1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇二、四心与向量的结合（1） 是 的重心.0OCBAABC证法 1：设 ),(),(),(), 321yxyx是 的重心.0)()()(321 3213yyxxOABC证法 2：如图 ,OCBADAOA2三点共线，且 分 为 2：1, 是 的重心DO、 BC（2） 为 的垂心.证明：如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC，AD 垂直 BC， D、E 是垂足.0)(BA 同理 ， 为 的垂心CABC（3）设 , , 是三角形的三条边长， O是 ABC的内心abc为 的内心.O0证明： 分别为 方向上的单位向量， 平分 , )，令、bAC
2、cB(AObCcB, （ ),化简得cbacbaAbA0)(a0CB（4） 为 的外心。OB典型例题：例 1： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，A、 P)(ACBO，则点 的轨迹一定通过 的（ ）,0PCA外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示 ， 分别为边 的中点.ED、AB、, ,C2O2PO, / , 点 的轨迹一定通过 的重心，即选 .PAPC例 2：（03 全国理 4） 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足、， ，则点 的轨迹一定通过 的（ B ）)(CBOA,0AA外心 B内心 C重心 D垂心分析： 为 的单位向量， 平分 , 点 一定通
3、过 的内心，即选 .、A、ABCPACB例 3： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足O、， ，则点 的)coscs(CBAP,0轨迹一定通过 的（ OAB CDEOAB CDEAB CDEAB CDE）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示 AD 垂直 BC，BE 垂直 AC， D、E 是垂足.= =)coscs(ACBABcoscs CABCcoscos= + =0， 点 的轨迹一定通过 的垂心，即选 .PC练习：1已知 三个顶点 及平面内一点 ，满足 ，若实数 满足： ，则AB、P0PCBAAPB的值为（ ）A2 B C3 D622若 的外接圆的圆心为 O，半径为
4、1， ，则 ( ) 0OBABAA B0 C1 D123点 在 内部且满足 ，则 面积与凹四边形 面积之比是（ ）O2COCA0 B C D34534 的外接圆的圆心为 O，若 ，则 是 的（ ）COBAHHABA外心 B内心 C重心 D垂心5 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，若O、 22OC，则 是 的（ ）22AA外心 B内心 C重心 D垂心6 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， ，则实数 m = C )(BAmO7 （06 陕西）已知非零向量 与 满足( + ) =0 且 = , 则ABC 为( )AB AC AB |AB |AC |AC | BC AB |AB |AC |AC |12A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知 三个顶点 ，若 ，则 为（ ）、 2 ABCA等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C
