1、16.解析几何1直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为0，)(2)直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k，即 ktan ( 90)；倾斜角为 90的直线没有斜率；斜率公式：经过两点 P1(x1， y1)，P2(x2， y2)的直线的斜率为 k (x1 x2)；直线的方向向量 a(1， k)；应用：证y1 y2x1 x2明三点共线： kAB kBC.问题 1 (1)直线的倾斜角 越大，斜率 k 就越大，这种说法是_的(填正确或错误)(2)直线 xcos y20 的倾斜角的范围是_3答案 (1)错误 (2) 0， 6 56， )2直线方程的五种形式(1)点斜
2、式：已知直线过点( x0， y0)，其斜率为 k，则直线方程为 y y0 k(x x0)，它不包括垂直于 x 轴的直线(2)斜截式：已知直线在 y 轴上的截距为 b，斜率为 k，则直线方程为 y kx b，它不包括垂直于 x 轴的直线2(3)两点式：已知直线经过 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)两点，则直线方程为 ，它y y1y2 y1 x x1x2 x1不包括垂直于坐标轴的直线(4)截距式：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a， b，则直线方程为 1，它不包括垂xa yb直于坐标轴的直线和过原点的直线(5)一般式：任何直线均可写成 Ax By C0( A， B 不同时为 0
3、)的形式问题 2 已知直线过点 P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_答案 5 x y0 或 x y6033两条直线的位置关系(1)若已知直线的斜截式方程 l1： y k1x b1， l2： y k2x b2，则 l1 l2k1 k2，且 b1 b2； l1 l2k1k21； l1与 l2相交 k1 k2.(2)若已知直线的一般方程 l1： A1x B1y C10 与 l2： A2x B2y C20，则 l1 l2平行 A1B2 A2B10，且 B1C2 B2C10 或 A1C2 A2C10； l1 l2A1A2 B1B20； l1与 l2相交 A1B2 A2B10； l1
4、与 l2重合 A1B2 A2B10 且 B1C2 B2C10 且 A1C2 A2C10.问题 3 设直线 l1： x my60 和 l2：( m2) x3 y2 m0，当 m_时， l1 l2；当 m_时， l1 l2；当_时， l1与 l2相交；当 m_时， l1与 l2重合答案 1 m3 且 m1 3124点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点 P(x0， y0)到直线 Ax By C0 的距离为 d .|Ax0 By0 C|A2 B2(2)两平行线 l1： Ax By C10， l2： Ax By C20 间的距离为 d .|C1 C2|A2 B2问题 4 两平行直线 3x2 y50
5、 与 6x4 y50 间的距离为_答案 1513265圆的方程(1)圆的标准方程：( x a)2( y b)2 r2.(2)圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)，只有当 D2 E24 F0 时，方程x2 y2 Dx Ey F0 才表示圆心为 ，半径为 的圆(D2， E2) 12D2 E2 4F问题 5 若方程 a2x2( a2) y22 ax a0 表示圆，则 a_.答案 16直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：根据圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小关系来判定(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据 的符号来判断问题 6 已知圆 C
6、：( x a)2( y b)2 r2的圆心为抛物线 y24 x 的焦点，直线3x4 y20 与圆 C 相切，则该圆的方程为_答案 ( x1) 2 y214解析 因为抛物线 y24 x 的焦点为(1,0)，所以 a1， b0，又由直线 3x4 y20 与圆 C 相切，得 r 1，3 25所以该圆的方程为( x1) 2 y21.7圆锥曲线的定义和性质名称 椭圆 双曲线 抛物线定义 PF1 PF22 a(2aF1F2)|PF1 PF2|2 a(2ab0)x2a2 y2b2 1( a0， b0x2a2 y2b2)y22 px(p0)图形范围 |x| a，| y| b |x| a x0顶点 (a,0)，
7、(0， b) (a,0) (0,0)对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称 关于 x 轴对称焦点 (c,0) (p2， 0)轴 长轴长 2a，短轴长 2b实轴长 2a，虚轴长2b离心率e (01)ca 1 b2a2 e1准线 x a2c x a2c x p2通径 AB 2b2a AB2 p渐近线 y xba问题 7 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 1 的离心率为 ，则 m 的值为x2m y2m2 4 5_答案 25解析 c2 m m24， e2 5，c2a2 m m2 4m m24 m40， m2.8(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利
8、用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有惟一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，则所得弦长P1P2 x1 x22 y1 y22 或1 k2x1 x22 4x1x2P1P2 .(1 1k2)y1 y22 4y1y2(3)过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 C(x1， y1)， D(x2， y2)，则焦半径 CF x1 ；p2弦长 CD x1 x2 p； x1x2
9、， y1y2 p2.p24问题 8 如图，斜率为 1 的直线 l 过椭圆 y21 的右焦点，交椭圆于 A， B 两点，则弦x24AB 的长为_答案 85解析 设 A， B 两点的坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由椭圆方程知， a24， b21， c23，所以 F( ，0)，直线 l 的方程为 y x .3 3将其代入 x24 y24，化简整理，得 5x28 x80，36解得 x1 ， x2 ，43 225 43 225所以 x1 x2 ， x1x2 .835 85所以 AB x1 x22 y1 y22 |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x2 .2832
