1、概率论与数理统计习题及题解沈志军 盛子宁第一章 概率论的基本概念1设事件 及 的概率分别为 及 ，试求 及BA,qp,r)(,),(BAP)(P2若 相互独立，试证明： 亦必相互独立。C, CBA,3试验 为掷 2 颗骰子观察出现的点数。每种结果以 记之，其中 分别表示E ),(21x21,x第一颗、第二颗骰子的点数。设事件 ，0|),(21xA事件 。试求 和|),(2121xxB|BP|4某人有 5 把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果 5 把里有 2 把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5设有甲、乙两
2、袋，甲袋中装有 个白球、 个红球，乙袋中装有 个白球、nmN个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的M概率是多少？6在时间间隔 5 分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于 30 秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是 1 小时和 2 小时。试求一船要等待空出码头的概率？8某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为 0.15。试求下
3、列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9设 为两随机变量，试求解下列问题：BA,（1） 已知 。求： ；6/1)|(,3/1)(BAPP)|(BAP（2） 已知 。求： 。2/|,/|,4/ 10先把长为 的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得l三部分能成三角形的概率？11甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是 。又若只有一人命4.0中时，飞机坠毁的概率为 ；若恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为 ；若三人同时2.0 6命中，则飞机必然坠毁。试求：（1）飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因为恰有二
4、人命中的概率？12今有门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为 。 （）同.0时各射一弹，试求飞机被击中的概率；（）欲以 以上的把握击中飞机，试问至少要9布置多少门炮同时射击？13某工厂有职工 名，每名职工生日在一年中某一天的概率为 ，试求下475 365/1列事件的概率：（）恰有名职工生日在同一天 ；（）至少有名职工生日在同)(A一天（ ）？B14假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为 ，且各发动机故障与否p1是相互独立的。如果至少有 的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的 ，%50 p个发动机比个发动机更为保险？15设事件 满足：CBA, 0)()(,8/1)(,4/
5、1)()( BCPACPP试求 三事件至少有一发生的概率？,16某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为 ，乙市%12全年雨天比例为，甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为 ，试求下列事件的概8.16率：（）甲、乙两市同为雨天；（）在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；（）在乙市无雨的条件下甲市亦无雨？17某地以英文字母及阿拉伯数字组成位牌照。试求下列事件的概率：（）牌照的前位是英文字母、后位是阿拉伯数字（ ） ；（）牌照中有位是英文字母、另A外位是阿拉伯数字（ ）？B18甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为 ，乙胜6.0的概率为 ，比赛既可采用三局两胜制，也
