1、第6章 多指标决策,内容提要,多指标决策（Multiple Attribute Decision Making)MADM） 多属性决策或有限方案的多目标决策。 是现代信息分析与决策科学中的一个重要组成部分。 在社会、经济、管理、医药卫生等诸多领域有着广泛的应用。 在医药卫生领域，类似的问题有 医疗机构/科室工作评价 医疗方案选择 临床疗效比较等。 在解决这些问题时，往往要同时考虑多项指标，而不是简单地由一两个指标来反映。,本章重点,多指标决策问题的表示模型 指标的标准化处理方法 决策指标的权重确定方法 简单线性加权法和理想解法,6.1 多指标决策概述,多指标决策是指利用已有的决策信息，通过一定
2、的方式对一组（有限个）备选方案进行偏好决策，如选择、排序、评价等。 多指标决策主要由两部分组成： 决策信息的获取:决策信息一般包括指标权重和指标值两方面，权重表示了该指标对决策的相对重要程度； (通过一定的方式)对决策信息进行综合并对方案进行排序和择优。,6.1.1 多指标决策的基本概念,一个多指标决策问题一般由备选方案、评价指标和指标权重组成。 多指标决策一般可以描述为以下形式： S = s1, s2, , sm：m个备选方案； X = x1, x2, , xn：n个评价指标； A = aijmn(1i m，1 j n)：决策矩阵，其中aij是方案si对应于指标xj的值。,6.1.1 多指标
3、决策的基本概念,【例6-1】对于阑尾炎的治疗，常见的治疗方案有保守药物治疗、腹腔镜手术和传统手术3种。这些方案在治疗时间、费用、效果、根治程度、耐受性等方面存在差异，如下表所示。,6.1.2 多指标决策的特点,决策问题的指标大于或等于2个。指标量纲不统一，指标之间往往并不具备直接可比性。指标导向不一致。 效益型指标，这类指标的值越大越好； 成本型指标，这类指标的值越小越好； 固定型指标，指标值越接近某个固定值越好； 区间型指标，指标值越接近某个固定区间（包括落入该区间）越好； 偏离型指标，指标值越偏离某个固定值越好。,6.1.2 多指标决策的特点,指标之间的矛盾性：某一指标的完善往往会损害其他
4、指标的实现，即改进某一指标值可能会使其他指标值变坏。 定性指标和定量指标混合。 方案与指标的关系可以明显地表示出来。 例如，表示成一个矩阵。,6.1.3 多指标决策的解,设一个决策问题，有两个效益型指标，分别是x1和x2，有6个备选方案，可以用二维坐标图表示如下：,6.2 决策指标的标准化处理,6.2.1 定性指标的量化 常用方法：将指标依描述程度的强弱划分为若干级别，分别赋予不同的量值。 通常将描述程度划分为9个或5个级别。 一般取010间的整数，每个级别赋予适当分值。 极端值0和10通常不用，留给极特殊的情况使用。 定性指标的量化不改变指标的性质。,6.2 决策指标的标准化处理,6.2.1
5、 定性指标的量化,定性指标9级量化表,定性指标5级量化表,6.2 决策指标的标准化处理,6.2.1 定性指标的量化 【例6-2】对例6-1中的阑尾炎治疗问题的定性指标进行量化。 量化后的决策矩阵为：,6.2 决策指标的标准化处理,6.2.2 不同量纲指标的标准化 指标的标准化：将不同量纲和数量级的指标通过适当的变换，转换为无量纲的标准化指标。 决策矩阵的标准化方法 向量归一化法 线性比例变换法 极差变换法,6.2 决策指标的标准化处理,6.2.2 不同量纲指标的标准化 设决策矩阵 经过标准化处理后得到的标准化矩阵为 。 1. 向量归一化法,6.2 决策指标的标准化处理,6.2.2 不同量纲指标
6、的标准化 2. 线性比例变换法 简单方法就是将某个指标值与其最优值进行比较。 令 ， , 对于效益型指标：对于成本型指标：,6.2 决策指标的标准化处理,6.2.2 不同量纲指标的标准化 3. 极差变换法对于效益型指标，令对于成本型指标，令对于固定型指标，令,6.2 决策指标的标准化处理,6.2.2 不同量纲指标的标准化 【例6-3】对例6-2中量化后的决策矩阵进行标准化处理。 解：治疗时间（x1）、治疗费用（x2）和副作用（x6）为成本型指标，治疗效果（x3）、根治程度（x4）、耐受性（x5）和安全性（x7）是效益型指标。 （1）向量归一化法,6.2 决策指标的标准化处理,6.2.2 不同量
