1、第三单元 因数与倍数一、因数与倍数如果整数 a(a0)和整数 b(b0)相乘得到的整数 c，那么 a,b 是 c 的因数（因数又叫约数）；c 是a,b 的倍数。例 1:29=18 可以 说：2 是 18 的因数，18 是 2 的倍数；9 是 18 的因数，18 是 9 的倍数。注：1、因数与倍数是两个数之 间的相互关系，是相互依存的，不能 单独说某个数是因数或倍数。所以不能单独说 2 是因数，18 是倍数。2、研究因数与倍数时，所说的数一般指不是 0 的自然数。练习：（1）说出下面哪个数是因数，哪个数是倍数。37=21 48=32 139=117（2）78=56，（ ）和（ ）是（ ）的因数；
2、（ ）是（ ）和（ ）的倍数。判断：7 和 8 是因数， 56 是倍数。 （ ）（3）判断：ab=c,整数 a、b、c0，那么 a,b 是因数；c 是倍数。 （ ）二、找一个数的因数方法：列乘法算式使积就是这个数，两个乘数就是 这个数的因数，为了做到不重复、不遗漏，可以从 1 开始列起。成对记录 比较简便。例题：30 的因数有：1,30,2,15,3,10,5,6.注：一个数最小的因数是 1；最大的因数是它本身；一个数因数的个数是有限的。练习：（1）找出下列各数的因数：72 42 25 63（2）32 的因数有：（ ），最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。三、找一个数的倍数方法：用这个数分
3、别去乘 1,2,3所得的积就是这个数的倍数。例题：4 的倍数有：4,8,12,16,20,24（若无限制条件，一定要加省略号）注：一个数最小的倍数是它本身；没有最大的倍数；一个数倍数的个数是无限的。一个数的本身既是它的最大的因数，又是它的最小的倍数。练习：（1）找出下列个数的倍数：7 11 5 6（2）2 的倍数中，最小的一位数是（ ）；最小的两位数是（ ）。写出既是 8 的倍数，又是 72 的因数： （3）一个数倍数的个数是（ ），最小的倍数是（ ）。（4）一个数最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。（5）一个数的因数和倍数都是 9，这个数是（ ）。（6）一个数最大的因数和最小的倍数和是
4、16，这个数是多少？写出 这个数的倍数。（7）妈妈买回 30 个苹果，他把苹果放入 蓝子中让小明拿， 约 定既不许一次那完，也不许一个一个地拿，且每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。小明共有几种拿法？每种拿法每次各拿几个？小明将 40 颗棋子装入盒中，然后从中拿棋子，不许一次那完，且每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。有几种拿法？每次各拿几个？（8）判断：一个数的因数一定比它的倍数小。 （ ）AB=C(A,B,C 均为自然数），则 A 是 C 的因数，C 是 B 的倍数。 （ ）任何数最小的因数都是 1.（ ）一个数的因数和倍数都有无限个。 （ ）培优：爸爸今年 40 岁，小明和 爷爷
5、的年龄分别是爸爸年 龄的因数和倍数，并且 爷爷的年龄是小明年龄的 10 倍，小明和爷爷 今年各多少岁？四、5 和 2 的倍数的特征1、5 的倍数的特征：个位上是 5 或 0。2、2 的倍数的特征：个位上是 2、4、6、8 或 0.既是 2 的倍数又是 5 的倍数的特征：个位上是 0.3、自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，不是 2 的倍数的数叫做奇数。也可以说个位是 2/4/6/8/0 的数是偶数，个位是 1/3/5/7/9 的数是奇数。4、偶数与奇数的个数都是无限的，没有最大的偶数或奇数。最小的偶数是 0，最小的奇数是 1。练习：（1）23中， 里填（ ）既是 2 的倍数，又是 5 的倍数