6、可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲4.0更有利？19平面上画有平行线若干、其间距交替地等于 厘米及 8 厘米。今任意地向平面5.1投掷一半径为 厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率？5.220甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候 10 分钟，过时即可离去。试求他们能会到面的概率？21平面上画有距离为 的平行线若干条。今向此平面任意投一长为)0(a的小针。试求小针与平行线之一相交的概率？)(al22若 相互独立，则（1） 独立；（2） 独立；（3） 独立。BA, BA,BA,BA,23当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正面数刚好是三个的条件概率？24掷三颗骰子，若
7、已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率？25设事件 的概率分别为 和 ，试求下列三种情况下 的值：BA,312)(BAP（1） 与 互斥；（2） ；（3）81)(ABP26将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为 1，2，3 的概率？27袋中有 12 个球，其中 8 个白球，4 个黑球，现从中任取两个，求：（1）两个均为白球的概率？（2）两个球中一个是白的，另一个是黑球的概率？（3）至少有一个黑球的概率？28将 10 本书随意放在书架上，求：其中指定的 5 本书放在一起的概率？29甲、乙二班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班有 30 名同学，而
8、女生 15名，求：在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率？30设一仓库中有 10 箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有 5 箱、3 箱、2 箱，三厂产品的次品率依次为 0.1,0.2,0.3，从这 10 箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求：取得正品的概率？31某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一型号的螺钉，各车间的产量分别占该厂螺钉产品的 25%，35%，40%，各车间成品中次品分别为各车间产量的 5%，4%，2%，今从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品，问它是甲、乙、丙三个车间生产的概率是多少？32有产品 100 件，其中 10 件次品，90 件正品。现从中任取
9、3 件，求：其中至少有一件次品的概率？33100 人参加数理化考试，其结果是：数学 10 人不及格，物理 9 人不及格，化学 8人不及格，数学、物理两科都不及格的有 5 人，数学、化学两科都不及格的有 4 人，物理、化学两科都不及格的有 4 人，三科都不及格的有 2 人。问全部及格的有多少人？34两台机器加工同样的零件，第一台机器的产品次品率是 0.05，第二台机器的产品次品率是 0.02。两台机器加工出来的零件放在一起，并且已知第一台机器加工的零件数量是第二台机器加工出来的零件数量的两倍。从这些零件中任取一件，求：此零件是合格品的概率？如果任意取出一件，经检验是次品，求：它是由第二台机器生产
10、的概率？35有枪 8 支，其中 5 支经过试射校正，3 支未经过试射校正。校正过的枪，击中靶的概率是 0.8；未经校正的枪，击中靶的概率是 0.3。今任取一支枪射击，结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？36某射手射击一发子弹命中 10 环的概率为 0.7，命中 9 环的概率为 0.3。求：该射手射击三发子弹而得到不小于 29 环成绩的概率？37设 ，试求： 及5.0)(,1.)(,BPAB ),(),BAP)()(AP38已知 ，求：3.)(,7.0)()(39某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是 ，如果在比赛中他试举三p次，求：他打破世界纪录的概率？40工厂生产的某种产品的一级
