1、平面向量的数量积的性质【问题导思】 已知两个非零向量 a，b， 为 a 与 b 的夹角.1.若 ab0，则 a 与 b 有什么关系？【提示】 ab0，a0，b0，cos 0， 90 ，ab.2.aa 等于什么？【提示】 |a|a|cos 0|a| 2.(1)如果 e 是单位向量，则 aeea|a|cosa，e ；(2)abab0；(3)aa|a| 2 即|a| ；aa(4)cosa，b (|a|b|0)；ab|a|b|(5)|ab|a|b|.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a bba；(2)分配律：(ab) cacb c；(3)数乘向量结合律：对任意实数 ，(ab)(a) ba( b).向
2、量的数量积运算(2013海淀高一检测)已知|a| 5，|b|4，a 与 b 的夹角为120，(1)求 ab；(2) 求 a 在 b 方向上的射影的数量 .【思路探究】 利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】 (1)ab|a| b|cos 54cos 12054( )10.12(2)|a|cos 5cos 120 ，52a 在 b 方向上的射影的数量为 .521.在书写数量积时，a 与 b 之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 ab|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影
3、的数量，可利用数量积的几何意义求 ab.1.(2013玉溪高一检测 )已知|a| 6，|b|3，ab 12，则 a 在 b 方向上的射影的数量是( )A.4 B.4 C.2 D.2【解析】 cos ，向量 a 在向量 b 方向上的射ab|a|b| 1263 23影的数量为|a|cos6 4，故选 A.( 23)【答案】 A2.已知|a|6，e 为单位向量，当向量 a、e 之间的夹角 分别等于 45，90，135时，分别求出 ae 及向量 a 在 e 方向上的正射影的数量 .【解】 当向量 a 和 e 之间的夹角 分别等于 45，90，135时，|a|e|cos 4561 3 ；22 2|a|e
4、|cos 906100 ；|a|e|cos 13561( )3 .22 2当向量 a 和 e 之间的夹角 分别等于 45，90，135时，a 在 e 方向上的正射影的数量分别为：|a|cos 6cos 45 3 ；2|a|cos 6cos 90 0；|a|cos 6cos 135 3 .2与向量模有关的问题已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a| 4，|b|2，求：(1)|ab| ；(2)|(ab)( a2b)|.【思路探究】 利用 aaa 2或|a| 求解.a2【自主解答】 由已知 ab|a| b|cos 42cos 1204，a 2|a| 216，b 2| b|24.(1)|ab|
5、 2(ab) 2a 2 2abb 2162( 4)412，|ab|2 .3(2)(ab)(a2b)a 2 ab2b 216(4)2412， |(ab)(a2b)|12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用 aaa 2|a| 2或|a| ，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.a2设 e1、e 2 是夹角为 45的两个单位向量，且 ae 1 2e2，b2e 1e 2，试求|ab| 的值.【解】 a b( e12e 2)(2 e1e 2)3(e 1e 2)，|ab|3(e 1e 2)|3|e 1e 2|3 e1 e223 3 .e21 2e1e2 e2 2 2与向量夹角有关的
6、问题(2014济南高一检测)若向量 a，b，c 两两所成的角均为120，且|a| 1，|b|2，| c|3，求向量 ab 与向量 ac 的夹角 的余弦值.【思路探究】 先利用已知条件，分别求出(ab)(ac)，|ab| 和|ac |的大小，再根据向量的夹角公式求解.【自主解答】 ( ab)(ac )a 2abacbc112cos 12013cos 12023cos 120 ，92|ab| a b2 a2 2ab b2 ，12 212cos 120 22 3|ac| ，a2 2ac c2 7cos ，a ba c|a b|a c| 9237 32114所以向量 ab 与 ac 的夹角 的余弦值是
7、 .321141.求向量 a，b 夹角的流程图求|a|，|b| 计算 ab 计算 cos 结合 0180，求解 ab|a|b|2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运算.(1)(2014辽宁师大附中高一检测 )若向量 a 与 b 不共线， ab0，且 cab，则 a 与 c 的夹角为 ( )(aaab)A.0 B. C. D.6 3 2(2)(2014贵州省四校高一联考 )若| a|2，| b|4 且( ab) a，则 a 与 b 的夹角是( )A. B. C. D.23 3 43 23【解析】 (1)ac a aa ab a2a 20，又a (aaab)
8、b (a2ab)a0，c0， ac，a 与 c 的夹角为 ，故选 D.2(2)因为(ab)a，所以(a b)aa 2ab0，即 aba 24，所以cos ，又因0，所以 a 与 b 的夹角是 ab|a|b| 424 12 23，故选 A.【答案】 (1)D (2)A混淆两向量夹角为钝角与两向量数量积为负之间关系致误设两向量 e1，e 2 满足：| e1|2，|e 2|1，e 1，e 2 的夹角为 60.若向量2te17e 2 与向量 e1t e2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.【错解】 由已知得 e1e221 1，于是12(2te17e 2)(e1te 2)2te (2t 27)e 1
