概率习题答案5.doc

1、第五章 数理统计的基础知识5.1 数理统计的基本概念习题一已知总体 X 服从0,上的均匀分布( 未知), X1,X2,Xn 为 X 的样本，则().(A)1ni=1nXi-2 是一个统计量； (B)1ni=1nXi-E(X)是一个统计量；(C)X1+X2 是一个统计量； (D)1ni=1nXi2-D(X)是一个统计量.解答：应选(C).由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.习题 2观察一个连续型随机变量，抽到 100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm), 得到如下表中所列的数据. 按区间70,80),80,90),150,1

2、60), 将 100个数据分成 9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率), 并画出频率累积的直方图.解答：分组数据统计表组序号 1 2 3 4 5组限组中值组频率组频率%累计频率%70807533380908599129010095131325100110105161661110120115262667组序号 6 7 8 9组限组中值组频率组频率%累计频率%1201301252020871301401357794140150145449815016015522100频率直方图见图(a),累积频率直方图见图(b).习题 3测得 20个毛坯重量(单位：g),列成如下简表：毛坯重量 18518

3、7192195200202205206频数 11111211毛坯重量 207208210214215216218227频数 21112121将其按区间183.5,192.5),219.5,228.5)组，列出分组统计表，并画出频率直方图.解答：分组统计表见表组序号 12345组限组中值组频数组频率/%183.5,192.5192.5,201.5201.5,210.5210.5,219.5219.5,228.518819720621522432861151040305频率直方图见下图习题 4某地区抽样调查 200个居民户的月人均收入，得如下统计资料：月人均收入(百元) 5-66-77-88-99

4、-1010-1111-12 合计户数 18357624191414 200求样本容量 n,样本均值 X，样本方差 S2.解答：对于抽到的每个居民户调查均收入，可见 n=200. 这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料(频率分布), 我们首先计算各组的“组中值”，然后计算 X和 S2 的近似值：月人均收入(百元) 5-66-77-88-99-1010-1111-12 合计组中值 ak 5.56.57.58.59.510.511.5 -户数 fk 18357624191414 200X=1nkakfk=1200(5.518+11.514)=7.945,S21n-1k(ak-X)2fk=1n

5、-1kak2fk-X2=1199(5.5218+11.5214)-7.945266.0402-63.123025=2.917175.习题 5设总体 X 服从二项分布 B(10,3100),X1,X2,Xn 为来自总体的简单随机样本，X=1ni=1nXi 与 Sn2=1ni=1n(Xi-X)2分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求 E(X),E(S2).解答：由 XB(10,3100), 得E(X)=103100=310,D(X)=10310097100=2911000,所以E(X)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.习题 6设某商店 100天销售电视机

6、的情况有如下统计资料日售出台数 k 2 3 4 5 6 合计天数 fk 20 30 10 25 15 100求样本容量 n,经验分布函数 Fn(x).解答：(1)样本容量 n=100;(2)经验分布函数Fn(x)=0,xx=1-PX1x,X2x,Xnx=1-PX1xPX2xPXnx=1-1-PX1x1-PX2x1-PXnx=1-1-F(x)n,F1(x)=f1(x)=n1-F(x)n-1f(x).习题 8设总体 X 服从指数分布 e(),X1,X2 是容量为 2 的样本，求 X(1)，X(2)的概率密度.解答：f(x)=e-x,x00,其它, F(x)=1-e-x,x00,x0,X(2)的概率

7、密度为f(2)(x)=2F(x)f(x)=2e-x(1-e-x),x00,其它,又 X(1)的概率密度为f(1)(x)=21-F(x)f(x)=2e-2x,x00,其它.习题 9设电子元件的寿命时间 X(单位：h)服从参数 =0.0015 的指数分布，今独立测试 n=6 元件，记录它们的失效时间，求：(1)没有元件在 800h 之前失效的概率；(2)没有元件最后超过 3000h 的概率.解答：(1)总体 X 的概率密度 f(x)=(0.0015)e-0.0015x,x00,其它,分布函数 F(x)=1-e-0.0015x,x00,其它,没有元件在 800h 前失效=最小顺序统计量 X(1)80