11、品率是 40%，问需要取多少件产品，才能使其中至少有一件一级品的概率不小于 95%？41假设每个人的生日在任何月份内是等可能的，已知某单位中至少有一个人的生日在一月份的概率不小于 0.96，问该单位有多少人？42从 5 双不同尺码的鞋子中任取 4 只，问 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？43仪器中有三个元件，它们损坏的概率是 0.1，并且损坏与否相互独立。当一个元件损坏时，仪器发生故障的概率是 0.25；当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.6；当三个元件损坏时，仪器发生故障的概率是 0.95；当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障。求：仪器发生故障的概率？44在套圈游戏中，甲、
12、乙、丙每投一次套中的概率分别是 0.1,0.2,0.3，已知三个人中某一个人投圈 4 次而套中一次，问此投圈者是谁的可能性最大？45在 40 个同规格的零件中误混入 8 个次品，必须逐个查出，求：正好查完 22 个零件时，挑全了 8 个次品的概率？46设事件 与 相互独立，两事件中只有 发生及只有 发生的概率都是 ，求ABAB41与)(P第二章 随机变量及其分布1一大楼装有 5 个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻 每个设备被使用的概率t为 ，问在同一时刻：（1）恰有 2 个设备被使用的概率？（2）至少有 3 个设备被使用.0的概率？（3）至多有 3 个设备被使用的概率？2设有一批产品共 1
13、00 件，其中有 95 件正品，5 件次品。现从中随机地抽取 10 件，试以观察抽得的次品数为随机变量，写出其分布律，并求次品数 不超过 3 的概率？X3设 的分布律为XX 0 1 2p 0.3 0.6 0.1求 的分布函数？4设随机变量 的分布函数为 。试求：)(,arctn)( xBAxF（1）系数 ；（2） 落在（-1 ，1）内的概率？（3 ） 的概率密度？BA,XX5设随机变量 服从 的指数分布，试求：（1） ；05. 10P（2）若要 ，则 应在什么范围内？.xPx6设随机变量 的概率密度为 ，求 的分布函数？X其 它0112)(2xxfX7设随机变量 的概率密度为： 求 的分布函数
14、？X其 它0212)(xxf X8设连续型随机变量 的分布函数为 10)(2xkxF试求：（1）系数 ；（2） 的概率密度；（3） 。kX30XP9设随机变量 的分布函数为 5102)(xxF试求：（1） 的概率密度；（2） 落在（3，6）内的概率？XX10随机变量 的概率密度为 ),(,)(| xkexfx试求：（1）系数 ；（2） ；（3） 的分布函数？k10P11某种电子管的使用寿命 （单位：小时）的概率密度为X10)(2xxf设某仪器内装有三个这样的电子管。试求：（1）试用的最初 150 小时内没有 1 个电子管损坏的概率；（2）这段时间内只有 1 个电子管损坏的概率？12设随机变量
15、的分布律为XX -1 0 1 2 3p 1/12 1/4 1/6 1/12 5/12试求：（1） 的分布律；（2） 的分布律？1Y)(XY13设 的概率密度为 ，求 的概率密度？X其 它02)(xxf XYsin14设随机变量 在（0，1）上服从均匀分布，试求：（1） 的概率密度；Xe（2） 的概率密度？XYln15设随机变量 在区间 上服从均匀分布。求随机变量 的概率2,Ycos密度？16设随机变量 。试求： 的概率密度？)1,0(NX|)2(;)(XYeX17设随机变量 。试求： 的概率密度？),(1218设电流 是一个随机变量，它均匀分布在 911 安之间。若此电流通过 2 欧的电I阻，
16、试求功率 的概率密度？2W19设随机变量 的概率密度为 ，求 的概率密度；若随机变量 服从X)(xf3XYX参数为 的指数分布，求 的概率密度？3Y20某种商品一周内的需要量 是一个随机变量，其概率密度为，设各周的需要量是相互独立的，求：（1）两周；（2）三周的需0)(xexf要量的概率密度？21设 是一个随机变量，在（-1 ，1）上服从均匀分布，求 的概率密度？X |XY22设 求：（1） ；（2）使 的？),45(N3|XPcP注： 9.0)4(,987.0)(,97.0)(,83.0,.)0( 23同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数。记 为两颗骰子出现的最大点数，试求的分布律？X24某批
