1、第3章 数值积分,3.1 基本概念 3.2 牛顿-柯特斯公式 3.3 龙贝格算法 3.4 高斯公式 ,3.1 基本概念,1.求积公式的一般形式 我们知道，定积分是求和式的极限，即 。它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表（这里是用矩形面积近似曲边梯形面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。,把区间a，b分割成n等分，分点得到复化左矩形公式,这些数值积分公式分别是在子区间xk上用零次插值多项式p0(x)
2、，一次插值多项式p1(x)，二次插值多项式P2(x)代替被积函数积分得到，为了讨论方便，我们取n = 1。这时：,图3-1 辛卜生公式的几何意义,2.插值型求积公式如果我们已经有了求积节点xk(k=0，1，n)，我们可以把这些点当作插值节点，利用Lagrange插值方法，构造插值多项式Pn(x)，近似被积函数f(x)，得到插值型求积公式,3.代数精度的概念在讲解代数精度的概念之前，我们不加证明地给出一个有关定理。定理1（Weierstrass定理）设f(x)是a，b上的连续函数，则对任意0，存在多项式p(x)，使对一切x(axb)有|f(x)-p(x)|。代数精度的概念是：假如（3.1）式的求
3、积公式对f(x)=1，x，x2，xm恒精确成立， 而当f(x)=xm+1时就不精确成立，我们就称公式（3.1）的代数精度为m。,4.插值型求积公式与代数精度的关系下面的定理建立了插值型求积公式与代数精度的关系。定理2 式（3.1）的求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是 它是插值型的。,3.2 牛顿-柯特斯公式,1.公式的导出牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式(以下统称为Newton-Cotes公式)是一种插值型求积公式。 2.偶阶求积公式的代数精度因为n阶Newton-Cotes公式是一种插值型求积公式，故由定理2可知，它至少具有n次代数精度。 定理3 当阶数n为偶数时，Ne
4、wton-Cotes公式至少具有n+1次代数精度。,3.Simpson公式的余项首先，复习第一积分中值定理。若函数f(x)，g(x)在区间a，b上有界且可积，f(x)连续，g(x)在区间a，b内不变号，则在区间a，b内至少存在一个数(ab)，使得,3.3 龙贝格算法,在实际计算中为了保证计算的精度，往往首先用分点xk=a+kh, (k=0,1,n)将区间a,b分成n个相等的子区间，而后对每个子区间再应用梯形公式或Simpson公式，分别得到：,递推关系是数值方法的重要技巧，它具有结构紧凑和便于在计算机上实现的特点。,例2用Romberg公式计算积分 解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：,把区间再分半，重复步骤(4)，可算出结果：T16=3.14094,S8=3.14159,C4=3.14159,R2=3.14159 至此得|R1-R2|0.00001，因为计算只用小数点后五位，故精确度只要求到0.00001。因此积分,3.4 高斯公式,一点Gauss公式是我们所熟悉的中矩形公式其Gauss点x1=0。 ,定理5节点xk（k=1,2,n）是Gauss点的充分必要条件是，(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)与所有次数小于等于n-1的多项式正交。即下列公式成立,
