1、一、概率公式的题目1、已知 求 0.3,0.4,0.5,PABPAB.PBA解： 0.7516.4B2、已知 求0.7,0.4,0.2,PABPAB.PAB解： 。0.2793、已知随机变量 ，即 有概率分布律 ，(1)XP:1(0,2)!ePXk并记事件 。 求：（1） ； （2） ； （3） 2,ABABPAB。解：（1）PB；11()2,1PAXXe（2） 1(), 02;ABPPe（3） 1.202ePPXX4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？解： 设 A=“甲射击一次命中目标” ，B=“乙射击一次命中目
2、标 ”，=()()()PABPABB=+-0.60.75.5.8=+-5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统 ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统 为,ABA0.92，系统 为 0.93，在 失灵的条件下， 有效的概率为 0.85，求：B（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2） 失灵的条件下， 有效的概率。B解：设 “系统 有效”, “系统 有效”,A, 0.92,.3,0.85PPBA1. 0.98BBPAB 0.7152. .2A6、由长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记作事件 ）的概率为 ，刮风（记作事件 ）A415B的概率为 ，既刮风又下雨的概率为
3、，求 。71510();(2);(3)PBPA解： ；3()7415PAB0(2) 8PA。4719(3) 503BPAB二、已知密度（函数）求概率的题目1、某批晶体管的使用寿命 X(小时) 的密度函数 ，1001)(2xxf， ， 任取其中 3 只，求使用最初 150 小时内，无一晶体管损坏的概率。解：任一晶体管使用寿命超过 150 小时的概率为设 Y 为任取的 5 只晶体管中使用寿命超过 150 小时的晶体管数，则 .故有)32,(BY2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量 X，它的分布密度为 ，其 他01122xxxf若每天供
4、电量为 80 万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？解：每天供电量 80 万千瓦小时，所以供给耗电率为：80 万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。所以。1120.80.8. 0.7PXfxdxd3、某种型号的电子管的寿命 X（以小时计）具有以下的概率密度，其 它01)(2xxf3210)()10( 515021 xdxfXPp278)3()3(0C现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立） ，任取 5 只，问其中至少有 2 只寿命大于1500 小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于 1500 小时的概率为 32)1( )1(01050)50(
5、 5 502 xdxXPXP令 Y 表示“任取 5 只此种电子管中寿命大于 1500 小时的个数” 。则 ，)32,5(BY24313251 1)31()()0()()2( 45 CYPP4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为 X。多数情况下，可以认为 X 服从指数分布。设它的概率密度函数为：（ 的单位为月）0,)(xexf（1）从一批产品中抽取样品，测得有 50的样品有效期大于4 个月，求参数 的值。（2）若一件产品出厂 12 个月后还有效，再
6、过 12 个月后它还有效的概率有多大？解：指数分布的分布函数为 01xexXPxF）（） 34ln2341()0.5,.34PXe解 出（） 78.022 12.120.4eXP5、设 K 在（-1，5）上服从均匀分布，求 的方程 有实根的概率。x2420Kx解：要想 有实根，则 则 ，x 22416BACK1或 者又因为 ，所以 。1,UPK三、分布函数、密度函数的题目1、设随机变量 X 的分布函数为 ，0()arcsin1xaxFxAB(1) 求系数 A ，B ； (2) 求 ； (3) 求 X 的分布密度。2PX解：（1）由 F(x)在 处的右连续性知 解之得,a120BA12BA（2）
7、 23aPXF（3）因为 ，则)(xf 21()0xaf2、设随机变量 的分布函数为 ，X,arctn,1, xaFxAB求：（1）常数 ； （2） ； （3） 的密度函数 。,AB0PXXfx解：（1）由分布函数的右连续性知：，所以 ；0limliarctn4arctnlim14xxaxaFFABABABF 1240AAB（2） ；3003PX（3） 。2,()0,axaxfxF其 它3、设随机变量 的分布函数为 ，X2,011,xxA求： 常数 ； ； 的密度函数 。)1(A)2(0.3.7PX)3(Xfx解：（1）由分布函数的右连续性知： ，所以 ；1limxFA1A（2） ；0.3.7