17、产品的次品率为 1/4，现对这批产品进行测试，以 表示首次测得正品的测X试次数，求 的分布律？25设连续型随机变量 的概率密度为X其 它01)()2xxcf试求：（1）常数 ；（2） ；（3） 的分布函数？5.PX26电话总机在 1 小时内平均接到 60 次呼唤，试问在 30 秒内 1 次呼唤也没有接到的概率有多大？27对某一目标进行射击，直到击中时为止。若每次射击的命中率为 ，试求射击次p数的分布律？28设盒中有 5 个球，其中 3 个黑球、2 个白球，从中随机抽取 3 个球，求：“抽得白球个数” 的概率分布？X29某射手每次射击打中目标的概率都是 ，现在他连续射击 30 次，求：他至少打8
18、.0中两次的概率？30某射手每次打中目标的概率都是 ，现在他连续向一个目标射击，直到第一次.击中目标为止。求：他射击次数不超过 5 次就能把目标击中的概率？31设随机变量 的概率分布为X ),321(,iCiXP试求：（1）常数 （2） 。;C4132已知随机变量 的分布律为X),210(,21kXP试求： 的分布律？)cos(Y33设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的泊松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月此种商品不脱销的概率为 ？9.034设随机变量 服从参数为 的二项分布，问当 为何值时能使 最大？Xpn, kkXP35同时投掷两颗骰子，直到至少有一颗骰子出现
19、六点为止，试求：投掷次数 的分X布？36一台仪器在 10000 个工作小时内平均发生 10 次故障，试求：在 100 个工作小时内故障不多于两次的概率？37设随机变量 的概率密度函数为X10)(2xAxp试求：（1）系数 ；（2） 落在 的概率；（3） 的分布函数。X),(X38设随机变量 的分布函数为210sin)(xAxF试求：常数 及 。6XP39设随机变量 服从正态分布 ，为使 ，问),160(2N80.210XP允许 的最大值是多少？40设测量两地间的距离时带有随机误差 ，其概率密度函数为X)(,2401)(30)2( xexpx试求：（1）测量误差的绝对值不超过 30 的概率；（2
20、）接连测量三次，每次测量相互独立进行，求至少有一次误差不超过 30 的概率。41设随机变量 分别服从 与 区间上的均匀分布，试求：X,0的概率密度函数。Ysin42已知随机变量 只取-1， 0，1，2 四个数值，其相应的概率依次是：，试求：常数C6,8543,2143设连续型随机变量 的分布函数为X)0(,1arcsin0)( axBAxF试求：（1）常数 ；（2）随机变量 落在 内的概率；（3） 的概率密度,X2, X函数。44将三封信逐封随机地投入编号分别为 1，2，3，4 的四个空邮筒，设随机变量表示 “不空邮筒中的最小号码” （例如， “ ”表示第 1，2 号邮筒中未投入信，而XX第
21、3 号邮筒中至少投入了一封信） ，试求：（1）随机变量 的分布律；（2） 的分布函X数 。)(xF45设随机变量 的概率密度函数为Xxxp0,)1(2)试证明：随机变量 与 服从同一分布。XY46轰炸机共带三颗炸弹去轰炸敌方铁路。如果炸弹落在铁路两旁 40 米内，就可以使铁路交通遭到破坏，已知在一定投弹准确度下炸弹落点与铁路距离 的概率密度为X1001)(xxxp如果三颗炸弹全部投下去，问敌方铁路被破坏的概率是多少？47设随机变量 服从标准正态分布， ，试求： 的概率密度函数。XXY21Y第三章 多维随机变量及其分布1袋中装有四个球，分别编号为 1，2，2，3，现不放回地任取两次，每次抽取一个
22、球，以 分别记第一次和第二次所取球的编号，求 的分布律？YX, ),(YX2设二维连续型随机变量 的概率密度为),(YX其 它010,2),( yxkyxf求：（1）常数 的值；（2） 2YP3将一硬币连掷三次，以 表示三次中出现正面的次数， 表示在三次中出现正面XY的次数与出现反面的次数的差的绝对值，试求二维随机变量 的分布律？),(X4已知二维随机变量的联合概率密度为 其 它00,),()32(yxAeyxfy试求：（1）常数 的值；（2） ；（3） 的分布函数？2,1YXP),(YX5设 在矩形区域 内服从均匀分布。求 的概率密度与),(YX0,yx ),(分布函数？6设 的概率密度为)
