1、 圆锥曲线常见题型归纳一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几 何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在 轴和 轴的两种（或四种）情况；xy（3）注意 ， ， ， 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中2,a2,b2,c,p，双曲线中 ，离心率 ，准线方程 ；2bcacacecax2例题：（1）已知定点 ，在满足下列条件的平面上动点 P 的
2、轨迹中是椭圆的是 （ ）)0,3(,21FA B C D （答：4P621P1021F1221PFC）；（2）方程 表示的曲线是_ （答：双曲线的左支）2(6)(6)8xyxy（3）已知点 及抛物线 上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_ （答：2）0,Q42（4）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为 _ （答： ）； 123kyxk 1(3,)(,)（5）双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 有公共焦点，则该双曲线的方程_（答： ）；51492yx 214xy（6）设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线 C 过点 ，则 C 的方程为O1F2 2e)10,(P_（答
3、： ）26xy二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）：12byax0a范围： ； 焦点：两个焦点 ；,(,0)c对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），
4、四个顶点 ，其中长轴长为0, (,0)ab2 ，短轴长为 2 ； 准线：两条准线 ；a 2ax离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。cea1eepecba,例：（1）若椭圆 的离心率 ，则 的值是_（答：3 或 ）；152myx510em325（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答： ）（2）双曲线（以 （ ）为例）：21xyab0,ab范围： 或 ；焦点：两个焦点 ；x,R(,0)c对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），两个顶点 ，其中实轴长为 2 ，(,0)aa虚轴长为 2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，
5、称为等轴双曲线，其方程可设为b；准线：两条准线 ； 两条渐近线： 。2,0xyk2axcbyx离心率： ，双曲线 ，等轴双曲线 ， 越小，开口越小， 越大，开口越大；cea1e2ee例：（3）双曲线的渐近线方程为 y=3x/4,则双曲线的离心率为_ （4）双曲线 的离心率为 ，则 = （答：4 或 ）； 21xby5:ab1（5）设双曲线 （a0,b0 ）中，离心率 e ,2,则两条渐近线夹角 的取值范围是a 2_（答： ）； ,32（3）抛物线（以 为例）：(0)ypx范围： ；焦点：一个焦点 ，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；0,xR(,)2p对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有
6、一个顶点（0,0）；准线：一条准线 ； 离心率： ，抛物线 。2pcea1e（4）点 和椭圆 （ ）的关系：（1）点 在椭圆外0(,)Pxy12byax00(,)Pxy； 2）点 在椭圆上 1；（3）点 在椭圆内201xyab0(,)Px20byax0(,)20例：（6） 设 ，则抛物线 的焦点坐标为_（答： ）；165yxRa,024xy )16,(a（7）已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为_（答： ）；35（8）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离xy82 y等于_；（9）若该抛物线上的点 到焦点的距离是 4
7、，则点 的坐标为_（答： ）；MM7,(24)（10）点 P 在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横坐标为1925yx_（答： ）；1三、直线与圆锥曲线的关系题 （1）写直线方程时，先考虑斜率 存在，把直线方程设为 的形式，但随后应对斜率 不存kbkxyk在的情况作出相应说明，因为 不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；（2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去 或消去 ，得到方程 或x 02ca，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。0cbya（3）当方程或的二次项系数 时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况0a是直线与双曲线的渐近线
8、平行或直线与抛物线的对称轴平行；（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；）（4）当方程或的二次项系数 时，判别式 、 、 ，与之相对应的是，直线00与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用 来求斜率 的范围；k例题：（1）过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有_（答：2）； )4,2( xy82（2）过点(0,2) 与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：1692x）；5,3（3）直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围是_（答：
9、1，5）215xym（5，+）； （4）过双曲线 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则这样的直线有12x_条（答：3）；（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提 ， ），记为 ，其中 ， ，0a),(1yxA),(2yxB的坐标可由方程或求得，一般是由方程求出 ，再代入直线方程求 ，或由方程AB 21,x求出 ，再代入直线方程求 。21,y21,x（6）涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程 求出 ，02cbxa211,x， 在直线 上， ， ，),(1yxA),(2yxBkxky1bky2,221ky 22121 )()()( xA。 4)(121212xxkak)(2请注意，如果联立直
10、线和圆锥曲线方程，消去 ，得到 ，继而用韦达定理，求x02cbya出 ， ,211,y)(1221ykx 2122121 )()()( ykAB；4)(yka（6）若抛物线 的焦点弦为 AB， ，则 ；2(0)px12(,)(,)xyB12|ABxp211,4pxy（7）若 OA、OB 是过抛物线 顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点2(0)ypx(,0)（7）涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程 求出 ，设弦02cbxa21x),(1yxA的中点为 ，则 ， 点也在直线 上， 。),(2yxB),(0yxM210xMbkxybky0如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率 有关，而不
11、涉及弦长，则可把弦 的坐标 ， 直k AB),(1x),(2y接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有 、 、 、)(21x(21，这些都与弦中点坐标和弦的斜率 有关。 （点差法）)(21yk（8）弦 满足有关的向量的条件，如 （ 为原点），则 ， AB0OBA021yx， ， .bkxy1bkxy2 )()1()( 212212 bkxbkxx又如过椭圆 的右焦点 的直线 与该椭圆交于 两点，且 ，求Fl,MN3621MF直线 的方程。l特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，0务必别忘了检验 ！例：（1）抛物线 上的两点 A、B 到焦
