1、1第 2 讲 解三角形、几何中的应用题考情考向分析 和三角形有关的应用题，可以利用正弦定理、余弦定理解三角形，进而解决实际问题；和几何图形有关的应用题，可以利用平面几何知识或者建立平面直角坐标系转化成解析几何问题，利用直线或者曲线方程解决热点一 和解三角形有关的应用题例 1 如图所示，在某东西公交路线的南侧有一个临时停靠站台，为了方便乘客，打算在站台的一面东西方向的长方形墙体 ABHG 上用 AB5 m， BC1 m 的矩形角钢焊接成一个简易的遮阳棚(将 AB 放在墙上)当太阳光线与水平线的夹角 分别满足下列情况时，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚 ABCD 所在的平面与矩形 HEFG
2、 所在的路面所成的 设置为多大角度？(1) 90；(2) 80.解 (1)如图 1，当 90时，太阳光线垂直于地面，2遮阳棚只有与地面平行时，遮阴面积最大，故遮阳棚 ABCD 所在的平面与水平面所成角 0.(2)如图 2，在平面 CBHE 内，过点 C 作直线 IJ，与直线 HE 交于 I，与直线 HB 的延长线交于J，并使得 CIH80，由题意可知， CBH 90.在 Rt IHJ 中，tan 80 ，即 HI ，HJHI HB BJHI HB BJtan 80欲使得 HI 取到最大值，只需 HB BJ 取到最大值，而站台高 HB 为定长，故只需 BJ 取到最大值即可在 BCJ 中， BJC
3、10， BCJ 80，由正弦定理得， ，BJsin 80 BCsin BJC 1sin 10即 BJ ，sin 80sin 10故当 10时， BJ 取到最大值，此时 HI 也取到最大值，又 S 阴 GHHI5 HI，所以此时遮阳棚的遮阴面积最大思维升华 用正、余弦定理去解决具体设计问题时，应关注图形的特点，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，再利用正弦、余弦定理构造方程或三角函数式求解跟踪演练 1 如图，某公园有三条观光大道 AB， BC， AC 围成直角三角形，其中直角边BC200 m，斜边 AB400 m现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB， BC， AC 大道上嬉戏，所在位置分别
4、记为点 D， E， F.(1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲晚 2 分钟出发，当乙出发 1 分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；3(2)设 CEF ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的 2 倍，且 DEF ，请将甲、乙 3之间的距离 y 表示为 的函数，并求甲、乙之间的最小距离解 (1)依题意得 BD300 m， BE100 m，在 ABC 中，cos B ， B ，BCAB 12 3在 BDE 中，由余弦定理，得DE2 BD2 BE22 BDBEcos B300 2100 22300100 70 000，12 DE100
5、m，7答 甲、乙两人之间的距离为 100 m.7(2)由题意得 EF2 DE2 y， BDE CEF ，在 Rt CEF 中， CE EFcos CEF2 ycos ，在 BDE 中，由正弦定理得 ，BEsin BDE DEsin DBE即 ，200 2ycos sin ysin 60 y ，0 ，10033cos sin 503sin( 3) 2当 时， y 有最小值 50 . 6 3答 甲、乙之间的最小距离为 50 m.3热点二 和立体几何有关的应用题例 2 (2018淮安四市模拟)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图
6、1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 O 及其内接等腰三角形 ABC 绕底边 BC 上的高所在直线 AO 旋转 180而成，如图2.已知圆 O 的半径为 10 cm，设 BAO ，00，当 x 时， f( x)0)，代入点 B 的坐标，得 p ，12所以抛物线的方程为 y2 x.因为 CD a，所以 AE EF a，则 DE2 a a2，所以 f(a) a(2 a a2) a3 a22 a，定义域为(0,1)(2)由(1)可知， f(a) a3 a22 a，则 f( a)3 a22 a2，令 f( a)0，得 a . 7 13当 0 a 时，7 13f( a)0， f(a)在 上单调递增；(
7、0，7 13 )当 a1 时，7 13f( a)0， f(a)在 上单调递减(7 13 ， 1)所以当 a 时， f(a)取得极大值，也是最大值7 13答 当 a 时，矩形草坪 CDEF 的面积最大7 131(2016江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 OO1是9正四棱锥的高 PO1的 4 倍(1)若 AB6 m， PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？解 (1) V 6226 2243