8、0, 有PX(1)800=PX8006=1-F(800)6=exp(-0.00158006)=exp(-7.2)0.000747.(2)没有元件最后超过 3000h=最大顺序统计量 X(6)F1-a(n1,n2)=P1F1F1-a(n1,n2)由于 1FF(n2,n1), 所以P1F1F1-a(n1,n2)=P1FFa(n2,n1)=a,即 F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的.习题 2(1)2.设总体 XN(0,1),X1,X2,Xn 为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?(1)X1-X2X32+X42; 解答：因为 XiN(0,1),i=1,2,n, 所以

9、：X1-X2N(0,2), X1-X22N(0,1), X32+X422(2),故 X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422t(2).习题 2(2)2.设总体 XN(0,1),X1,X2,Xn 为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?(2)n-1X1X22+X32+Xn2;解答：因为 XiN(0,1),i=2nXi22(n-1), 所以n-1X1X22+X32+Xn2=X1i=2nXi2/(n-1)t(n-1).习题 2(3)2.设总体 XN(0,1),X1,X2,Xn 为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?(3)(n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2.解答：

10、因为i=13Xi22(3),i=4nXi22(n-3), 所以：(n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2=i=13Xi2/3i=4nXi2/(n-3)F(3,n-3).习题 3设 X1,X2,X3,X4 是取自正态总体 XN(0,22)的简单随机样本，且Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,则 a=?,b=?时，统计量 Y 服从 2 分布，其自由度是多少？解答：解法一 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,令 Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4), 则Y=Y12+Y22,为使 Y2(2), 必有 Y1N(0,1),Y2N(0,1), 因而E(Y1)=0

11、,D(Y1)=1, E(Y2)=0,D(Y2)=1,注意到 D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4, 由D(Y1)=Da(X1-2X2)=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2)=a(4+44)=20a=1,D(Y2)=Db(3X3-4X4)=bD(3X3-4X4)=b(9D(X3)+16D(X4)=b(49+164)=100b=1,分别得 a=120,b=1100. 这时 Y2(2), 自由度为 n=2.解法二 因 XiN(0,22)且相互独立，知X1-2X2=X1+(-2)X2N(0,20), 3X3-4X4=3X3+(-4)X4N(0,100),故 X1-2X220

12、N(0,1),3X3-4X4100N(0,1), 为使Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)22(2),必有 X1-2X21/aN(0,1),3X3-4X41/bN(0,1),与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是1a=20,1b=100, 即 a=120,b=1100.习题 4设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0,32). X1,X2,X9 和 Y1,Y2,Y9是分别取自总体 X 和 Y 的简单随机样本，试证统计量T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92服从自由度为 9 的 t 分布.解答：首先将 Xi,Yi 分别除以 3, 使之化为标准正态.令

13、Xi=Xi3,Yi=Yi3,i=1,2,9, 则XiN(0,1),YiN(0,1);再令 X=X1+X2+X9, 则 XN(0,9),X3N(0,1),Y2=Y12+Y22+Y92, Y22(9).因此T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=XY2=X/3Y2/9t(9),注意到 X,Y2 相互独立.习题 5设总体 XN(0,4), 而 X1,X2,X15 为取自该总体的样本，问随机变量Y=X12+X22+X1022(X112+X122+X152)服从什么分布？参数为多少？解答：因为 Xi2N(0,1), 故 Xi242(1),i=1,2,15,而

14、X1,X2,X15 独立，故X12+X22+X10242(10),X112+X122+X15242(5),所以X12+X22+X1024/10X112+X122+X1524/5=X12+X22+X1022(X112+X122+X152)=Y习题 6证明：若随机变量 X 服从 F(n1,n2)的分布，则(1)Y=1X 服从 F(n2,n1)分布；(2)并由此证明 F1-(n1,n2)=1F(n2,n1).解答：(1)因随机变量 X 服从 F(n1,n2), 故可设 X=U/n1V/n2, 其中 U 服从 2(n1),V 服从2(n2), 且 U 与 V 相互独立，设 1X=V/n2U/n1, 由

15、 F 分布之定义知Y=1x=V/n2U/n1,服从 F(n2,n1).(2)由上侧 分位数和定义知PXF1-(n1,n2)=1-,P1X1F1-(n1,n2)=1-,即 PY1F1-(n1,n2)=1-,1-PY1F1-(n1,n2)=1-, 故PY1F1-(n1,n2)=,而 PYF(n2,n1)=.又 Y 为连续型随机变量，故 PY1F1-(n1,n2)=, 从而F(n2,n1)=1F1-(n1,n2),即 F1-(n1,n2)=1F(n2,n1).习题 7查表求标准正态分布的上侧分位数：u0.4,u0.2,u0.1 与 u0.05.解答：u0.4=0.253, u0.2=0.8416,