12、点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 轴的距离为xy2 y_（答：2）；（2）如果椭圆 弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：21369）；80xy（3）已知直线 y=x+1 与椭圆 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线21(0)xyabL：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为 _（答： ）；2（1）双曲线 的渐近线方程为 ；12byax 02byax（2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为 为参1 (2byax数， 0）。如（4）与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为_（答：1692yx )32,(）219xy（5）经过双曲线 的
13、右焦点 F2 作倾斜角为 30的弦 AB，132yx（1）求|AB|（2）求三角形 的周长，（ F1 是左焦点）ABF1（6）已知抛物线 与直线 y=k(x+1)相交于 A、 B 两点xy2（1）求证： OBA（2）当 ，求 k 的值。10S（7）已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点,已知点 (1)ykx2:153xyCAB， 求证： 为定值.7(,0)3MAMB解: 将 代入 中得 (1)ykx2153y22(3)6350kxk， 422236()480k，1221x2351kx所以 2121277(,)(,)()3MAByxy 13xk2221249()()kxk2 225761()33k
14、。422649k（8）过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 点平分，求这条弦所在直线的方程。1462yx)1,2(MM四、关于圆锥曲线的最值（1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标 ，用两点间的距离公式),(0yx表示距离 ，利用点 的坐标 满足圆锥曲线方程，消去 （或消去 ），把 表示成d),(0yx 0 2d（或 ）的二次函数，因为 （或 ）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题0x0y转化为：求二次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所求的
15、点，切线与定直线的距离即为所求最值。例：（1）椭圆 x2/3+y2=1 上的点到直线 x-y+4=0 的最短距离；五、求动点的轨迹方程（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；注意：不重合的两条直线 与 ， 的法向量为：0:11CyBxA 0:22CyBxA1，方向向量为 ，),(11BAn ),(,(ke11 且 ；2122121（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ；,xy(,)0Fxy(1)已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程（答：3或 ）；21(4)3)yx24(0)待定系数法：已知所求曲线的类
16、型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。（2）线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0） ，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x 轴)0(为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答： ）； 2y定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)由动点 P 向圆 作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=60 0，则动点 P 的轨迹方21xy程为 （答： ）；24xy（4）点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程是_ （答：05xl：）；2
17、16y(5) 一动圆与两圆M： 和N： 都外切，则动圆圆心的轨迹为12 0282y（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知(,)Pxy0(,)Qxy0(,)Qxy曲线上，则可先用 的代数式表示 ，再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程；,0,(6)动点 P 是抛物线 上任一点，定点为 ,点 M 分 所成的比为 2，则 M 的轨迹方程12)1(A PA为_（答： ）；36xy（7）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2 a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N，在 OM 上取点 ，使P，求点 的轨迹。（答： ）；|MN2|xya（8）若点 在圆 上
18、运动，则点 的轨迹方程是_（答：),(1yxP12y),(11yxQ）；2|2y（9）过抛物线 的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是4l_（答： ）；xy（14 全国卷）20.（本小题满分 12 分）已知点 （0，-2 ），椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭圆的焦点，AE21(0)xyab32F直线 的斜率为 ， 为坐标原点.AF23O（）求 的方程；E（）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程.lE,PQOPl20.（本小题满分 12 分）解：（）设 ，由条件知， ，得 ，(,0)Fc23cc又 ，所以32a22,1ab故 的
19、方程为 5 分E214xy（）当 轴时不合题意，故设 ， ，将 代入 得l:2lykx12(,)(,)PyQx2ykx214y2(14)60当 ，即 时，216(43)0k23k21,28431kx从而 21224|PQx又点 到直线 的距离 ，所以 的面积OPQ21dkOPQ9 分243|1OPkS设 ，则 ，243kt02Qtt因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，且满足tt7k0所以当 的面积最大时， 的方程为OPQl或 12 分72yx72yx答案一：1.C 2.双曲线的左支3y=x2/4 即 x2=4y焦点 F 为（0,1）准线：y=-1过点 P 作 PMy=-1 于 MPM=PFy+
20、|PQ|=PM+|PQ|-1=PF+|PQ|-1当 F,P,Q 三点共线时PF+|PQ|最小（PF+|PQ|）min=（22）2+1=3（y+|PQ|）min=（PF+|PQ|-1）min=3-1=24. ）； 5. ； 6.1(3,)(,2)214xy26xy二：1. 3 或 52.设焦点在 x 轴上,则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形,底边长为 2c,面积最大时,底边上的高最大,即该动点必须位于椭圆与 y 轴的交点上,即此时高为 b,即 2c*b/2=1,bc=1,c=1/b而 c2= a2-b2 =(1/b)2 即 a2= b2 +(1/b)2 2a2 长轴 2a223.（1）焦点在
21、 x 轴上,渐近线 y=(b/a)x b/a=3/4 b=3t, a=4t c=5t e=c/a=5/4（2）焦点在 y 轴上,渐近线 y=(a/b)x a/b=3/4 a=3t, b=4t c=5t e=c/a=5/3 4. 4 或15. e=c/a2,2,cos(-)/2=a/c1/2,1/2, (-)/2/4,/3,-/2,2/3, 的取值范围是/3,/2.6. 7. 8. 7 9. （ ） 10. )16,0(a357,(24)251三： 1、2 2. 4,显然该抛物线焦点是（2,0）这个点在 x=5 上.解方程组 x=5,y=8x ,则 x=5,y=210.该点坐标为（5,210）.
