据题意建立平PAPB面直角坐标系，求出向
12、量 的坐标 ,利用向量坐标运算求得 =PA,PB PA=(x1,y1),PB=(x2,y2) PAPB，消元即可把 的最值问题转化成函数最值问题来解决，还需注意变量的范x1x2+y1y2 PAPB围。15.在三棱锥 中， ，若三棱锥的所有顶点，都在同一ABCD AC=CD= 2,AB=AD=BD=BC=1球面上，则球的表面积是_【答案】73【解析】由已知可得 所以 平面BCAB， BCBD， BC ABD设三棱锥外接球的球心为 O，正三角形 ABD 的中心为 ，则 ，O1 OO1平 面 ABD连接 O ，OC，在直角梯形 中，有 ， ，OC=OB=R，O1B， O1 O1BCO O1B=33
13、BC=1可得： ，故所求球的表面积为 .R2=712 73故答案为：73点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直，且PA a， PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2 a2 b2 c2求解16.已知定义在 上的奇函数 满足 ， ， 为数列 的前 项和，且R f(x) f(32x)=f(x) f(2)=3 Sn an
14、 n，则 =_Sn=2an+n f(a5)+f(a6)【答案】3【解析】 ，又 ， .f(x)=f(x) f(32x)=f(x) f(32x)=f(x) .f(3+x)=f32(32x)=f32(x)=f(x)=f(x) 是以 3 为周期的周期函数.f(x)数列 满足 ，且 ，两式相减整理得 an a1=1 Sn=2an+n,Sn1=2an1+n1, an1=2(an11)是以 为公比的等比数列， ， .an1 2 an1=(a11)2n1,an=2n+1 a5=31,a6=63 ,故答案为 .f(a5)+f(a6)=f(31)+f(63)=f(2)+f(0)=f(2)=f(2)=3 3【易错
15、点晴】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.本题将函数的解析式、奇偶性、周期性与数列的通项公式综合在一起出题体加大了难度，提高了综合性.三解答题（共 6 小题）17.已知函数 f(x)=2cosx(sinxcosx)+1,xR（1）求函数 的单调递增区间；f(x)（2）将函数 的图象向左平移 个单位后，再将图象上各点的
16、横坐标伸长到原来的 2 倍，y=f(x)4纵坐标不变，得到函数 的图象，求 的最大值及取得最大值时的 的集合y=g(x) g(x) x【答案】 （1） ；（2） ， 的最大值为 .k8， k+34（ kZ） x|x=2k+4（ kZ） g(x) 2【解析】（1 ）先化简 ，f(x)=2cosx(sinxcosx)+1=sin2xcos2x= 2sin(2x4)再由 即得 递增区间为 .2k22x42k+2， （ kZ） f(x) k8， k+34（ kZ）（2 ）由已知， .g(x)= 2sin(x+4)解：（1） ，f(x)=2cosx(sinxcosx)+1=sin2xcos2x= 2si
17、n(2x4)当 即 ，2k22x42k+2， （ kZ） k8xk+34， （ kZ）因此，函数 的单调递增区间为 .f(x) k8， k+34（ kZ）（2 ）由已知， ，g(x)= 2sin(x+4)当 时， .sin(x+4)=1， 即 x+4=2k+2， 也 即 x=2k+4（ kZ） g(x)max= 2 当 ， 的最大值为 .x|x=2k+4（ kZ） g(x) 218.在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数） 以原点为极点， 轴正xOy x=2+ty=1+2t x半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 C 24sin12=0（1）求 的参数方程；C（2）求直线被 截得
18、的弦长C【答案】(1) 的参数方程为 （为参数）;(2) .C x=4cos,y=2+4sin 211【解析】【分析】（）根据圆的极坐标方程，先转化为圆的直角坐标方程；再根据参数方程与直角坐标的关系，求得圆的参数方程。（）将直线的参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离与垂径定理求得弦长。【详解】 （）因为 的极坐标方程为 ，C 2-4sin-12=0所以 的直角坐标方程为 ，即 ，C x2+y2-4y-12=0 x2+(y-2)2=16所以 的参数方程为 （为参数）.C x=4cos,y=2+4sin （）因为直线的参数方程为 （为参数） ，x=2+ty=1+2t 所以直线的普通方程为 ，
19、所以圆心到直线的距离 ，2x-y-3=0 d=|-2-3|5 = 5所以直线被 截得的弦长为 .C 2r2-d2=242-5=211【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的关系，点到直线距离与垂径定理的简单应用，属于中档题。19.已知数列 满足 ， an a1=56an+1an= 1n(n+1)(nN*)（）求数列 的通项公式；an（）设 ，求 bn=nan |b1|+|b2|+|b12|【答案】 （1） （2）6an=161n(nN*)【解析】分析：（）利用累加法可求数列 的通项公式，注意验证 是否符合； an a1（）由（）可知 bn=nan=n6-1由 ，由bn=n6-10
20、n6 bn=n6-10所以 ， ，m23 x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23所以 ，|AB|= 1+k2|x1-x2|= 23= 2 -8m2+243 =43-m2+3433所以当且仅当 时， 有最大值 ；m=0 |AB|433（3）点 到直线 的距离为 ，从而 的面积为O AB d=|m|2 ABO，SABO=12d|AB|=12|m|2 -m2+3=23 m2(3-m2)23 (m2+3-m22 )2=2332=22（当且仅当 ，即 时，等号成立 ）m2=3-m2 m=62所以 面积的最大值为 ABO22点睛：本题考查的是椭圆的标准方程与简单几何性质，两点间的距离公式，以及直线与
21、椭圆相交的问题，还考查了三角形的面积计算公式属于中档题，考查了学生的计算能力，在求面积的最值时采用了基本不等式的方法，这里需要注意不等式的运用。22.已知抛物线 的焦点到直线： 的距离为 x2=2py(p 0) xy2=0322（1）求抛物线的标准方程；（2）设点 是抛物线上的动点，若以点 为圆心的圆在 轴上截得的弦长均为 4，求证：圆C C x恒过定点C【答案】(1) ；(2)证明见解析.x2=4y【解析】试题分析：(1)由题意可得抛物线的焦点坐标为 ，利用点到直线距离公式得到关于实数 p 的方程，(0,p2)解方程可得抛物线的标准方程是 .x2=4y(2)设圆心 的坐标为 ，半径为， 由题
22、意结合勾股定理有 ，则圆 的标准方程整C (x0,x204) r2=4+(x204)2 C理变形可得 ，该方程对于任意的 均成立，则 据(1-y2)x20-2xx0+(x2+y2-4)=0 x0R 1-y2=0-2x=0x2+y2=4 此可得圆 过一定点为 .C (0,2)试题解析：(1)由题意， ，焦点坐标为 ，x2=2py (0,p2)由点到直线的距离公式 ，得 ，|-p2-2|2 =322 p=2所以抛物线的标准方程是 .x2=4y(2)设圆心 的坐标为 ，半径为，圆 在 轴上截得的弦长为 ，C (x0,x204) C x 4所以 ，r2=4+(x204)2圆 的标准方程： ，C (x-x0)2+(y-x204)2=4+(x204)2化简得： ，(1-y2)x20-2xx0+(x2+y2-4)=0对于任意的 ，方程均成立，x0R故有： 解得： ，所以，圆 过一定点为 .1-y2=0-2x=0x2+y2=4 x=0,y=2 C (0,2)点睛：求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点