16、u0.1=1.28,u0.05=1.65.习题 8查表求 2 分布的上侧分位数：0.952(5), 0.052(5), 0.992(10)与0.012(10).解答：1.145, 11.071, 2.558, 23.209.习题 9查表求 F 分布的上侧分位数：F0.95(4,6),F0.975(3,7)与 F0.99(5,5).解答：0.1623,0.0684,0.0912.习题 10查表求 t 分布的下侧分位数：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与 t0.005(10).解答：2.353,3.365,1.415,3.169.5.3 抽样分布习题 1已知离散型均匀总体 X,

17、其分布律为X 246pi 1/31/31/3取大小为 n=54 的样本，求：(1)样本平均数 X落于 4.1 到 4.4 之间的概率；(2)样本均值 X超过 4.5 的概率.解答：=E(X)=13(2+4+6)=4,2=E(X2)-E(X)2=13(22+42+66)-42=83,所以X=4, X2=2n=8/354=481, X=29.令 Z=X-42/9, 则 n 充分大时，Z近似 N(0,1).(1)P4.14.5=PZ4.5-42/9=1-PZ2.251-(2.25)=1-0.9878=0.0122.习题 2设总体 X 服从正态分布 N(10,32),X1,X2,X6 是它的一组样本，

18、设X=16i=16Xi.(1)写出 X所服从的分布；(2)求 X11 的概率.解答：(1)XN(10,326), 即 XN(10,32).(2)PX11=1-PX11=1-(11-1032)1-(0,8165)1-(0.82)=0.2061.习题 3设 X1,X2,Xn 是总体 X 的样本，X=1ni=1nXi, 分别按总体服从下列指定分布求E(X),D(X).(1)X 服从 0-1 分布 b(1,p); (2)*X 服从二项分布 b(m,p); (3)X 服从泊松分布 P(); (4)X 服从均匀分布 Ua,b;(5)X 服从指数分布 e().解答：(1)由题意，X 的分布律为：PX=k=P

19、k(1-P)1-k(k=0,1).E(X)=p,D(X)=p(1-p).所以E(X)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=1nnp=p,D(X)=D(1ni=1nXi)=1n2i=1nD(X1)=1n2np(1-p)=1np(1-p).(2)由题意，X 的分布律为：PX=k=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,m).同(1)可得E(X)=mp,D(X)=1nmp(1-p).(3)由题意，X 的分布律为：PX=k=kk!e-(0,k=0,1,2,).E(X)=,D(X)=.同(1)可得E(X)=,D(X)=1n.(4)由 E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212, 同(

20、1)可得E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212n.(5)由 E(X)=1,D(X)=12, 同(1)可得D(X)=1,D(X)=1n2.习题 4某厂生产的搅拌机平均寿命为 5年，标准差为 1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：（1）容量为 9的随机样本平均寿命落在 4.4年和 5.2年之间的概率；（2）容量为 9的随机样本平均寿命小于 6年的概率。解答：（1）由题意知 XN(5,1n),n=9，则标准化变量Z=X-51/9=X-51/3N(0,1).而 P4.41.解答：XN(0,1616)，YN(1,925)，X-YN(-1,1+925)，即X-YN(-1,3425)标准化

21、变量 X-Y，令 Z=X-Y34/5N(0,1)，所以PX-Y1=1-PX-Y1=1-P-1X-Y1=1-P0X-Y+134/5234/51-(1.715)+(0)=1-0.9569+0.5=0.5431习题 6假设总体 X 服从正态分布 N(20,32), 样本 X1,X25 来自总体 X, 计算Pi=116Xi-i=1725Xi182.解答：令 Y1=i=116Xi,Y2=i=1725Xi, 由于 X1,X25 相互独立同正态分布 N(20,32),因此有 Y1 与 Y2 相互独立，且 Y1N(320,122), Y2N(180,92),Y1-Y2N(140,152),Pi=116Xi-i