8、0304PX（3） 。2,()xfxF其 它4、设随机变量 的分布函数为X00,2xeBAxFx求：（1）系数 ； （2） ； （3） 的密度函数。BA,9ln4lXPX解： (1) 由于 在 内连续， xF, 0limli 200 FBAexFxx又 故 1limli 2ABexx B00,12xxx(2) = =9ln4lXP4lnlF632(3) 的密度函数为 00xexxf,5、设连续性随机变量 的分布函数为 ，X2,0()0,.xABeFx求：(1)常数 A，B； (2) ； (3) 的密度函数 。1PXXfx解：（1）由分布函数的右连续性及性质知：，所以 ；200limli1xxx
9、FeABF 011AB（2） ；21PXe（3） 。2,0()xefx6、设随机变量 X 的概率密度函数为 ，1,012xAxf(1) 求常数 A； (2) 求 ； (3) 求 X 的分布函数。0.5.PX解： (1) 所以 AxAdxdxf 1012arcsin1 (2) 0.5.PXdxf5.025.0131arcsin5.0x（3） 1tdtfxFxx时当 dtxdtftftf xxx 1211 时当2arcsinarcsin21xtx11 1211 dtxdtftfdtftfxFx x时当所以 11arcsin20xx7、设连续型随机变量 的密度函数为 ，Xcos,20,axf 求：
10、系数 ； 的分布函数； 。1a234PX解：（1）由 ， ；22()cosinfxdaxda 12（2） ；440010iPX（3） 20221sin1()()cos 22xxxxxFftdtd xx 8、设随机变量 的密度函数为 ，X2,01Axf其 它求：（1）常数 ； （2） ； （3） 的分布函数 。A14PXXFx解：（1）由 ， ；312100()xAfxd（2） ；112344006PXd（3） 230, ,0()()311,1,xxxxFftdt9、设随机变量 的密度函数为 ，求X,01Axf其 它（1）常数 ； （2） ； （3） 的分布函数 。A0.5.PXXFx解：（1）
11、由 ， ；21100()xAfxdA2（2） ；1122000.5. 4PX（3） 20, ,0()()211,1,xxxxFftdt四、变一般正态为标准正态分布求概率1、调查某地方考生的外语成绩 X 近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3% 。试求：（1）考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率； （2）该地外语考试的及格率；（3）若已知第三名的成绩是 96 分，求不及格的人数。 （ ， ）8413.097.0)2(解：依题意， 2(7,)960.23XNPX且70.11()且(1) 6842().8P(2) 0.3X(3)设全班人数为 n， 由(
12、2) 知不及格率为 0.1587， 则 ，则不及格人数为023.n14587.0n2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布 ，如果 85 分以上为“优秀” ，问数学成绩65,10N为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。 2.97解：依题意， ，85 分以上学生为优秀，则(65,10)XN 65888120.97.28.%10XPPP所以优秀学生为 2.28%。3、设某工程队完成某项工程所需时间 X（天）近似服从 。工程队上级规定：若工程在 1002(10,5)N天内完工，可获得奖金 7 万元；在 100115 天内完工可获得奖金 3 万元；超过 115 天完工，罚款 4 万元。求该工程队
13、在完成此项工程时，所获奖金的分布律。（参考数据： ）5.098.03解：设所获奖金为 Y 万元， Y 是 X 的函数，可取值为 4，3，7 4987.05987.01503 1314 P.7Y所以，可获奖金 Y 的分布律为 ：4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在 0.01 以下来设计的，设男子的身高，问车门的高度应如何确定？（ ）2170,6XN2.30.9解：设车门的高度为 厘米，则x， 171.96XXxPP2.30.9所以 。即车门的高度至少要 厘米。1702.3,83.96xx:8.5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在 0.01 以下来设计的，设男子的身高 ，216
14、8,7XN:问车门的高度应如何确定？( ) 2.30.9解：设车门的高度为 厘米，则x，16810.97XXxPP所以 。即车门的高度至少要 厘米。2.30.91682.3,4.37x:184.36、某地区 18 岁的女青年的血压（以 mm-Hg 计）服从 ，在该地区任选一 18 岁女青年，测)10,(2N量她的血压 X。求：（1）P (X105)；（2）P (100X 120)。 （ ， ）6915.8413.0)(解： 3)5.().0()105)( (2) 682.843.2)( )1(1011Y -4 3 7P 0.0013 0.4987 0.5000五、数学期望、方差的题目1、 设随