8、12(m 3)13(2)设 PO1 x，则 O1B1 (00)，18将点 代入得，4 a ，(2，178) 18 178解得 a ，即 y x2 .12 12 18设点 P 的坐标为 ，00，38 178故当 t 时， PG2取得最小值，即 PG 取得最小值，38为 ，38 3 33 1 9 638又因小路每米造价 m 元，故当 t 百米时小路造价最低，最低造价为 100 m38 9 638m(元 )259 632B 组 能力提高5.如图，矩形 ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上，在梯形 BCDE 区域内部展示文物， DE 是玻璃幕墙，游客只能在 ADE 区域内参观在
9、 AE 上点 P 处安装一可旋转的监控摄像头， MPN 为监控角，其中 M， N 在线段 DE(含端点)上，且点 M 在点 N 的右下方经测量得知， AD6 m， AE6 m， AP2 m， MPN .记 EPM (弧度)，监控摄像 4头的可视区域 PMN 的面积为 S.(1)求 S 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围； (参 考 数 据 ： tan54 3)(2)求 S 的最小值解 (1)方法一 在 PME 中， EPM ，PE AE AP4 (m)， PEM ， PME ， 4 34由正弦定理得 ，PMsin PEM PEsin PME所以 PM ，PEsin PEMsin PME 2
10、2sin(34 ) 4sin cos 同理在 PNE 中，由正弦定理得 ，PNsin PEN PEsin PNE21所以 PN ，PEsin PENsin PNE 22sin( 2 ) 22cos 所以 PMN 的面积 S PMPNsin MPN124cos2 sin cos 41 cos 22 12sin 2 8sin 2 cos 2 1 ，82sin(2 4) 1当 M 与 E 重合时， 0；当 N 与 D 重合时，tan APD3，即 APD ， ，54 34 54所以 0 .34 54综上可得 S ， .82sin(2 4) 1 0， 34 54方法二 在 PME 中， EPM ，PE
11、 AE AP4 (m)， PEM ， PME ， 4 34由正弦定理可知， ，MEsin PEsin PME所以 ME ，PEsin sin PME 4sin sin(34 ) 42sin sin cos 在 PNE 中，由正弦定理可知， ，NEsin EPN PEsin PNE所以 NE PEsin( 4)sin( 2 ) 4sin( 4)cos ，22sin cos cos 22所以 MN NE ME ，22cos2 sin cos 又点 P 到 DE 的距离为 d4sin 2 ， 4 2所以 PMN 的面积 S MNd12 4cos2 sin cos 41 cos 22 12sin 2
12、，8sin 2 cos 2 1 82sin(2 4) 1当 M 与 E 重合时， 0；当 N 与 D 重合时，tan APD3，即 APD ， ，54 34 54所以 0 .34 54所以 S ， .82sin(2 4) 1 0， 34 54(2)当 2 ，即 时， 4 2 8 0， 34 54S 取得最小值 8( 1)82 1 2所以可视区域 PMN 面积的最小值为 8( 1)m 2.26(2018江苏海门中学模拟)将一个半径为 3 dm，圆心角为 ( (0,2)的扇形铁皮焊接成一个容积为 V dm3的圆锥形无盖容器(忽略损耗)(1)求 V 关于 的函数关系式；(2)当 为何值时， V 取得
13、最大值；(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为 0.5 dm 的球？请说明理由解 (1)设底面半径为 r，高为 h,3 2 r， h ，9 r2 V r2h 2 ， (0,2). 13 13 (32 ) 9 (32 )2(2) 令 t r2 2(0,9)， f(t) t2(9 t)，(32 ) f( t)3 t(t6)0，23 t(0,9) t6，因此 t6， 时， Vmax2 .263 3(3)设圆锥轴截面三角形内切圆半径为 r0.r0(332 ) 2 ，12 6 12 3 6 r03 2 0.5，2 3所以能完全盖住桌面上一个半径为 0.5 dm 的球7如图是一座桥的截面图
14、，桥的路面由三段曲线构成，曲线 AB 和曲线 DE 分别是顶点在路面 A， E 的抛物线的一部分，曲线 BCD 是圆弧，已知它们在接点 B， D 处的切线相同，若桥的最高点 C 到水平面的距离 H6 米，圆弧的弓高 h1 米，圆弧所对的弦长 BD10 米(1)求弧 ABCD所在圆的半径；(2)求桥底 AE 的长解 (1)设弧 所在圆的半径为 r(r0)，由题意得 r25 2( r1) 2， r13.即弧 ABC所在圆的半径为 13 米(2)以线段 AE 所在直线为 x 轴，线段 AE 的中垂线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 H6 米， BD10 米，弓高 h1 米， B(5,5)， D(5,5)， C(0,6)，设 A所在圆的方程为 x2( y b)2 r2(r0)，则Error! Error!弧 的方程为 x2( y7) 2169(5 y6)设曲线 AB 所在抛物线的方程为 y a(x m)2，点 B(5,5)在曲线 AB 上，5 a(5 m)2，又弧 ACD与曲线段 AB 在接点 B 处的切线相同，且弧 ABCD在点 B 处的切线的斜率为 ，512由 y a(x m)2，得 y2 a(x m)，242 a(5 m) ，2 a(5 m) ，512 512由得 m29， A(29,0)， E(29,0)，桥底 AE 的长为 58 米，