22、=1725Xi182=PY1-Y2182,=PY1-Y2-140152.8(2.8)=0.997.习题 7从一正态总体中抽取容量为 n=16 的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于 2的概率为 0.01, 试求总体的标准差.解答：设总体 XN(,2), 样本均值为 X,则有X-/n=X-/4N(0,1).因为PX-2=PX-/48=2PZ8=21-(8)=0.01,所以 (8)=0.995.查标准正态分布表，得 8=2.575, 从而 =82.575=3.11.习题 8设在总体 N(,2)中抽取一容量为 16 的样本，这里 ,2 均为未知.(1)求 PS2/22.041, 其中 S2

23、为样本方差； (2)求 D(S2).解答：(1)因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知(n-1)S222(n-1).这里 n=16, 于是PS2/22.041=P(15S22152.041)=1-P15S2230.615(查 2 分布表可得)=1-0.01=0.99.(2)因为(n-1)S222(n-1), 又知D(n-1)S22)=2(n-1),所以D(S2)=4(n-1)2D(n-1)S22)=4(n-1)22(n-1)=2n-14=2154(因为 n=16).习题 9设总体 XN(,16),X1,X2,X10 为取自该总体的样本，已知 PS2a=0.1, 求常数a.解答：因为(n

24、-1)S222(n-1),n=10,=4, 所以PS2a=P9S216916a=0.1.查自由度为 9 的 2 分布表得，916a=14.684, 所以 a26.105.习题 10设 X1,X2,Xn 和 Y1,Y2,Yn 分别取自正态总体XN(1,2)和 YN(2,2)且相互独立，问以下统计量服从什么分布？(1)(n-1)(S12+S22)2; (2)n(X-Y)-(2-2)2S12+S22.解答：(1)由(n-1)S1222(n-1), (n-1)S2222(n-1), 由 2(n)的可加性(n-1)(S12+S22)2(2(n-1).(2)X-YN(1-2,22n), 标准化后(X-Y)

25、-(1-2)2nN(0,1), 故有(X-Y)-(1-2)222n2(1),又由(n-1)(S12+S22)22(2n-2), 注意 F 分布定义(X-Y)-(1-2)21n22/1(n-1)(S12+S22)2/2(n-1)=n(X-Y)-(1-2)2S1习题 11分别从方差为 20 和 35 的正态总体中抽取容量为 8和 10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率.解答：用 S12 和 S22 分别表示两个样本方差，由定理知F=S12/12S22/22=S12/20S22/35=1.75S12S22F(8-1,10-1)=F(7,9).又设事件 A=S122S22,

26、下面求 PS122S22, 因PS122S22=PS12S222=PS12/20S22/3523520=PF3.5.查 F 分布表得到自由度为 n1=7,n2=9 的 F 分布上 分布点 F(n1=7,n2=9)有如下数值：F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20,因而 F0.05(7,9)=3.2900,x0( 未知),样本 X1,X2,Xn 是 n 件某种电器的使用寿命，抽到的 n 件电器的使用寿命是样本的一组观察值.样本 X1,X2,Xn 相互独立，来自同一总体 X, 所以样本的联合密度为f(x1,x2,xn)=ne-(x1+x2+xn),x1,x2,xn00,其

27、它.习题 3设总体 X 在区间a,b上服从均匀分布，求：(1)来自 X 的简单随机样本 X1,X2,Xn 的密度 f(x1,x2,xn);(2)Y=maxX1,X2,Xn的密度 fY(x);Z=minX1,X2,Xn的密度 fZ(x).解答：(1)X 的密度为 f(x)=1b-a,x (a,b)0,其它, 由于 X1,X2,Xn 独立且与 X 同分布，所以有f(x1,x2,xn)= i=1nf(xi)=1(b-a)n,ax1xnb0,其它 .(2)由题设 X 在 a,b上服从均匀分布，其分布函数为F(x)=0,xb,由 Y=maxX1,X2,Xn及 Z=minX1,X2,Xn分布函数的定义FY

28、(x)=F(x)n, FZ(x)=1-1-F(x)n,于是有fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,xa,b,fZ(x)=n1-Fn-1(x)n-1f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,xa,b.习题 4在天平上重复称一重量为 a 的物品，假设各次称量的结果相互独立，且服从正态分布N(a,0.2). 若以 X表示 n 次称量结果的算术平均值，求使 PX-a0.3.解答：因为 X1,X2,X10 和 Y1,Y2,Y15 独立同分布，所以XN(20,310), YN(20,0.2),于是 X-YN(0,0.5).PX-Y0.3=PX-Y/0.50.3/0.5=1-