6、。（2）1/3/25/39/48/50/329/1320 中奇数有（ ），偶数有（ ），2 的倍数有（ ），5 的倍数有（ ），既是 2 的倍数又是 5 的倍数有（ ）。（3）30 以内 5 的倍数有（ ）。（4）五个连续奇数的和是 75，这 5 个数分别是（ ）；三个连续偶数的和是 72，这三个偶数分别是（ ）。五、3 的倍数的特征1、3 的倍数，它各位上数的和一定是 3 的倍数。如果一个数不是 3 的倍数，那么，它各位上数的和也不是 3 的倍数。练习：（1）1，4,9,18,36,45,89,100 中，偶数是（ ）；奇数是（ ）；2 的倍数是（ ）；5 的倍数是（ ）；3 的倍数是（ ）
7、；既是 2 的倍数又是 5 的倍数是（ ）；既是2 的倍数又是 3 的倍数是（ ）；既是 3 的倍数又是 5 的倍数是（ ）。（2）3 的倍数中，最大的一位数是（ ），最小的两位数是（ ）；1000 以内最大的 3 的倍数是（ ）；35 加上（ ）或减去（ ）是 3 的倍数。（3）一个三位数同时是 2,3,和 5 的倍数， 这个三位数最小是（ ），最大是（ ）；能被2、3、5 除都余 1 的最小自然数是（ ）；在 1100 中，同时是 2,3,5 的倍数有（ ）。（4）按要求在里填上合适的数字。既是 2 的倍数又是 5 的倍数：5，13，24既是 2 的倍数又是 3 的倍数：35，74，70
8、，7既是 3 的倍数又是 5 的倍数：18，15,20，4既是 2 和 5 的倍数又是 3 的倍数：4， 20，4（5）用 0,4,3,2 四个数，按要求 组成一个两位数。组成的数是 2 的倍数：组成的数既是 2 的倍数，又是 5 的倍数：组成的数既是 2 的倍数，又是 3 的倍数：（6）桌子上放着 7 个茶杯，全部底朝上。每次翻转 2 个，经过多少次杯口全部朝上？（7）有 36 个苹果，把它放在 13 个盘子里，每个 盘子里只能放奇数个，这件事你能办到吗？（8）判断：自然数中，不是奇数就是偶数。 （ ）个位上是 0/3/6/9 的数一定是 3 的倍数。 （ ）所有的自然数都是整数。 （ ）解
9、析：错。整数包含正整数、负整数和 0；而自然数只有 0 和正整数。用 2,1,3 组成的三位数一定是 3 的倍数。 （ ）偶数是 2 的倍数，奇数是 3 的倍数。 （ ）培优：1、在重填上合适的数，使它是 9 的倍数。（1）67 （2）43 （3）582、一盒羽毛球，5 个 5 个的取，最后剩下 1 个；3 个 3 个的取，最后剩下 1 个；2 个 2 个地取，最后还是剩下 1 个。这 盒羽毛球最少有多少个？六、质数与合数1、一个数只有 1 和它本身两个因数，像这样的数叫作质数（或素数）。 （只有 2 个因数）2、一个数除了 1 和它本身还有 别的因数，像 这样的数叫作合数。 （有 2 个以上
10、的因数）3、1 既不是质数也不是合数。 （1 的因数只有一个）注意：质数与合数的个数都是无限的，没有最大的质数或合数。最小的质数是 2，最小的合数是 4。2 是唯一一个既是偶数又是质数的数。自然数（0 除外）可以分成质数、合数和 1.练习：（1）判断：2 既不是素数，又不是合数。 （ ）9 是奇数也是素数。 （ ）一个自然数（0 除外），如果不是素数就是合数。 （ ）（2）最小的自然数是（ ），最小的素数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ）。10 以内的素数有（ ），合数有（ ）。20 以内既是合数又是奇数的数有（ ）。50 以内最大的质数与最小的合数乘积是（ ）。有两个数都是质数
11、，这两个数的和是 8，两个数的 积是 15，这两个数是（ ）和（ ）。既不是质数，又不是偶数的最小自然数是（ ）；既是质数，又是偶数的最小自然数是（ ）；既是奇数，又是质数的最小自然数是（ ）；既是偶数，又是合数的最小自然数是（ ）。既是奇数又是合数的最小自然数是（ ）。一个四位数，千位上既不是质 数也不是合数，百位上是最小的合数，十位上是最小的 质数，个位上既是奇数又是合数，这 个数是（ ）。一个合数至少有（ ）个因数。一个三位数既有因数 2，又是 5 的倍数，百位上是最小的 质 数，十位上是最大的一位奇数， 这个数是（ ）。（3）在括号里填上合适的素数（质数）。8=（ ）+（ ） 9=（