22、用公式算得该点至抛物线距离为 7.2.设直线为 y=kx+a,过（0,2）点,可得 a=2y=kx+2 与 x2/9-y2/16=1 有且只有一个公共点也就是方程组 x2/9-y2/16=1；y=kx+2只有一组解将 y=kx+2 代入 x2/9-y2/16=1 得到：(16-9k2)x2-18kx-180=0就此讨论：当 16-9k2=0 时,方程只有一组解,也就是 k=(4/3)时,方程只有一组解当 16-9k2 不等于 0 时,一元二次方程有且只有唯一解的条件也就是 b2-4ac=0,可以得到另一组 k 的值3：椭圆 ， 且 ，直线 恒过定点 ，欲使其与椭圆恒有公共点，只需让 落在椭圆内
23、或者椭圆上，即： ， ，选 C.4. X2 - Y2/2 =1 c=1+2=3 F(3,0)过 F 且垂直 x 轴的直线是 x=3 代入则 y=4 y=2所以此时 AB=2-(-2)=4 所以这里有一条且 AB 都在右支时其他的直线则 AB 都大于 4 所以 AB 都在右支只有 1 条直线 L 交双曲线于 A,B 两点,A、B 分别在两支时, 顶点是(-1,0),(1,0)顶点距离是 24 所以也有两条,关于 x 轴对称 所以共有 3 条1. 2 2. 3. 4. 280xy2249xy56、（1）将 y=k(x+1)代入 y2=-x, 设 A（X1,y1）,B(X2,y2)易得 X1+X2=
24、-(2k2+1)/k2,X1*X2=1y1*y2=k2(X1+1)(X2+1)=-10A 斜率 K1 为 y1/X1,0B 斜率 K2 为 y2/X2,所以 K1*K2=-1 得证（2）1/2(根 x12+y12*根下 x22+yx2)=根 10 （x12+y12）*（x22+yx2）=40x12x22+(x12+y22+x22y12)=40 2-(x12x2+x22x1)=40x1x2(x1+x2)=-38 (2k2+1)/-k2=-38 k2=1/36 k=-1/67、7、解: 将 代入 中得 (1)ykx2153y22(3)6350kxk， 422236()480k，1221x2531k
25、x所以 2121277(,)(,)()3MAByxy 13xk222112749()()3kxkxk2 2256()3。42231649kk8.设直线与椭圆的交点为 、),(1yxA),(2yB为 的中点 )1,2(MB421又 、 两点在椭圆上，则 ，A621yx64yx两式相减得 0)(4)(2121yx于是 )22 x24)(42121 yxy即 ，故所求直线的方程为 ，即 。ABk )2(1xy04y四、 1.解：将直线 L 向椭圆方向平移至直线 L:x-y+c=0，使直线 L与椭圆恰好相切，切点为P，把 x=y-c 代入椭圆方程 x2/3+y2=1（1）,得 （y-c)2/3+y2=
26、1整理得：4y2-2cy+c2-3=0 由=0 得 4c2-44(c2-3)=0c=2 即直线 L方程为:x-y2=0 方程为:x-y+2=0（2） 符合题意解（1）、（2）得 P 点坐标为（-3/2,1/2）。点 P 到直线 L:x-y+4=0 的距离的最小值为：d=|-3/2-1/2+4|/2=2/2。五、1. 或 ）；21(4)3)yx24(03)yx2. 3. 4. 5.双曲线的一支2216yx6. 7. 362xy2x20.（本小题满分 12 分）解：（）设 ，由条件知， ，得 ，(,0)Fc3cc又 ，所以32ca22,1abc故 的方程为 5 分E214xy（）当 轴时不合题意，故设 ， ，将 代入 得l:2lykx12(,)(,)PyQx2ykx214y2(14)60当 ，即 时，216(43)0k23k21,28431kx从而 21224|PQx又点 到直线 的距离 ，所以 的面积O2dkOPQ9 分2143|1OPQkS设 ，则 ，243kt02tt因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，且满足tt7k0所以当 的面积最大时， 的方程为OPQl或 12 分72yx72yx