29、PX-Y/0.50.3/0.5=21-(0.3/0.5)=21-0.6628=0.6744(查正态分布表).习题 6设总体 XN(,2), 假如要以 0.9606 的概率保证偏差X-)=PX1-X22/nn2=2(-n2)=21-(n2)0.975, 查正态分布表 n21.96, 所以 n7.68, 即取 n=8.习题 8设总体 Xf(x)=x,x0.02.解答：=E(X)=-11xxdx=0,2=D(X)=E(X2)-E(X)2=E(X2)=-11x2xdx=12.(1) X=1ni=1nXi(n=50)E(X)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=0,D(X)=2n=12n=1

30、100;(2) E(S2)=1n-1i=1n(Xi-X)2=1n-1Ei=1n(Xi-X)2=1n-1E(i=1nXi2-nX2)=1n-1(i=1nD(X1)-nD(X)=1n-1(n12-n12n)=12;(3) PX0.02=1-PX0.02=1-PX-D(X)0.02-D(X)=1-PX1/100.2=21-(0.2)=0.8414.习题 9从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以上的概率为 0.02, 求总体的标准差.解答：由于 XN(,2n), 故有0.02=PX-4=PX-/n4/n2(1-(4/n)2(1-(12.65),(12.65)

31、=0.99,即有 12.65=u0.01=2.33, 解得 5.43.习题 10设 X1,Xn 是取自总体 X 的样本，X,S2 分别为样本均值与样本方差，假定 =E(X),2=D(X)均存在，试求 E(X),D(X),E(S2).解答：E(X)=1ni=1nE(Xi)=1ni=1nE(X)=,D(X)=1n2i=1nD(Xi)=1n2i=1nD(X)=2n,E(S2)=E(1n-1(i=1nXi2-nX2)=1n-1(i=1nE(Xi2)-nE(X2)=1n-1(i=1nE(X2)-nE(X2)=1n-1(i=1n(2+2)-n(2+(2n)=2.注：本题证明了对于任何存在均值 与方差 2

32、的总体分布，均有E(X)=,E(S2)=2.习题 11设总体 X 服从正态分布 N(,2)(0), 从总体中抽取简单随机样本X1,X2n(n2), 其样本均值为 X=12ni=12nXi, 求统计量 Y=i=1n(Xi+Xn+i-2X)2 的数学期望.解答：注意到 Xi+Xn+i 相互独立，同分布 N(2,22), 则它们可认为是取自同一正态总体N(2,22)的样本，其样本均值为1ni=1n(Xi+Xn+i)=1ni=12nXi=2X.如果记 Zi=Xi+Xn+i,i=1,n, 即 Zi(i=1,n)是取自 N(2,22)的样本，且Yn-1=1n-1i=1n(Xi+Xn+i-2X)2=S2(Z

33、),则有 E(S2(Z)=1n-1E(Y)=22, 所以 E(Y)=2(n-1)2.习题 12设有 k 个正态总体 XiN(i,2), 从第 i 个总体中抽取容量为 ni 的样本Xi1,Xi2,Xini, 且各组样本间相互独立，记Xi=1nj=1niXij(i=1,2,k),n=n1+n2+nk,求 W=12i=1kj=1ni(Xij-Xi)2 的分布.解答：因为j=1ni(Xij-Xi)22=(ni-1)Si222(ni-1), 且(ni-1)Si22(i=1,2,k)相互独立，故W=12i=1kj=1ni(Xij-Xi)2=i=1k(ni-1)Si222(i=1k(ni-1),而i=1k(

34、ni-1)=i=1kni-k=n-k, 故W=12i=1kj=1ni(Xij-Xi)22(n-k).习题 13已知 Xt(n), 求证 X2F(1,n).解答：设 X=U/Yn, 其中 UN(0,1),Y2(n). 且 U 与 Y 相互独立，于是，U22(1),且 U2 与 Y 也相互独立，所以X2=U2/(Yn).根据 F 变量的构成模式知，X2 应服从 F(1,n)分布.习题 14设 X1,X2,X9 是取自正态总体 XN(,2)的样本，且Y1=16(X1+X2+X6), Y2=13(X7+X8+X9),S2=12i=79(Xi-Y2)2,求证 Z=2(Y1-Y2)St(2).解答：易知Y

