1、1【几何十讲】三角形的五心-A（角分线心）内心与旁心 陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置从赛题统计方面来看，其中又以角分线心的问题最为突出，必须熟悉其基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用本讲座介绍内心与旁心问题的内心为 ，而 边外的ABCI,BCA旁心分别为 ；123,分别是三条内角平分线， 交,DEFI三角形外接圆于 ， 交外接圆于 ，M23IK交 于 ，2AIBCN显然，三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直，并且有、 ；(1)2,AIBIC、 ；2DCN、 ； ；(3)1MI23KIBKC、 ； ；42ABCANA、 ；(5)
2、D、 ；（称为对称比定理） 61I、 ， （俗称 “鸡爪”定理） (7)MBC（注意， 中最后一等式仅当外角分线 与边 有交点时使用）2(4)52AIBC、 中， 是 的平分线，点 分别在 上，满足 ，1ADA,PQ,BPCQ分别是 的中点；,N,PQBC证明： MKI1I3EI2D NF IMACBDNM QAB CP2、 是直角三角形 斜边 上的高， （ ） ， 分别是2ADABCABC12,I的内心， 的外接圆 分别交 于 ，直线 交,BC12IO,EF,BC于点 ；证明： 分别是 的内心与旁心M12,IDM、四边形 中， ，自对角线 的交点 ，作3ABC90AB, ACBDN于 ，线段
3、 交于 ， 交于 ， 是线段 上的任意一点.证N,DE,FPE明：点 到线段 的距离等于 到线段 、 的距离之和.PPMC、 的外心为 ， 是 的中点，直线 交 于 ，点 分别是4ABCOAOABD,MN的外心与内心，若 ，D2B证明： 为直角三角形MN、如图，四边形 内接于 ，而 与 外5ACDOA12A切于点 ，且都内切于 ，若对角线 分别是 、P,B1的内、外公切线；2OA证明：点 是 的内心AB、如图， 是 所在平面上的一点，设点 关于该三角形的三条内角平分6M123 M线 的对称点为 ；kAD ,k证明： 三线共点123,AP O1OBDO2CAD1M1M2M3D3 D2MA2A1A
4、33、 （ 年全国高中数学联赛） 内接于 , 自 作 的切线 , 又以7205ABCOAl为圆心, 为半径作 交直线 于 ，交直线 于 ；ACA12,El12F证明：四边形 的四条边所在直线分别通过12EF的内心及三个旁心. B、 中， 是角 平分线上的任一点， 分8ABCDA,EF别是 延长线上的点，,且 ， ；若 分别是 的中点；EF,MN,CB证明： A、 中，内切圆 切 于 ，设 是 的直径，若 交 于 ；9ABCIABCDHIAHBCM证明： MD、 （ 年东南赛）已知 、 分别是 的外接圆和内切圆；102OIBC证明：过 上的任意一点 ，都可作一个三角形A，使得 、 分别是 的外接
5、圆和内切圆DEFIDEFI1I2I3IE2E1 F1F2AB CM NFEAB CD FEIOB CAD4、 是 内的一点， ，1DABC,DACFBE若 ，证明： EF、如图， 分别是 的外心与内心， 是 边上的高， 在线段 上；12,OIABCADBCIOD求证： 的外接圆半径等于 边上的旁切圆半径AB（ 年全国高中数学联赛）98、 （ 年中国数学奥林匹克试题）13208设锐角 的三边长互不相等， 为其外心，点 在线段ABCO0A的延长线上，使得 ，过点 分别作O00AC，垂足分别为 ，作0102,12,，垂足为 ，记 的外接圆半径为 ，类似地可得 ；AHBCAAHAR,BCR求证： 1A
6、BCRR、设 与 的边 分别切于点 ，又与 的外接圆 相切14wA,A,DEABCOA于点 ；P证明：线段 过 的内心 （曼海因 定理）DEBCManheimFBDCEAEMFI1DIOB CACBD EPA5、 中， 是内心， 是 的中点，角 的平分线交三角形的外接圆于 ，15ABCIMBCAD是 关于 的对称点（设 点在圆内） ，延长 交外接圆于 ；PIPDPN证明： 三线段中，必有一线段是其余两线段的和,N、 中， ， 于 ， 分16ABCADBC12,I别是 与 的内心，D直线 交 于 ，交 于 ，若 ；12IPQP证明： 为直角、等腰梯形 中， ， 分别是17ABCD,EF的内心，
7、是直线 上的一点，,ACP， 的外接圆交 的延长线于 ；证明：PFQ （美国-第 届）Q28、如图，四边形 内接于圆，18ABCD的内心依次为,BCD；证明： 是矩形abcdIabcdIQP I2I1DB CAHMQPFEBAD CIbIaIdIcDCBANPDM IAB C6、三角形 中， 是 的中点，19ABC,MBC分别是 边上的点，且,DEF, ,AEF 的外接 圆 交 线 段 于 若点 满足：D,P2P证明： BC、 （第 届 ）如图，两个半径不相等的圆 与 交于 两点，2082013MO1K2,AB两点分别在 上，且线段 以 为中点；延长 交 于点 ，延长 交,CD1,KDADBEC于点 ；设线段 的中垂线分别为 ；2FCEF12,l证明： 、 与 相交；(1)l2、若 与 的交点为 ，则三条线段2P能构成一个直角三角形,CAPE、如图，在锐角 中， ， 的平分线与边 交于 ，点21ABCBACBD分别在边 上，使得 四点共圆；,F,FE证明： 的外心与 的内心重合的DE充分必要条件是 （2013-2014 第 届 试题）29MO一一一一EF PMB CADD CBAEFPEDFABC6