23、,(YX其 它01,(2yxcyxf求：（1）常数 ；（2）cYP7设 在由 轴、 轴及直线 所围成的三角形区域上服从均匀分布。),(YXxy2yx求 关于 及关于 的边缘概率密度？,8设 的概率密度为),(YX其 它0,1, xyxAyxf求：（1）常数 ；（2）关于 及关于 的边缘概率密度？XY9设 的联合分布律如表所示：),(YX0 10 056 0241 014 006判断 与 是否相互独立？XY10一电子器件包含两个部分，分别以 ， 记这两部分的寿命（单位：小时） ，设XY的分布函数为),(其 它00,1),( )(01.10 yxeeyxFyyx问：（1） 与 是否相互独立？（2）
24、求XY2,YXP11设二维随机变量 的概率密度为),(其 它0)1(20,6),( xyxyxf问：（1） 与 是否相互独立？（2）求XYYXP12设 和 是两个相互独立的随机变量， 在 上服从均匀分布， 的概率)2.0,(Y密度为 ，求：（1） 的联合概率密度；（2）05)(yeyfY ),(YXXP13设 在三角形区域 上服从均匀分布。),(X1,0:yxxD求 的概率密度？YZ14对某种电子装置的输出测量 5 次，设观察值 是相互独立且服从)5,4321(iX同一分布，其概率密度为 ),(,04)(82ixexfxXi求： ,max54321P15设 是相互独立的随机变量，其分布律分别为
25、YX, .,210),(.,210)( jqjYPkp证明随机变量 的分布律为Zil ijpZ0 .),10(),16在一简单电路中，两电阻 和 串联联接。设 和 相互独立，它们的概率1R21R2密度分别为 其 它其 它 005)(,0051)( 21 yyfxxf RR求总电阻 的概率密度？2117设 的概率密度为),(YX其 它0)1(2,1),( xyxyxf求 的概率密度？Z18设随机变量 相互独立， 在（0，1）上服从均匀分布， 在（0，2）上服,XY从均匀分布。求 和 的概率密度？)max(1Y),in(2YZ19将三个球随机地放入三个盒子内，每个球可放入任一盒子中，记 分别为放Y
26、X,入第一个、第二个盒子中球的个数，求二维随机变量 的分布律？),(YX20设随机变量 的概率密度为),(YX其 它020,13),(2yxyxyf求：（1） ；（2） 的分布函数；（3） 关于 及关于 的边YXP),(YX),(YXY缘概率密度；（4）判断 与 是否相互独立？21设 的概率密度为),( 其 它01,|1),(xyxf求： 关于 及关于 的边缘概率密度？,YXY22设 ， 是相互独立的随机变量，分别服从参数为 的泊松分布，21,证明： 服从参数为 的泊松分布。YZ2123设 表示平面上的区域，它是由抛物线 和直线 所夹的区域。G2xyxy),(YX服从 上的均匀分布，求联合概率
27、密度与边缘概率密度，并问 与 是否相互独立？XY24离散型随机变量 的概率分布如下表所示，试求边缘分布，并问 与 是),(YX Y否相互独立？0 1 2 3 4 5 6XY0 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004 1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.013 0.008 3 0 0 0 0.001 0.002 0.004 0.011 25设随机变量 为连续型的，其联合概率密度为),(YX其 他0,2),( xyxyxkyf试求：（1）常数 ；（2）边缘密度
28、函数；（3）问 与 是否相互独立？XY26设 与 是两个相互独立的随机变量， 服从0 ，2上均匀分布， 服从参数为XY Y2 的指数分布，试求 P27设 与 是两个相互独立的随机变量， 服从0 ，1上均匀分布， 服从参数为X1 的指数分布，试求 的概率密度函数。YZ28设二维随机变量 的联合概率密度为),(X)25)(16(),(2yxAyxf 试求：（1）常数 ；（2） 的联合分布函数。,Y29设随机变量 与 是相互独立，都服从标准正态分布 ，试求X)1,0(N3YP30设二维随机变量 的联合概率密度为),(Y其 他010,),(32yxyCxf试求：（1）常数 ；（2）证明 与 相互独立。