35、1=16(X1+X2+X6)N(,26),Y2=13(X7+X8+X9)N(,23),且 Y1 与 Y2 独立，故 Y1-Y2N(0,22), 又2S22=i=79(Xi-Y2)2/22(2), Y1-Y2 与 2S22独立，从而(Y1-Y2)/22S22/2=2(Y1-Y2)S=Zt(2).习题 15设 X1,Xn,Xn+1 是取自正态总体 XN(,2)的样本，Xn=1ni=1nXi, Sn=1n-1i=1n(Xi-Xn)2,试确定统计量 nn+1Xn+1-XnSn 的分布.解答：将统计量改写成下列形式：nn+1Xn+1-XnSn=(Xn+1-Xn)/1+1n(n-1)Sn22/(n-1)

36、(*)由于 Xn+1 与 Xi(i=1,n)相互独立，Xn=1ni=1nXiN(,2n), Xn+1N(,2),所以 Xn+1-XnN(0,(1+1n)2), 从而(Xn+1-Xn)/(1+1n)N(0,1),注意到 Xn与 Sn2 相互独立，Xn+1 也与 Sn2 相互独立，且(n-1)Sn222(n-1),故由(*)式即得nn+1Xn+1-XnSnt(n-1).习题 16假设 X1,X2,X9 是来自总体 XN(0,22)的简单随机样本，求系数 a,b,c, 使Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2服从 2 分布，并求其自由度.解答：由于 X1,X

37、2,X9 相互独立且取自总体 XN(0,22), 由正态分布的线性运算性质有X1+X2N(0,8), X3+X4+X5N(0,12), X6+X7+X8+X9N(0,16),于是，由 2=12+k2 有Q=(X1+X2)28+(X3+X4+X5)212+(X6+X7+X8+X9)2162(3),故 a=1/8,b=1/12,c=1/16, 自由度为 3.习题 17(1)17.从总体 XN(,2)中抽取容量为 16的样本. 在下列情况下分别求 X与 之差的绝对值小于 2的概率：(1)已知 2=25;解答：由 =5,U 统计量(X-)/nN(0,1),PX-1.44; 解答：由i=1n(Xi-)2

38、22(n)题中 =0, 因此Pi=110Xi21.44=Pi=110Xi2(0.3)21.44(0.3)2=P2(10)16=0.1.习题 19(1)设总体 X 具有方差 12=400, 总体 Y 具有方差 22=900, 两总体的均值相等，分别自这两个总体取容量为 400的样本，设两样本独立，分别记样本均值为 X,Y, 试利用切比雪夫不等式估计 k, 使得 PX-Yk0.99.(2)设在(1)中总体 X 和 Y 均为正态变量，求 k.解答：(1)由题设E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,D(X-Y)=D(X)+D(Y)=400400+900400=134(由两样本的独立性).由切比雪夫不等

39、式PX-Yk1-1k2134,按题意应有 1-1k2134=0.99, 解得 k=18.028.(2)由题设 X,Y 均为正态变量，故有X-YN(0,134).因此PX-Yk=PX-Y13/4k13/4=P-k13/4X-Y13/4k13/4=(k13/4)-(-k13/4)=2(k13/4)-1,要使 2(k13/4)-10.99, 即(k13/4)0.995=(2.58),k13/42.58,k4.651.习题 20假设随机变量 F 服从分布 F(5,10), 求 的值使其满足 PF=0.95.解答：一般书中给出的 F 分布表，给出 PF= 的 值只有 =0.01,=0.05 等几个较小的值，而现 =0.95, 不能直接查 F 表得到 , 但是注意到 PF=0.95, 并且PF=PF-1-1=0.05,而 F-1F(10,5), 因此可查表得1=F0.05(10,5)=4.74, 0.21.习题 21设 X1,X2,Xn 是总体 XN(,2)的一个样本，证明：Ei=1n(Xi-X)22=(n2-1)4.解答：因为2=i=1n(Xi-X)2/22(n-1),E(2)=n-1, D(2)=2(n-1),所以Ei=1n(Xi-X)22=4Ei=1n(Xi-X)2/22=4E22=4D(2)+E(2)2=42(n-1)+(n-1)2=(n2-1)4.