7、纲指标的标准化 【例6-3】对例6-2中量化后的决策矩阵进行标准化处理。 （2）线性比例变换法 （3）极差变换法,6.3 决策指标权重的确定,在多指标决策分析中，各个指标对决策而言，它们的相对重要程度是不同的。通常用权重来定量表示各指标的重要程度，指标越重要，权重越大。 设有n个决策指标，分别为x1，x2，xn；它们对应的权重分别为w1，w2，wn； 则有 w1+ w2+wn=1（wi0, 1i n）。,6.3 决策指标权重的确定,确定指标权重的方法: 1. 主观赋权法 主观赋权法:由决策者根据自己的主观经验和判断直接赋权的方法。 主要有德尔菲法（Delphi）、相对比较法和特征向量法等。 主
8、观赋权法反映了决策者的主观判断或直觉，但可能受到决策者的知识结构、工作经验及偏好的影响，具有随意性，再现性差。,6.3 决策指标权重的确定,2. 客观赋权法 客观赋权法：是根据决策矩阵提供的客观信息（指标值），通过建立某种数学模型计算出权重的方法，主要有熵值法、主成分分析法等。 客观赋权法通常基于完善的数学理论，但指标信息数据的采集难免受到随机干扰，也忽视了决策者的主观信息，可能与指标的实际重要性程度不完全符合。,6.3 决策指标权重的确定,3. 组合赋权法 由于主、客观赋权法各有利弊，实际应用中应该有机结合。已有不少学者提出了综合主、客观赋权的组合赋权法，主要有 方差最大化赋权法、 组合目标
9、规划法、 最佳协调赋权法、 基于熵的线性组合赋权法等。,6.3 决策指标权重的确定,6.3.1 德尔菲法 德尔菲法（Delphi）：又称专家咨询法，是一种主观赋权法。 选择若干专家组成评判小组，各专家独立（匿名）给出一组权重，形成一个权重评判矩阵，然后再进行综合处理得出每个指标初步的权重。若不满足一定的要求，再将这一轮的结果反馈给各位专家以供参考，进一步咨询，可以重复多轮，直至最终得出满意的结果。,6.3 决策指标权重的确定,6.3.1 德尔菲法 设有n个决策指标xj（1j n），向m个专家进行咨询，每个专家确定一组指标权重估计值为：在不考虑专家的权威程度时，对m个专家给出的权重估计值进行平均
10、，得出一组估计平均值：,(1 i m),6.3 决策指标权重的确定,6.3.1 德尔菲法 计算每一个估计值和其估计平均值的偏差：对偏差较大的权重估计值，再请第i个专家重新估计wij。如此反复操作，直到偏差满足一定要求。最终得到一组指标权重的估计平均修正值。,6.3 决策指标权重的确定,6.3.1 德尔菲法 德尔菲法具有以下特征： 1. 资源利用的充分性。 由于吸收不同的专家与预测，充分利用了专家的经验和学识； 2. 结果的可靠性。 由于每一位专家独立地做出自己的判断，不会受到其他因素的影响； 3. 结果的统一性。 通过几轮反馈，使专家的意见逐渐趋同。,6.3 决策指标权重的确定,6.3.2 相
11、对比较法 是一种主观赋权法。 它将所有指标分别按行和列排列，构成一个正方形的表；然后对指标两两比较进行评分，并将评分值记入表中相应位置，再将各指标评分值按行求和，得到评分总和；最后，进行归一化处理，求得各指标的权重。,6.3 决策指标权重的确定,6.3.2 相对比较法 设有n个决策指标xj（1 j n），两两相互比较评分，其分值设为，则有：指标xi的权重为：,6.3 决策指标权重的确定,6.3.2 相对比较法 【例6-4】对阑尾炎治疗问题，用相对比较法确定7个决策指标的权重。,6.3 决策指标权重的确定,6.3.3 熵值法 熵值法是一种客观赋权法，它依据各指标值所包含的信息量的大小来确定指标权
12、重。 计算决策矩阵得到熵权，在给定方案集和确定指标的情况下，能表示各指标在竞争意义上的相对激烈程度。 信息熵越小，说明在此问题中该指标提供的有用信息越多，所以应赋予该指标更大的权重；反之，其权重也就越小。,6.3 决策指标权重的确定,6.3.3 熵值法 计算步骤如下： 1. 将决策矩阵A = aijmn 标准化，得出标准化矩阵R=rij mn。 2. 对标准化矩阵进行归一化处理 令归一化处理后的矩阵为P=pij mn，其中,6.3 决策指标权重的确定,6.3.3 熵值法 3. 计算各个指标的熵值 第j个指标的熵值为：其中，,6.3 决策指标权重的确定,6.3.3 熵值法 4. 计算各个指标的差