29、XY31箱子里装有 件正品和 件次品，依次从箱子中任取一件，取两次，每次取后不ab放回。随机变量 与 如下定义：XY品如 果 第 一 次 取 出 的 是 正 品如 果 第 一 次 取 出 的 是 次01品如 果 第 二 次 取 出 的 是 正 品如 果 第 二 次 取 出 的 是 次Y试写出随机变量 的联合分布律，边缘分布律，并问 与 是否相互独立？),(XXY32随机地掷两颗骰子，设 表示第一颗骰子出现的点数， 表示这两颗骰子出现点数的最大值。试写出二维随机变量 的联合分布， 的边缘分布？),(YX33袋中有 个球，其中 个红球， 个白球， 个黑球 。每次从袋Nabc)(Ncba中任取一球，
30、共取 次。设 分别表示取出的 个球中红球与白球的个数，试求下列两nY,n种情况下 的联合分布：),(YX（1） 每次取出的球仍放回去（有放回抽样） ；（2） 每次取出的球不放回去（无放回抽样） 。34已知随机变量 的联合分布律为),(Y ),10(),21,0(,)!(86.14.7, mnmnenYmXPn 试求边缘分布。35设二维随机变量 的联合概率密度函数为 ，求 的概率密度函),(YX),(yxfYXZ数？36设二维随机变量 的联合概率密度函数为 ，求 的概率密度),( ),(yxf函数？37设随机变量 与 相互独立，并且概率密度函数分别为XY)0(,21)(,21)( aeyfeax
31、f yYx试求 的概率密度函数？Z38随机变量 与 相互独立，且 ，1X2 ),(),(2211 NXX试证明： ),(221NZ39设随机变量 与 相互独立，都服从0 ，1上的均匀分布，求 的分Y YZ布？40设随机变量 与 相互独立，都服从 上的均匀分布，求 的概率X,aX密度函数？41设随机变量 与 相互独立，都服从参数为 1 的指数分布，求 的概率密Y YZ度函数？42若随机变量 只取一个值，试证明： 与任何随机变量 都相互独立。XX第四章 数字特征、大数定律和中心极限定理1设随机变量的概率密度为 2|0|cos)(2xAxf求：（1）常数 ；（2）A)(XD2设随机变量 的概率密度为
32、 其 它0212)(xxf求 及)(XD3设 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为Y,其 它其 它 0)(,012)( yeyfxxf YX求： (YD4已知随机变量 的数学期望与方差分别为 和 ，令X)(XE)0(,XD，求)(DEXY)(,Y5已知 ，求1)(,2)(,0)(,3)(,1)(2 XYEEX )(YD6证明： 的充要条件是 为常数。0)(DCP,17设 在圆域 内服从均匀分布，求 ，并判断 是否),(YX12yx ),cov(YXY,相互独立？8设二维随机变量 的分布律为),(YXY-1 0 1-1 818180 011验证： 和 不相关，但 和 不是相互独立的XYXY
33、9设二维随机变量 的概率密度为),(其 它01,|1, xyxf求 ，并判断 是否相互独立？),cov(YXY,10设二维随机变量 在平面区域 上服从均匀分布，),(YX1,0:yxxG求 XY),cov(11设 相互独立，且在（0，1）上服从均匀分布，试利用中心极限),2(i定理计算 的近似值？106iiXP（注： ）932.0)51(,9032.)1(,8630.)1(,843.)( 12把三个球随机地放入三个盒子中去，每个球可投入任一盒子中，记 为空盒子的X个数，求 )(,XDE13设随机变量 的分布律为 ，其中),21(,kpqkXP是常数，则称 服从参数为 的几何分布，求pq1,0
34、)(,XDE14一本书 500 页中有 100 个印刷错误，设每页错误个数服从泊松分布：（1）随机地取一页，求这一页上错误不少于 2 个的概率？（2）随机地取 4 页，求这 4 页上错误不少于 5 个的概率？（3）随机地取 8 页，求这 8 页上错误不少于 5 个的概率？15共有 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开上的锁。用它们去试开门n上的锁，设抽取钥匙是相互独立且等可能的，若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数 的数学期望：（1）写出 的分布律；（2）不写出 的分布律。XXX16设二维随机变量 的概率密度为),(Y其 它0)1(206),( xyxyxf求： )(,
