1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇天津四中：刘晖一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1） 是 的重心.0OCBAABC证法 1：设 ),(),(),(), 321yxyx0)()()(321 3213yyxx是 的重心.OABC证法 2：如图0D三点共线，且 分A、OAD为 2：1是 的重心OBC（2） 为 的垂心. BC证明：如图所示 O 是
2、三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC，AD 垂直 BC， D、E 是垂足.0)( AOAACB同理 ， B为 的垂心OA（3）设 , , 是三角形的三条边长，O 是 ABC 的内心abc为 的内心.CB0ABC证明： 分别为 方向上的单位向量，、平分 ,bAc OAB CD EOAB CDE)，令(AObCcBcba（ )aA化简得 0)(CcBbA（4） 为 的外心。OAB典型例题：例 1： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足C、 P， ，则点 的轨迹一定通过 的（ ）)(ABOP,0PABCA外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示 ， 分别为边 的ED、B、中点.
3、 CB2AOPD2/AP点 的轨迹一定通过 的重心，即选 .ABC例 2：（03 全国理 4） 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动OCBA、点 满足 ， ，则点 的轨迹一定通过 的（ P)(CAB,0PABCB ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析： 分别为 方向上的单位向量，、平分 ,ACBAB CDE点 的轨迹一定通过 的内心，即选 .PABCB例 3： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足O、 P， ，则点 的轨迹一定通过 的)coscs(CABA,0ABC（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示 AD 垂直 BC，BE 垂直 AC， D、E 是垂足.
4、 )coscs(CAB= = CABABcoscos= + =0C点 的轨迹一定通过 的垂心，即选 .PBD练习：1已知 三个顶点 及平面内一点 ，满足 ，若AC、P0PCBA实数 满足： ，则 的值为（ ）PBA2 B C3 D622若 的外接圆的圆心为 O，半径为 1， ，则 ( )C 0OCBABAA B0 C1 D1 23点 在 内部且满足 ，则 面积与凹四边形O02A面积之比是（ ）BA0 B C D345344 的外接圆的圆心为 O，若 ，则 是 的（ COCBHHABAB CDE）A外心 B内心 C重心 D垂心5 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，若OA、 22OBCA，则 是 的（ ）22CA外心 B内心 C重心 D垂心6 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，)(mH则实数 m = 7 （06 陕西）已知非零向量 与 满足( + ) =0 且 = , 则AB AC AB |AB |AC |AC | BC AB |AB |AC |AC |12ABC 为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知 三个顶点 ，若 ，则BA、 ABA2为（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D 、C