15、机变量 的概率密度为： ，X其 它 ,0110 ,)(xxf求： )(,DE解： 01100xfdxdxd22221() 6X所以 6XED2、一工厂生产的某种设备的寿命 (以年计) 服从指数分布,X的密度函数为 X410(),xef工厂规定,出售的设备若售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利 100 元,调换一台设备厂方需花费 200 元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解：设 表示厂方出售一台设备净赢利,有Y10210XXg44010xxEYxfdeded 1024e所以每台的净赢利的数学期望为 元1024e3、假设有 10 只同种电器元件，其中有两只废品，从这批元件中任
16、取一只，如是废品则扔掉重取一只，如仍是废品则扔掉再取一只，求：在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方差。解：设 为取到正品之前已取出的废品数，则 的分布为XX012P8289810故 ()45EX24()5EX221()480D4、一袋中有 张卡片，分别记为 ，从中有放回的抽取 张来，以 表示取出的 张卡n1,2n kXk片的号码之和，求 。EX解：设 表示第 次取出的号码，则 的分布律为mXm，1,2,1,Pink 所以 ， ，1niiE12kXX则 2knX5、已知随机变量 的密度函数为 ，X1cos,220,xf 对 独立观察 3 次，用 表示观察值大于 的次数。求：（1） 的分布律；
17、 （2） 的Y6YY分布函数； （3） 2E解：令 226611cosin4pPXxdx（1） 的分布律为： （2）Y331,0,13.4kkPYkC； 0,27164,3,23641.yyFy（3） 22213948EYDEYnpq6、某车间生产的圆盘直径在区间 服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。,ab解：设 为圆的直径， 为圆的面积，则 ，因为 所以 的密度函数为 XS24SX,UabX1,0axbfxb且所以 22 3221421b baaESXxdxb7、某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量 （吨）服从区间 0 ，5 上的均匀X分布这种产品生产出来后，在市场上每售出 1
18、吨可获利 6 万元。如果产量大于需求量，则每多生产 1 吨要亏损 4 万元如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。问：为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量 应该定为a多少吨？解：因为 ， 的概率密度为 。X)5,0(U150()xfx其 它设 为该厂每月获得的利润（单位：万元） ，根据题意Y。()YgX64()104aXaX当 时当 时该厂平均每月利润为：)(E()()ffxd。50641aax22265aa由 可解得 （吨） 。aYd)( 02)6(23可见，要使得每月的平均利润达到最大，月产量应定为 吨。8、设随机变量 的概率密度为 X,02,()4,a
19、xfcb其 他 .已知 3()2,(1)4EP求：（1） 的值； （2）随机变量 的数学期望。abc XYe解：（1） 02()()fxdaxcbdx24026,420()()xfdaxcxbd8563acb，2312335()4acb解方程组 ；112485633aacbb（2） 2420211()()()()4XxxxEYefdeed9、设一部机器在一天内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工.作日里无故障，可获利润 万元，发生一次故障可获利润 万元，发生两次故障获利 万50元，发生三次或三次以上故障则亏损 万元，求一周内的利润期望。解：设一周 5 个工作日内发生故障
20、的天数为 ，则 ，设 为一周内获得的利润，X5,0.2BT则 为离散型随机变量，其所有可能取T值为 （万元）其分布律为：10,20551423510.80.2512350.57PCTXTT即可获利润 T 的分布律为 ：T -2 0 5 10P 0.057 0.205 0.410 0.328。()20.57.25.41.328.16E六、点估计（矩估计和极大似然估计）的题目1、设总体 概率密度为： ，其中参数 且未知，设X其 他,011xxf 0为总体的一个样本, 是样本值，求 的矩估计量和极大似然估计量。n,21 n212、已知随机变量 的密度函数为 ，X()01) ()0xfx其 他其中 为
