1、导数问题的六大热点导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值 1217 分下面例析导数的六大热点问题，供参考一、运算问题是指运用导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题例 1 已知 na,0为正整数.设 1)(,)( nnaxyaxy证 明 证明：因为nkCx0)(kn，所以 10()nkya nk0111()()nknaxa例
2、2 已知 y( x1) 2，用定义法求 y 求 y2 x23 x4 的导数 已知函数 f(x) 21a，且 f(1)2，求 a 的值分析：对于运用导数的定义，即 y 0limx，即可解决；对于可应用( uv) v u 以及 1()x解之；对于是逆向型的复合函数导数运算问题，用xxy及方程思想即可解决解析： y 0limx220 0(1)()li lim()x xxx2 x2 由法则，即得 y4 x3 234 ()fx 21(ax21)12ax，即 f(1) a(a1)122，解得 a2二、切线问题是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题特别是求切线的
3、斜率、倾斜角及切线方程问题，其中： 曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的斜率 k，倾斜角为 ，则 tan k 0()fx 其切线 l 的方程为： y y0 )(x x0)若曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)的切线平行于 y 轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为 x x0例 3 已知 a，函数 ),(,1)(xaf 设 a21，记曲线)(xfy在点 )(,1xfM处的切线为 l 求 l的方程； 设 与 轴交点为 )0,(2证明： ax102；若 1，则 ax121 解：求 )(f的导数： 2)(xf，由此得切线 l的方程：121xxay 证明：依题意，切线方程
4、中令 y0， axa2)()( 11112 ， 其 中. 由 axxa 1)(,2,0 2122 及有x12时 ，当 且 仅 当. xxaxx)(1 2112 ， 且 由 ， 因 此 ，时 ，当 ax21所 以例 4 设 0， cbxxf2)(，曲线 )(xfy在 )(,0xfP处切线的倾斜角的取值范围是 ,，则 P到曲线 )(fy对称轴距离的取值范围是（A） 1,a （B） 21,a （C） |2,0ab （D） |21|,ab解： ()fx2 ax b，故点 )(,0xf处切线斜率 k2 ax0 btan 0，1，于是点 P 到对称轴 x a的距离 d| x0( ba)| x 1,a，故选
5、(B)三、单调性问题一般地，设函数 y f(x)在某个区间内可导如果 f (x)0，则 f(x)为增函数；如果 f (x)0，则 f(x)为减函数单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：运用导数判断单调区间；证明单调性；已知单调性求参数；先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题例 5 设 a0， xeaf)(是 R 上的偶函数（I）求 a 的值；（II）证明 )(xf在（0，+）上是增函数。() 解：依题意,对一切 xR 有 fx=f-x，即xxaeea1，所以 0)1)(xea对一切 xR 成立由此得到 0，即 2又因为 ，所以 1()证明：由 xef)(得 )1()(2 xxeef
6、当 x0，+时，有 0， 2此时 )(f，所以 )(xf在0，+ 是增函数. 评注：对于第()问是证明函数的单调性，虽然可利用函数单调性定义直接证明，但对 f(x1) f(x2)的变形要求较高，技巧性强，且运算量大，是一种“巧法” ；而利用导数法，简捷明快，也成了“通法” 四、极值问题即运用导数解决极值问题一般地，当函数 f(x)在 x0处连续，判别 f(x0)为极大(小)值的方法是： 如果在 x0附近的左侧 ()fx0，右侧 ()f0，那么 f(x0)是极大值 如果在 x0附近的左侧 0，右侧 x0，那么 f(x0)是极小值例 6 函数 y13 x x3有( )(A) 极小值1，极大值 1(
7、B) 极小值2，极大值 3(C) 极小值2，极大值 2(D) 极小值1，极大值 3分析：本题是求已知三次函数的极值问题，考虑运用导数先确定函数的单调性，再求其极值解：由 y33 x20，得x1 或 x1当 x(，1)(1，)时， y0当 x(1，1)时， y0因此函数 y13 x x3在(，1)上单调递减，在(1，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即 x1 是极小值点， x1 是极大值点所以极小值为1，极大值为 3，故选(D)五、最值问题运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：若 f(x)在 a， b上连续，在( a， b)内可导，则 求 ，令 )fx0，求出在( a， b)内使导数为 0
8、的点及导数不存在的点 比较三类点：导数不存在的点，导数为 0 的点及区间端点的函数值，其中最大者便是 f(x)在 a， b上的最大值，最小者便是 f(x)在 a， b上的是小值例 7 求函数 f(x) x42 x25 在2，2上的最大值与最小值解： 4 x34 x，令 ()f0，解得 x11， x20， x31，均在(2，2)内计算 f(1)4， f(0)5， f(1)4， f(2)13， f(2)13通过比较，可见 f(x) 在2，2上的最大值为 13，最小值为 4六、应用问题例 8 用总长 14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长 0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识解：设容器底面短边长为 xm，则另一边长为 0.5x m，高为14.8.32由 3.20x和 ，得 0.6x，设容器的容积为 3ym，则有 .532xx01.6即 32.1.6yx，令 0，有 40x，即 215x，解得 1， 2415（不合题意，舍去）.当 x1 时， y 取得最大值，即 max6.8y，这时，高为 3.2.答：容器的高为 1.2m 时容积最大，最大容积为 31.