12、）+（ ） 12=（ ）+（ ）15=（ ）+（ ） 18=（ ）+（ ） 24=（ ）+（ ）七、质因数与分解质因数1、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 1 没有质因子。 5 只有 1 个质因子，5 本身。 （5 是质数。 ） 6 的质因子是 2 和 3。(6 = 2 3) 2、4、8、16 等只有 1 个质因子：2（2 是质数，4 = 2，8 = 2 ，如此类推。 ） 10 有 2 个质因子：2 和 5。(10 = 2 5)2、把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解 质因数。方法：短除法或塔形分解法。练习：（1）先找出下面的合数，再把它 们分解质因数。11 20 36
13、 49 53 72（2）下面的式子， （ ）是分解 质因数。A、54=239 B、42=237 C、15=351 D、20=45（3）两个质数的和是 22，积是 85，这两个质数是（ ）和（ ）。（4）一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上是最小的奇数，这个三位数是（ ），它同时是 质数（ ）和（ ）的倍数。八、公因数与最大公因数几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。方法：找出小数的因数，在小数的因数中筛选大数的因数。例 1：找出下面每组数的最大公因数。6 和 15 8 和 16 1 和 20 30 和 6 8 和 9 9 和 25. 注意：1、公因数的个数是有限的。2
14、、几个数的公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。最大公因数只有 1 个。3、不同的两个数至少有 1 个公因数 1。4、用短除法可以找出最大公因数，共有的质因数的积就是最大公因数。练习：（1）25 和 40 的因数，公因数分 别填在下面的圈里。25 的因数 40 的因数 （2）在每个分数后面的括号中写上分子、分母的最大公因数。（ ） （ ）94271525 和 40 的公因数 （ ） （ ）1530例 2、找出每组数的最大公因数。A：5 和 15 8 和 16 10 和 20 3 和 9发现：倍数关系，最大公因数是小数。反之，最大公因数是小数，这两个数就是倍数关系。B、9 和 7 1 和
15、 7 11 和 12 3 和 11发现：互质关系，最大公因数是 1.反之，最大公因数是 1，这两个数就互质。当两个数的公因数或最大公因数是 1 时，我 们就说这两个数互 质。练习：（1）写出下面每组数的最大公因数。12 和 24（ ）；18 和 19（ ）；5 和 17（ ）；14 和 42（ ）；8 和 9（ ）；11 和 4（ ）；12 和 6（ ）；6 和 8（ ）；13 和 39（ ）；35 和 7（ ）。（2）一个数既是 12 的因数又是 18 的因数， 这个数最大是（ ）。4A=B(A、B0)，A 和 B 的最大公因数是（ ）。如果 a=235，b=237，那么 a 和 b 的最大
16、公因数是（ ）。（3）判断：两个合数的最大公因数不可能是 1.（ ）两个数的公因数一定比这两个数小。 （ ）3 和 4 没有公因数。 （ ）A 是 B 的倍数，那么 A、B 的最大公因数是 A。（ ）两个数的公因数一定是这两个数的因数。 （ ）例 3、(1)王先生准备将家里的贮藏室铺上地板。贮藏室长 16 分米，宽 12 分米，如果都使用整块的地砖，可以选择边长是几分米的地 砖？边长最大是几分米？在一张长 40 厘米，宽 32 厘米的长方形铁皮上剪同样 大小且面积最大的正方形，不能有剩余，剪出的正方形边长是多少厘米？在一间长 6 米、宽 4 米的教室里 铺同样大小的正方形地板，已知市场上有边长
17、 6 分米和 5 分米的正方形地砖，选哪种型号比 较合适？为什么？（2）两根彩带，一根长 15 厘米，另一根长 20 厘米，把它们剪成同样长的小段，没有剩余，每小段最长多少厘米？两根铁丝，一根 16 厘米，一根 28 厘米，把它们剪成同样长的小段，没有剩余，每小段最长多少厘米？（3）赵阿姨买回一条 50 分米长的红彩带和一条 43 分米长的绿彩带，分别把它们裁成同样长的小段，结果红彩带剩余 2 分米，绿彩带剩余 3 分米。所裁成的小段最长是多少分米？分别能裁成多少段这样长度相等的小段？（4）五（2）班男生 30 人，女生 25 人，把它 们分成若干小组，如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，