21、未知参数，求 的矩估计量与极大似然估计量。3、设总体 概率密度为 ，其中 为未知参数， 为总体 ,1,)1()xxf nX,21的一个样本, 是样本值，求参数 的矩估计量和极大似然估计量。n,214、设总体 X 具有分布律 ：其中 为未知参数，已知取得了样本值 。)10( 1213xx，试求 的矩估计值和极大似然估计值。5、设总体 的密度函数为： ，其中 为未知参数, X0,1xexfx是来自总体 的样本，求参数 的矩估计量和极大似然估计量。n,21 X6、设 为总体 的一个样本, 的密度函数 （其中未知参数12,nX 1,0()xf其 他） ， 是样本值，求参数 的矩估计量和最大似然估计量。
22、0nx,21 7、设 为总体 的一个样本, 的密度函数 ，12,nX,0()xef其中未知参数 ， 是样本值，求参数 的矩估计量和最大似然估计量。0nx,218、已知随机变量 的密度函数为 ，X(1)56) (1)0xxf 其 他其中 为未知参数，设 为总体的一个样本, 是样本值，求参数 的矩nX,21 n,21估计量和极大似然估计量七、区间估计X 1 2 3p2)(2)(1、为考察某大学成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为 25 的一个样本,并测得样本均值为,样本标准差为 。假定胆固醇水平 , 与 均未知,求总体标准差86x12s )(2NX2的置信度为 90%的置信区间。 （ ， ）0
23、.5(4)36.184.1395.02、设某异常区磁场强度服从正态分布 ，现对该地区进行磁测，今抽测 16 个点，算得样本均2,N值 样本方差 ，求出 的置信度为 的置信区间。参考数据：1.7,x3.2s % 2 220.50.9750.50.975()(1)6,(1)8.4,(16).43、某单位职工每天的医疗费服从正态分布 ，现抽查了 天，得 ， 求职工每2,N70x3s天医疗费均值 的置信水平为 的置信区间。.（ ）712406.2405.025. tt4、某超市抽查 80 人，调查他们每月在酱菜上的平均花 87 费，发现平均值为 元，样本标准差5.9x元。求到超市人群每月在酱菜上的平均
24、花费 的置信度为 的区间估计。1.s 9%（ ， ）96.1)80(025.25. ut 65.1)80(0.5. ut5、随机地取某种炮弹 发做试验，测得炮口速度的样本标准差 ，设炮口速度服从正态分布，sm求这种炮弹的炮口速度的标准差 的置信度为 的置信区间。.922220.9750.50.9750.5(8)1,(8)1.3,(),()19.36、从某商店一年来的发票存根中随机抽取 26 张,算得平均金额为 78.5 元,样本标准差为 20 元。假定发票金额服从正态分布,求该商店一年来发票平均金额的置信度为 90%的置信区间。 0.50.50.250.25(2).,(26).,().,(6)
25、.5tttt八、假设检验1、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 25 位考生的成绩，算得平均成绩为 =66 分，x标准差 20 分，问在显著性水平 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 71 分？s 05.并给出检验过程。 （参考数据： ， ）6392)4(2.0t 7109.)24(05.t2、机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，要求每袋盐的标准重量为 500 克。某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取 9 袋，测得样本均值 样本方49,x差 . 问这天自动包装机工作是否正常（ ）？（参考数据：221603S 0.5）859.1805
26、.025. tt3、设有正态分布总体 的容量为 100 的样本，样本均值 均未知，而2,XN2.7,x，在 水平下，是否可以认为总体方差为 ？1025ii0.5.5220.50.975916,4.24、设总体 服从正态分布 ,从中抽取一个容量为 的样本，测得样本标准差 ，取显X()N1610S著性水平 ，是否可以认为总体方差为 ?.80（ ； ； ； ）20.5(1)748210.5()6.2.5()2.4210.5(6).985、设某次概率统计课程期末考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 分，样本标准差为 分，问在显著性水平 下，是否可以认为这次考试
27、x9.3s .全体考生的平均成绩为 70 分？并给出检验过程。 0.250.50.250.5(3).1,(3).68,().81,(36).8tttt6、某百货商场的日销售额服从正态分布，去年的日均销售额为 53.6 万元，方差为 36.今年随机抽查了10 个日销售额，算得样本均值 万元，根据经验，今年日销售额的方差没有变化。问：今年7.x的日平均销售额与去年相比有无显著性变化（ ）？05.（ ）26.9,6.1025.025. tu7、某广告公司在广播电台做流行歌曲磁带广告，它的广告是针对平均年龄为 21 岁的年轻人。广告公司想了解其节目是否为目标听众所接受。假定听众的年龄服从正态分布，现随