13、异度 指标值的差异越大，对方案评价的作用越大，熵值就越小。差异度为：5. 确定指标权重 第j个指标的权重为：,6.3 决策指标权重的确定,6.3.3 熵值法 【例6-5】用熵值法确定例6-1中阑尾炎治疗问题各个评价指标的权重。 解：（1）阑尾炎治疗问题的线性比例变换后的标准化矩阵为：,6.3 决策指标权重的确定,6.3.3 熵值法 【例6-5】用熵值法确定例6-1中阑尾炎治疗问题各个评价指标的权重。 解：（2）对R进行归一化处理，得到的矩阵设为,6.3 决策指标权重的确定,6.3.3 熵值法 【例6-5】用熵值法确定例6-1中阑尾炎治疗问题各个评价指标的权重。 解：（3）分别计算每个指标的熵值
14、ej、差异度gj和权重wj：,6.4 多指标决策方法,对于多指标决策问题，通常采用指标综合法。 常用的指标综合方法：先将各单项指标进行标准化处理，再用一定的合成方法计算得出一个综合指标，最后用综合指标的大小进行比较和排序。 现有的多指标决策方法有很多，常见的包括 简单线性加权法 理想解法 功效系数法 层次分析法 灰色关联法,6.4 多指标决策方法,6.4.1 简单线性加权法 该方法根据实际情况，先确定各决策指标的权重，再对决策矩阵进行标准化处理，求出各可行方案评价指标的线性加权和，并以此作为各方案排序的依据。 注意：简单线性加权法对决策矩阵的标准化处理，应当使所有指标都转换成效益型指标。,6.
15、4 多指标决策方法,6.4.1 简单线性加权法 简单线性加权法的基本步骤是： 1. 用适当的方法确定各决策指标的权重，设权重向量为： W = ( w1,w2,wn )T2. 对决策矩阵A=aijmn作标准化处理，标准化矩阵为R=rij mn，并且标准化之后的指标均为效益型指标。,6.4 多指标决策方法,6.4.1 简单线性加权法 3. 求出各方案指标的线性加权值4. 以指标的线性加权值ui为判据，选择线性加权值最大者为最佳方案，即,6.4 多指标决策方法,6.4.1 简单线性加权法 【例6-6】用简单线性加权法对例6-1的阑尾炎治疗问题进行决策。 解：（1）【例6-5中】中计算的指标权重为，
16、W = (0.1048, 0.3882, 0.1048, 0.1448, 0.1448, 0.019, 0.0930 )T （2）由【例6-4】可知，标准化决策矩阵为,6.4 多指标决策方法,6.4.1 简单线性加权法 【例6-6】用简单线性加权法对例6-1的阑尾炎治疗问题进行决策。 解：（3）求出各方案指标的线性加权值，得到 u1=0.8114，u2=0.6393，u3=0.5075 所以，最佳方案,6.4 多指标决策方法,6.4.2 理想解法 理想解法又称为TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Soluti
17、on）法，直译为“逼近理想解的排序方法” 。 该方法建立在所选择的方案与理想解的差距最小并且与负理想解差距最大的理论上。 对于有n个指标的多指标决策问题，令 理想解s+ =（x1+, x2+, . , xn+），xj+为每个指标在各方案中的最优值。 负理想解s- =（x1-, x2-, . , xn-），xj-为每个指标在各方案中的最差值。,6.4 多指标决策方法,6.4.2 理想解法 在建立了理想解和负理想解后，再计算各个方案分别与理想解和负理想解的距离。 将每个备选方案、理想解和负理想解看作是n维空间上的一个点，在n维空间中，x=（x1, x2, , xn）和y=（y1, y2, , yn
18、）两点之间的距离一般定义为：通常取 ，即欧氏距离,6.4 多指标决策方法,6.4.2 理想解法 用欧氏距离公式可以计算每个方案与理想解和负理想解的距离。但是，可能会出现离理想解近的点同样也离负理想解不远的情况。 例如，对于一个二指标的决策问题。,6.4 多指标决策方法,6.4.2 理想解法 为了确定s1和s2的优劣，还需要确定一种测度方法以表示各方案靠近理想解和远离负理想解的程度，这种测度称为相对贴近度。 方案 si 与理想解 s+ 的相对贴近度定义为其中， 和 分别为方案 si 与 s+ 和 s- 的距离。越趋近1，方案 si 越接近理想解 s+ 。,6.4 多指标决策方法,6.4.2 理想