9、e27te 2t 215t7.21 2因为 2te17e 2与 e1t e2的夹角为钝角，所以 2t215t7 .2ab|a|b|cos 4500.2(3)当 a 与 b 的夹角为 30时，ab|a|b|cos 3045 10 .32 3一、选择题1.|a|1，|b|2，c ab 且 ca，则 a 与 b 的夹角为( )A.30 B.60C.120 D.150【解析】 c a，设 a 与 b 的夹角为 ，则(ab) a0，所以 a2a b0，所以 a2|a|b|cos 0，则 12cos 0，所以 cos ，所以 120.故选 C.12【答案】 C2.若向量 a 与 b 的夹角为 60，| b
10、|4，且(a2b)(a3b)72，则 a 的模为( )A.2 B.4 C.6 D.12【解析】 ( a2b)( a3b)a 2a b6b 2|a| 2|a|b|cos 60 6|b| 2|a| 22|a|9672，|a|22|a|240，|a|6.【答案】 C3.ABC 中， 0，则 ABC 是( )AB AC A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形【解析】 | | |cos A0，AB AC AB AC cos A0.A 是钝角. ABC 是钝角三角形.【答案】 C4.(2014怀远高一检测 )已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量，ai 2j，bij 且 a 与 b
11、的夹角为锐角，则实数 的取值范围是( )A.( ，2) ( 2，12)B.(12， )C. ( 2，23) (23， )D.( ，12)【解析】 a b(i2j)(i j)120， ，又 a、b 同向共线时，ab0，设此时 ak b(k0)，则12i2j k( i j)，Error!2，a、b 夹角为锐角时， 的取值范围是(，2)，故选 A.( 2，12)【答案】 A5.(2014皖南八校高一检测)在OAB 中，已知 OA4，OB2，点 P 是 AB的垂直平分线 l 上的任一点，则 ( )OP AB A.6 B.6 C.12 D.12【解析】 设 AB 的中点为 M，则 ( ) ( )(O )
12、 ( 2 2)OP AB OM MP AB OM AB 12OA OB B OA 12OB OA 6.故选 B.【答案】 B二、填空题6.(2014北大附中高一检测)向量 a 与 b 的夹角为 120，|a|1，|b| 3，则|5ab|_.【解析】 因为 ab|a|b|cos 120 ，所以32|5ab| 225a 210abb 22510 949 ，所以|5ab|7.( 32)【答案】 77.已知 ab，|a|2，|b|3，且 3a2b 与 ab 垂直，则 等于_.【解析】 (3 a2b)( ab)(ab)(3 a2b) 0，3a2(2 3) ab2b 20.又 |a|2，|b| 3，ab，
13、12(2 3) 23cos 90180，12180， .32【答案】 328.(2014温州高一检测 )已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b(ab)0，则|b|的取值范围是_.【解析】 设 a，b 的夹角为 ，由 b(ab)0，得|b|a|cos |b| 20.解得|b| 0 或|b|a|cos cos 1，所以|b| 的取值范围是0,1.【答案】 0,1三、解答题9.已知向量 a、b 的长度|a |4，|b| 2.(1)若 a、b 的夹角为 120，求|3a4b| ；(2)若| ab| 2 ，求 a 与 b 的夹角 .3【解】 (1)a b|a|b|cos 12042 4.(
14、12)又|3a4b| 2(3a4b) 2 9a224ab16b 294 224(4) 162 2304，|3a4b|4 .19(2)|ab| 2(ab) 2a 2 2abb 24 22ab2 2(2 )2，3ab4，cos .ab|a|b| 442 12又 0， .2310.已知 ab，且|a|2，|b| 1，若有两个不同时为零的实数 k，t，使得a( t 3)b 与 katb 垂直，试求 k 的最小值.【解】 a b， ab 0，又由已知得a( t3)b(katb)0， ka2t( t3)b 20.|a|2，|b|1，4k t(t3)0.k (t23t) (t )2 (t0).14 14 3
15、2 916故当 t 时，k 取最小值 .32 91611.(2014淄博高一检测 )设向量 a，b 满足|a| |b|1，且|3 a2b| .7(1)求 a 与 b 夹角的大小；(2)求 ab 与 b 夹角的大小；(3)求 的值.|3a b|3a b|【解】 (1)设 a 与 b 的夹角为 ，(3a2b) 29|a| 24| b|212ab7，又|a|b|1， ab ，12|a|b|cos ，12即 cos .12又 0，a 与 b 的夹角为 .3(2)设 ab 与 b 的夹角为 ，(ab)bb 2ab1 ，12 32|ab| ，| b|1，a2 b2 2ab 3cos ，a bb|a b|b
16、| 323 32又 0，ab 与 b 的夹角为 .6(3)(3ab) 29|a| 26ab| b|293113，(3ab )29|a| 26ab|b| 29317， .|3a b|3a b| 137 917(教师用书独具)已知向量 a、b 不共线，且|2 ab| |a2b| ，求证：(ab)(ab).【思路探究】 证明 ab 与 ab 垂直，转化为证明 ab 与 ab 的数量积为零.【自主解答】 |2ab| |a2b|，(2ab) 2(a2b) 2，4a2 4ab b2a 24ab4b 2，a2b 2， (ab)(ab)a 2b 20.又 a 与 b 不共线，ab0，ab0，(ab)( ab).1.解本题的关键是找出 a 与 b 的关系，由已知条件建立方程组不难找出 a与 b 的关系.2.非零向量 ab0ab 是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.已知|a|3，|b|2，向量 a，b 的夹角为 60，c3a5b，dma3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直？【解】 由已知得 ab32cos 603.由 cd，得 cd0，cd(3 a5b)(ma3b)3ma 2(5 m9) ab15b 227m3(5 m9) 6042m87.42m87 0， m ，2914即 m 时， c 与 d 垂直.2914