28、机抽取 400位听众进行调查，得 岁， ，以显著性水平 判断广告公司的广告策划是否符x21s0.5合实际？ 检验假设 ( )000:;:H.20.2541)96tu六、点估计（矩估计、极大似然估计）的答案1、解： ,1)(101dxXE令 ,得 的矩估计量2X似然函数为 1/2111()()()()nnnii iiiLfxxx. 由 nii1l)(l2ln 0ll1niidL得 的极大似然估计量 。21)ln(iiX2、解： 66611555()()62EXxdxxd故 的矩估计量为 2X似然函数 , 故 11()(;)()nni ii iLfxx151l()l()l(5)nn011ln()n
29、iiii iidxX的 极 大 似 然 估 计 量 为3、解： 0101)()( dtxtdxXE且 令 ,得 的矩估计量为 。似然函数为 11111()()()()nnni i iii iLfxxx. 由 niin1)l()(ll 0)l(l1niidL得 的极大似然估计量为 。niiX1)l(4、解 ： 22 124113,3EX x令 ，所以 为 的矩估计量，矩估计值为 。43X5651231 12iiLPXxP，令 ，得 。lnl25nlln0dL56L5、解： 由 ,令 ,得 的矩估计量为 。01)()( xedxfXEXX先写出似然函数 ,niixfL1)()(nixie1/1ni
30、ixe取对数得 . 似然方程为 ni1l)(ln 0)(ln12nixdL解得 的极大似然估计值为 ； 的极大似然估计量为 。x X6、解： 令 故 的矩估计量为 10()1EXxdX1似然函数 11()(;)nni iiLfx1l()lnlniiLx1 1ln l0 lni ni iid X 令 的 极 大 似 然 估 计 量 为7、解： 令 故 的矩估计量为 0()xEXedX似然函数 11()(;)innxii iLfxe 1l()lnniLx1 1ln 0ni ni iid X 令 的 极 大 似 然 估 计 量 为8、解： 66611555()()()62EXxdxxd故 的矩估计量
31、为 2X似然函数 , 故 11()(;)(5)nni ii iLfxx151l()l()l()nn011ln()niiii iidxX的 极 大 似 然 估 计 量 为七、区间估计的答案1、解：由公式知 的置信度为 的置信区间为 . 1 )1(,)1(2/2/ nSnS而 ， ， ,25ns221/0.95()(4)3.8n，代入可得 的置信区间为(9.74,15.80)./(10.(4)36.2、解： 的 置信区间为222.050.9756,(1)6.,121 3, ,0.64,.79nSn3、解：已知 ， ，所以 的置信度为 95%的双侧置信5,70,xs0.25,(4).t 区间为： 0
32、.250.25330(1),(1)7.6,172.64157.6,82.345SSXtnXtn 4、解：样本容量 ,属大样本,则 近似服从 ,按照正态分布均值的8nS/)0(N置信区间的求法, 而 , , ,可以类似得到酱菜平均花费 的x9.52.1s96.05.u置信度为 的置信区间是1 /2/2(,)5.4,61SXn5、解：已知 ， ， ， ，所以 的 95%的置9,nsm0.50.975(8.0.25(8)7.3信区间为：。2222181, ,7.43,10()()7.53.8nSn6、解 ：设总体为 ,因 未知,则发票平均金额 的置信度为 的2NX2置信区间是 ,)1(),1( 2/
33、2/ ntSXntS将 ,代入得到 的置信区间为(71.8,85.2)。/20.578.5,0,6,(.78xstt八、假设检验的答案1、解： 7171:0：H由于 063925206/tnSxt所以接受 ，即在显著水平 0.05 下，可以认为这次考试全体学生的平均成绩为 71 分。02、解： . 若 成立, 统计量1:5:H0H. 。(8)/3XTtS 036.2187.03.6/.1549Sxt故接受 .认为这天自动包装机正常。03、解： ，2210:5:.50.2,ns2 20. 0.9751196, 4.n由于 , 2209.5ns20.975201s0.59所以接受 ，即在显著水平
34、0.05 下，认为总方差为 2.5。0H4、解： 2210:8,:由于 ，因为 ，220518.75nS20.5(1)7.48210.5()6.2222 210.5 0.50()1.()所以接受 ，即在显著水平 0.05 下，可以认为总体方差为 80。0H5、解： 01:7:70H由于 0.52.916839.3/xt tSn所以接受 ，即在显著水平 0.1 下，可以认为这次考试全体学生的平均成绩为 70 分。06、解：今年日销售额总体 ，其中 已知.2(,)XN236建立假设 0010:53.6;:HH当 真时，检验统计量为 . 拒绝域为0 (,)/Un0/2./xuun由于 . 查表得 ，代入得 ，故拒绝原假57x/20.5196u57.36| .196/设，即认为今年的日平均销售额与去年相比有显著性变化。 7、解：建立假设 0010:;:H当 真时，检验统计量 拒绝域为 .0 (),XTtnS0/2(1)/xttns查表得 ，由于 ，故拒绝原假设，0.250.25(41)96tu/22510().964/tt