19、解法 TOPSIS法求解多指标决策问题的步骤如下： 1. 构造标准化决策矩阵 用向量归一化方法对决策矩阵进行标准化处理。 2. 计算加权标准化矩阵,6.4 多指标决策方法,6.4.2 理想解法 3. 确定理想解和负理想解 理想解 负理想解,6.4 多指标决策方法,6.4.2 理想解法 4. 计算各方案到理想解和负理想解的距离5. 计算相对贴近度。 6. 按相对贴近度的大小，对各方案进行排序。相对贴近度大者为优，排序最优的方案就是满意方案。,SUMSQ(number1,number2, .) Number1, number2, . 为 1 到 30 个需要求平方和的参数，也可以使用数组或对数组的
20、引用来代替以逗号分隔的参数。,（1）标准化矩阵：B11中输入”=B3/MAX(B$3:B$6)”，向下拖到D14.,向右拖到D4，E11输入“=MIN(E$3:E$6)/E3”,下拉到E14，然后右拖到G14,（2）归一化处理：将二、标准化矩阵 R 复制到另外一张EXCEL表，（使用选择性粘贴-文本方式） B14输入“=B4/SUM(B$4:B$7)”,向下拉到B17，然后向右拉到G7，得到标准归一化矩阵,计算各个指标的熵值,B21输入 “=(-1/LN(4)*SUM(B$14*LN(B$14), B$15*LN(B$15),B$16*LN(B$16),B$17*LN(B$17)”,右拉到G2
21、1B22输入”=1-B21“， B23输入” =B22/SUM($B22:$G22)“ 右拉到G23,将标准化矩阵和各指标权重选择复制到另外一张表中，B16输入”=B4*B$11“，向右拉到G16，然后向下拉到G19,得到加权标准化矩阵,将加权标准化矩阵选择复制到另外一张表中， B11输入”=MAX(B4:B7)“ B12输入” =MIN(B4:B7)“ 选择B11和B12，然后统一右拉到G列，得到理想解与负理想解,Excel2007中如何求两数组之差的平方和,求两个数组之差的平方和是数学运算中常用的计算方法，在Excel中如何更快地实现呢? SUMXMY2函数的主要作用是返回两个数组中对应单
22、元格中数值之差的平方和。 函数语法: SUMXMY2 (array_x, array_y) 其中array_x代表第1个数组或是数组区域，array_y代表第2个数组或是数组区域。 (1)选择计算结果存放的单元格，输入公式“=SUMXMY2 (A4: A7, B4: B7)”，其中A4: A7和B4: B7分别代表两组计算的数组。 (2)确认输入的公式无误之后，按下Enter键，输出计算的结果。,B16输入“=SQRT(SUMXMY2(B4:G4,$B$11:$G$11)“ 求A医院与理想解的距离,下拉到B19，得到所有医院到理想解的距离,C16=SQRT(SUMXMY2(B4:G4,$B$1
23、2:$G$12) 下拉到C19，得到所有医院到负理想解的距离,D16=C16/(C16+B16)，下拉到D19，得到所有医院的相对贴近度 BCAD,EXCEL RANK函数主要功能：返回某一数值在一列数值中的相对于其他数值的排位。使用格式：RANK（Number,ref,order） 参数说明：Number代表需要排序的数值；ref代表排序数值所处的单元格区域；order代表排序方式参数（如果为“0”或者忽略，则按降序排名，即数值越大，排名结果数值越小；如果为非“0”值，则按升序排名，即数值越大，排名结果数值越大；）。 应用举例：如在C2单元格中输入公式：=RANK(B2,$B$2:$B$31,0)，确认后即可得出B2单元格中的成绩在B2至B31成绩中的排名结果。,E16=RANK(D16,$D$16:$D$19,0)下拉到E19，得到排名,转置数组,TRANSPOSE(array) Array 为需要进行转置的数组或工作表中的单元格区域。,