35、XYED17设二维随机变量 的分布律为),(X0 1 2 31 0 838303 810 0 81求 XY),cov(18设 的概率密度为),( 其 它020,)(81),( yxyxyf求 XY19对于随机变量 ，已知ZYX, ,1)(,)(ZEYXE，2,1,01)()(ZZD求： ),E20某校报名选修心理学课的学生人数是服从均值为 100 的泊松分布的随机变量。教务部门决定，如报名人数不少于 120 人，就分成两个班讲授；如果少于 120 人，就集中在一个班讲授。试问此课程将分两个班讲授的概率是多少？（注： ）987.0)3(,98.0)52(,97.0)2(,8413.0)( 21对
36、圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在 内，求圆面积的数学期望？,ba22设随机变量 的概率密度为 ，试求随机变量X其 它02cos)(xxfX的方差？2Y23.一批零件中有 9 个合格品 3 个次品，在安装机器时从这批零件中任取一个。如果每次取出的次品就不再放回去，求在取得合格品前，已经取出的次品个数的期望及方差？24.由统计物理学知道，气体分子运动的速率 服从麦克斯威尔分布，其概率密度函X数为 04)(23xeaxfax这里， 是参数。试求分子运动速率 的期望及方差？)0(,aX25.自动生产线在调整之后出现次品的概率为 ，生产中若出现次品时立即进行调整，p求两次调整之间生产的合格品数的数
37、学期望及方差？26.已知连续型随机变量 的概率密度函数为X12)(xexf试求 的数学期望及方差？X27.设 为随机变量， 为常数且 ，试证明：C)(XE2)()CXED28.设某校车上有 50 名职工，自校门开出，有 10 个停车点，如果某停车点没人下车，则不停车。设每位职工在每个停车点下车是等可能的， 表示停车次数，试求 的数学期望？29.设随机变量 与 相互独立，且 ，求：XY),0(),0(22NYX。)(),(22DE30.设随机变量 相互独立，且都服从参数为 1 的泊松分布，试利用中1021,心极限定理计算 01iiXP31.船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于
38、 的概率为06，若船舶遭受了 90000 次波浪冲击，问其中有 2950030500 次纵摇角度大于 的概31p 0率是多少？32.袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为 ，一大盒内装kg01.200 袋，求一大盒茶叶净重大于 的概率？kg5.2033.电冰箱的寿命服从指数分布，每台电冰箱平均寿命是 10 年。现工厂生产了 1000 台电冰箱，问 10 年之内，这些电冰箱出现故障的台数小于 600 台的概率？34.设随机变量 的概率密度函数为X其 他01)(2xcbaxf并且已知 ，求常数5.,5.XDEcba,35.把 4 只球随机地投到 4 个盒子中去，求空盒子个数的期望及方
39、差？36.掷两颗骰子，设 表示第一颗出现的点数， 表示两颗中出现的较大的点数，试Y求： )(,)(,YDEX37.设随机变量 与 相互独立，且它们的概率密度分别为 02)(,02)( 22 yeyfxexf YX试求 的均值？2Z38.设随机变量 与 相互独立，且它们的概率密度分别为XY50)(,01)( )5(yeyfxxfX其 他试求 的数学期望ZE39.已知随机变量 与 的方差及相关系数分别为XY,试求4.0,36)(,25)(DX)(),(YXD40.设随机变量 与 之间存在线性关系： ，这里 为常数。试0,baba,证明：它们之间的相关系数为 01bXY41.将 只球（分别标号为 号
40、）随机地放入 只盒子（分别标号为 号） 。将nnnn1某号码球装入同号码的盒子中，称为一个配对，用 表示配对的数目，求 。X)(XE42.设随机变量 与 相互独立，且XY 1)(,0)(YDYE求： )(2E43.设随机变量 与 相互独立，并且都服从正态分布 ，XY),(2N令 ,这里， 为常数。试求 与 的相关系数？bYaXba, a,44.设随机变量 表示由四个数字 1，2，3，4 中任意选取的数字，随机变量 表示由Y其中任意选的不小于 的数字，试求： XYDXYE,)(,),(45.独立试验序列中，设事件 在各次试验中发生的概率为 ，求事件 发生 次时ApAn已进行的试验次数的数学期望？