10、 4585 85易错点 1 直线的倾斜角和斜率关系不清例 1 直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是_易错分析 本题易混淆 和倾斜角的关系，不能真正理解斜率和倾斜角的实质，忽视倾斜角本身的范围解析 设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin .因为 sin 1,1，所以1tan 1，又 0，)，所以 0 或 b0)的离心率为 ，点x2a2 y2b2 22(2,1)在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 与圆 O： x2 y22 相切，与椭圆 C 相交于 P， Q 两点若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，求 OPQ 的面积；求证： OP OQ.易错分析 解答本题第(2)问
11、时需要考虑直线的斜率是否存在，可分两类情况分别求解(1)解 由题意，得 ， 1，ca 22 4a2 1b29解得 a26， b23.所以椭圆 C 的方程为 1.x26 y23(2)解 由题意得，直线 l 的斜率存在，椭圆 C 的右焦点为 F( ，0)3设切线方程为 y k(x )，即 kx y k0，3 3所以 ，解得 k ，| 3k|k2 1 2 2所以切线方程为 y (x )2 3当 k 时，由方程组Error!2解得Error! 或Error!所以点 P， Q 的坐标分别为 ， ，所以 PQ .(43 325 ， 6 65 )(43 325 ， 6 65 ) 665因为 O 到直线 PQ
12、 的距离为 ，2所以 OPQ 的面积为 .635根据椭圆的对称性，当切线方程为 y (x )时， OPQ 的面积也为 .2 3635综上所述， OPQ 的面积为 .635证明 ()若直线 PQ 的斜率不存在，则直线 PQ 的方程为 x 或 x .2 2当 x 时， P( ， )， Q( ， )2 2 2 2 2因为 0，所以 OP OQ.OP OQ 当 x 时，同理可得 OP OQ.2()若直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程为 y kx m，即 kx y m0.因为直线与圆相切，所以 ，即 m22 k22.|m|1 k2 2将直线 PQ 的方程代入椭圆方程，得(12 k2)x24 k
13、mx2 m260.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则有x1,2 4km24 8m2 48k221 2k2 ， 2km6 2m2 12k21 2k2所以 x1 x2 ， x1x2 .4km1 2k2 2m2 61 2k210因为 x1x2 y1y2OP OQ x1x2( kx1 m)(kx2 m)(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2(1 k2) km m2.2m2 61 2k2 ( 4km1 2k2)将 m22 k22 代入上式可得 0，所以 OP OQ.OP OQ 综上所述， OP OQ.易错点 5 忽视 0例 5 设过点 A(0，2)的动直线 l 与 y21 相交于
14、P， Q 两点， O 为坐标原点当 OPQx24的面积最大时，求直线 l 的方程易错分析 本题通过弦长公式、面积公式等工具将 OPQ 的面积表示为关于变量 k 的函数解析式 f(k)，再求函数最大值及相应的 k 值，此时需借助隐含条件直线与椭圆相交得到 0进行验证解 当 l x 轴时不合题意，故设直线 l： y kx2， P(x1， y1)， Q(x2， y2)，将 y kx2 代入 y21 得x24(14 k2)x216 kx120，当 16(4 k23)0，即 k2 时， x1,2 .34 8k24k2 34k2 1从而 PQ x1 x22 y1 y22 |x1 x2| .k2 14k2
15、14k2 34k2 1又点 O 到直线 PQ 的距离 d ，2k2 1所以 OPQ 的面积 S OPQ dPQ .12 44k2 34k2 1设 t，则 t0， S OPQ .4k2 34tt2 4 4t 4t因为 t 4，当且仅当 t2， k 时取等号，且满足 0.4t 72所以当 OPQ 的面积最大时， l 的方程为 y x2 或 y x2.72 72111(2018江苏淮安等四市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C1： x2( y1) 2 r2(r0)上存在点 P，且点 P 关于直线 x y0 的对称点 Q 在圆 C2：( x2) 2( y1) 21 上，则 r 的取值范围是_答
16、案 1， 12 2解析 C2关于直线 x y0 的对称圆 C：( x1) 2( y2) 21，由题意，知圆 C 与圆 C1有交点，所以 r1 r1，2所以 r 的取值范围是 1， 12 22已知椭圆 mx23 y26 m0 的一个焦点为(0,2)，则 m 的值是_答案 5解析 方程变形为 1，x26 y22m焦点在 y 轴上， a22 m， b26，又 c2 且 a2 b2 c2，2 m62 2， m5.3设抛物线 y2 mx 的准线与直线 x1 的距离为 3，则抛物线的方程为_答案 y28 x 或 y216 x解析 当 m0 时，准线方程为 x 2，m4 m8，此时抛物线方程为 y28 x；
17、当 mb0)的右、x2a2 y2b2下、上顶点， F 是椭圆 C 的右焦点若 B2F AB1，则椭圆 C 的离心率是_13答案 5 12解析 F(c,0)， A(a,0)， B1(0， b)， B2(0， b)， ( c， b)， ( a， b)，FB2 B1A B2F AB1， ac b20，FB2 B1A a2 c2 ac0，化为 e2 e10,0b0)的离心率为 ，焦点到相x2a2 y2b2 22应准线的距离为 1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若 P 为椭圆上的一点，过点 O 作 OP 的垂线交直线 y 于点 Q，求 的值21OP2 1OQ2解 (1)由题意得 ， c1， a2 b2
18、c2，ca 22 a2c解得 a ， c1， b1，2所以椭圆的标准方程为 y21.x22(2)由题意知， OP 的斜率存在，15当 OP 的斜率为 0 时， OP ， OQ ，2 2所以 1，1OP2 1OQ2当 OP 的斜率不为 0 时，设直线 OP 的方程为 y kx，由Error! 得(2 k21) x22，解得 x2 ，所以 y2 ，22k2 1 2k22k2 1所以 OP2 .2k2 22k2 1因为 OP OQ，所以直线 OQ 的方程为 y x，1k由Error! 得 x k，所以 OQ22 k22，2所以 1.1OP2 1OQ2 2k2 12k2 2 12k2 2综上可知， 1.1OP2 1OQ2
