1、- 1 -年级：九年级下册 科目：数学 主备: 审核： 课题：28.2 方位角与方向角问题学习目标：能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题重点与难点1重点：直角三角形的解法2难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。一、用一用 用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题方位角与方向角1方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于 90的角叫做方向角如图（1）中的目标方向线 OA，OB，OC 分别表示北偏东 60，南偏东 30，北偏西 70特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成 45的角，如图（1）的目标方向线 OD 与正南方向成45角，通常称为西南方向（1） （2）2方位角
2、从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角如图（2）中，目标方向线 PA，PB，PC 的方位角分别是 40，135，225用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解- 2 -解题时一般有以下三个步骤：1审题按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知2将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直
3、角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形3根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形例 1、如图所示，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（精确到 0.01 海里）分析：因为APB 不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，ACP 与PCBPC是东西走向的一条直线AB 是南北走向的一直线，所以 AB 与 PC 是相互垂直的，即ACP 与BDP均为直角再通过 65 度角与A
4、PC 互余的关系求APC；通过 34 度角与BPC互余的关系求BPC解：如图，在 RtAPC 中， cos（90-65）=_ PC=_ =在 RtBPC 中，B=34，sinB=_，PB=_ 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向时，它距离灯塔 P 大约 130.23 海里- 3 -例 2、解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识例如，当我们要测量如图（1）所示大坝的高度 h 时，只要测出仰角 和大坝的坡面长度 L，就能算出 h=Lsin但是，当我们要测量如图（2）所示的山高 h 时，问题就不那么简单了这是由于不能很方便地得到仰角 和山坡长度 L（1） （
5、2）与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图（3）表示其中一部分小段划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长 L1，测出相应的仰角 ，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin（3）在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h1，h 2，然后我们再“积零为整”，把 h1，h 2，相加，于是得到山高 h以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学
6、中有重要地位，在今后的学习中，还会更多地了解这方面的内容二、总一总利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：- 4 -1将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）2根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形3得到数学问题的答案4得到实际问题的答案三、做一做（一）、选择题1如图，轮船航行到 C 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35，那么同时从 B 观测到轮船的方向是（ ）A南偏西 35 B东偏西 35 C南偏东 55 D南偏东 东北BC(第 1 题) (第 5 题) (第 8 题)2身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别是300m，
7、250m，200m，线与地面所成的角分别为 30、45、60（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（ ）A甲的最高 B乙的最低 C丙的最低 D乙的最高3一日上午 8 时到 12 时，若太阳光线与地面所成角由 30增大到 45，一棵树的高为 10m，则树在地面上影长 h 的范围是（ ）A5103334ABC 中，AB=6，AC=3，则B 最大值是（ ）A30 B45 C60 D无法确定5如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽 6m，坝高 2m，斜坡 AB 的坡角为 45，斜坡 CD 的坡度 i=1：2，则坝底 AD 的长为（ ）- 5 -A42m B（30+24 ）m C78m D（30+8 ）m3
8、36ABC 中，已知 +（tanB- ） 2=0 且 AB=4，则ABC 的面积是（ 1cos2A3）A4 B4 C2 D237一渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 60方向，这艘船以 28 海里/小时的速度向正东航行，半小时到 B 处，在 B 处看见灯塔 M 在北偏东 15方向，此时，灯塔 M与渔船的距离是（ ）A7 B14 C7 D14228某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成 80角，房屋朝南的窗子高 AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板 AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板 AC 的宽度应为（ ）A1.8tan80m B1.8cos80mC
9、 D1.8cot80m1.8sin09若菱形的边长为 4，它的一个内角为 126，则较短的对角线长为（ ）A4sin54 B4cos63 C8sin27 D8cos2710如图，上午 9 时，一条船从 A 处出发以 20 海里/小时的速度向正北方向航行，11 时到达 B 处，从 A、B 望灯塔 C，测得NAC=36，NBC=72，那么从 B 处到灯塔C 的距离是（ ）A20 海里 B36 海里 C72 海里 D40 海里- 6 -北BANC(第 10 题) (第 11 题)11如图，一电线杆 AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起 1米高的直杆，量得其影长为 0.5 米，此时，他
10、又量得电线杆 AB 落在地上的影子 BD 长 3 米，落在墙上的影子 CD 的高为 2 米，小明用这些数据很快算出了电线杆 AB 的高，请你计算电线杆 AB 的高为（ ）A5 米 B6 米 C7 米 D8 米二、填空题12升国旗时，某同学站在离旗杆底部 24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为 30，若双眼离地面 1.5m，则旗杆高度为_m（用含根号的式子表示）13在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为 45，沿水平方向，再向塔底前进 a米，又测得塔尖的仰角为 60，那么电视塔高为_ 14如图一铁路路基的横断面为等腰梯形 ABCD，根据图示数据得下底宽AD=_米(第 14
11、题) (第 15 题)15如图ABC 的顶点 A、C 的坐标分别是（0，4），（3，0），并且ACB=90，B=30，则顶点 B 的坐标是_16如图，燕尾槽的外口宽 AD=90mm，深为 70mm，燕尾角为 60，则里口宽- 7 -为_(第 16 题) (第 17 题)17如图，从高出海平面 500m 的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为 45和30，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为_三、解答题18甲、乙两船同时从港口 O 出发，甲船以 161 海里/小时的速度向东偏南 35方向航行，乙船向西偏南 58，方向航行，航行了两小时，甲船到达 A 处并观测到 B 处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度 v（精确到 0.1 海里/小时）（参考数据：sin320.53，cos320.85，tan320.62，cot321.60）19去年某省将地处 A、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便 A、B两地师生的交往，学校准备在相距 2 千米的 A、B 两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段 AB），经测量，在 A 地的北偏东 60方向，B 地的北偏西 45方向的 C处有一个半径为 0.7 千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？- 8 -45 BAC