41、46.一个工人负责 台同类型机床的维修。这 台机床从左到右排列在一条直线上。相nn邻两台之间的距离都等于 ，工人对某一台机床检修完毕，再到另一台先要求检修的机床a去进行检修。假定 台机床中任何一台机床发生故障的概率相等，且相互独立。试计算这个工人检修一台机床要走的平均路程？47.有五个相互独立的电子装置，它们的寿命 都服从参数为 的指数)5,21(iX分布。 （1）如果将它们串联成整机，则其中任一装置发生故障，整机就不能工作；（2）如果将它们并联成整机，则当所有装置都发生故障时，整机才不能工作。在上述两种情况下，分别求整机寿命的数学期望？第五章 样本、抽样分布及参数估计1设总体 的概率密度为
42、其中 是未知参数。求 的矩X其 它01);(1xxf估计量？2设有总体 ，且 存在，试求 的矩估计量？)(,XDE)(,XDE3设总体 在 上服从均匀分布， 未知； 为 的样本值。求X,bab),(21nx的极大似然估计值？b4对容量为 的样本，求密度函数为 中参数 的n其 它0)();(2xxf矩估计量？5在密度函数为 中，参数 的极大似然估计量是什么？10,)()xxf矩估计量是什么？6设总体 的概率密度为 ，求参数 的极大似然Xxexfx,2);(|估计值？7设总体 的概率密度为,其中 为已知常数，未知参数 ，试求 的极大似cxecxf0);()1(00然估计量？8设总体 的均值为 为
43、的样本。试证 和X),(921X )9,21(iX都是 的无偏估计量。95231619设 是总体 的样本。试证下列统计量都是 的无偏估计量：),(21X)1,(N， ， ，并说明其中哪一个最有效？13243X213X10设总体 。证明 的极大似然估计是一致无偏估计量)(11设总体 在 上服从均匀分布， 未知； 的样本值为X,0bbX，试求 的矩估计值？)1.3,2.7,6.031( )(,DXE12设总体 服从二点分布， 为它的样本，试求成功的概率 的矩),(21n p估计量？13随机地抽取 7 只轴承，测得它们直径（单位： ）为m，试求总体均值 及方差 的矩估计值，并02.3,19.,032
44、.,501.32 2求样本方差？14设随机变量 服从参数为 的泊松分布， 为未知， 是样Xnx,021本观测值，试求 的矩法估计值？15已知某种白炽灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取 10只，测得其寿命（单位： ）为：h1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948。设总体期望与方差均未知，试用最大似然估计来估计该星期生产灯泡能使用 以上的概率？h13016设随机变量 服从参数为 的 01 分布， 为未知参数， 为样本Xppnx,21观测值，试求参数 的极大似然估计值？p17设总体 服从参数为 的指数分布， 为未知， 是样本观nx,
45、021测值，试求 矩法估计值？118设 为来自正态总体 的样本观测值， 已知，试求nx,21 ),(2NX的极大似然估计值？219设总体 服从参数为 的二项分布，其中， 已知而 未知。X),(pnn)10(p为样本观测值，求参数 的极大似然估计值？nx,2120设总体 的概率密度函数为 ，又其 他0),(1xxf为来自 的容量为 的样本，试求未知参数 的（1）矩估计， （2）极大nX,21 n似然估计？21设 为来自总体 的容量为 的样本， 是未知参数。n,21 Xn,)(XE试证明： , 都是 的无偏iiX11 ,21,0,(112 niaaiini 估计，哪个更有效？22设 是参数 的两个
46、相互独立的无偏估计量，且 ，试求常数21, )(2)(1D使 也是 的无偏估计量，并且使它在所有这种形状的估计量中方差最,21kk小？23设总体 服从 上的均匀分布，即 ，X,21N NkXP1其中 是未知参数（正整数） ，试求 的矩估计量？),21(Nk24设 服从标准正态分布， 是来自总体 的容量为 5 的样本。X54321,XX试求常数 ，使统计量 服从 分布，并问自由度是多少？C25423)(t25设总体 是来自 的容量为 2 的样本，试求常数 ，使X21,)0(NXC0.)()(2121 CP26设总体 的均值与方差都存在， 为来自 的容量为 的样本，XnX,21 n为样本均值。对于 ，试求：ji)(ji27现有两批导线，从 批导线中随机地抽取 4 根，从 批导线中随机地抽取 5 根，AB测得