18、最多可以分成几个小组？每组中的男生和女生各多少人？（5）有 36 支铅笔和 40 本练习本平均奖给几个三好学生， 结 果铅笔多 1 支， 练习本多 2 本，得奖的三好学生至少有多少人？（6）按要求写出两个数，使最大公因数是 1两个数都是合数：（ ）和（ ）两个数都是奇数：（ ）和（ ）一个偶数和一个奇数：（ ）和（ ）九、公倍数与最小公倍数几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。方法：先写出较大的数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数。例 1、3 和 4 的公倍数有哪些？其中最小的是几？注意：1、公倍数的个数是无限的，所以在没有限制的条件下在后面要加省略号。2、几个数的公倍数中最小的一个叫做这
19、个数的最小公倍数。最小公倍数只有 1 个。3、找最小公倍数可以用短除法，所有质因数的积就是这两个数的最小公倍数。练习：找出下面每组数的最小公倍数和最大公因数。10 和 4 6 和 8 5 和 10 4 和 9 12 和 10 16 和 44、两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于这两个数的 积。例 2、找出下列每组数的最小公倍数，你发现了什么？（1）5 和 6 11 和 8 3 和 4 7 和 4发现：互质关系，最小公倍数是 这两个数的积。反之，最小公倍数是积，这两个数互质。（2）3 和 6 7 和 21 4 和 8 1 和 10发现：倍数关系，最小公倍数是大数。反之最小公倍数是大数，这两个数
20、是倍数关系。练习：（1）找出下列每组数的最小公倍数（注意利用互质和倍数关系快速计算，或用短除法）3 和 7 13 和 39 5 和 22 4 和 12 2 和 16 12 和 48 9 和 47 和 14 14 和 56 77 和 44 24 和 36 （2）判断：两个不同合数的最小公倍数一定不是这两个数的乘积。 （ ）两个不同素数的最小公倍数一定是这两个数的乘积。 （ ）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。 （ ）两个数的公倍数的个数是无限的，公因数的个数是有限的。 （ ）如果 AB=7，那么 A，B 的最小公倍数就是 A。（ ）两个数的乘积是这两个数的最大公倍数。 （ ）72 是倍数。
21、（ ） 所有的质数都是偶数，所有的合数都是奇数。 （ ）9 和 13 没有最大公因数。 （ ）（3）任意两个相邻的自然数，它 们最大的公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。例 3：3 路、4 路公交车每天早晨 6 点同时发车， 3 路每 4 分 钟发一辆，4 路每 6 分钟发一辆，第二次同时发车是什么时间？练习：（1）小王和小张 7 月 10 日同去游泳，小王每 6 天去一次，小张每 8 天去一次，几月几号他们再次同去？（2）月季花 4 天浇一回水，菊花 6 天浇一回水，今天 妈妈同 时给它们浇了水，至少再过几天妈妈又同时给两盆花浇水？（3）公路一侧有一排电线杆，相 邻的两根电线杆之间的距离都是
22、 30 米， 现在要把相邻的两根电线杆的距离改为 45 米，如果第一根 电线杆不必移动，那么下一根不必移动的电线杆是第几根？例 4、用一张长 18 厘米，宽 15 厘米的长方形纸，若拼成一个正方形，最少需要多少张？练习：（1）用长 20 厘米，宽 15 厘米的长方形地板，至少用多少块能拼成一个实心正方形？例 5、同学们参加跳绳比赛，若 4 人一组、8 人一组或 10 人一组进行分组练习，都正好分完而没有剩余，则参加跳绳比赛 的同学最少有多少人？练习：某校五年级（1）班学生的人数在 3050 之间，假期老师要分配学习小组，若 3 人一组、6 人一组或 8 人一组都恰好分完。 请你算一算， 这个班共有多少人？（用短除法，分解质因数到每两个都互 质，所有 质因数的积 就是这几个数的最小公倍数。 ）
