1、2014 年第一学期电磁场与电磁波复习题一 填 空 题1已知矢量 ，则 = ， = 。 2zy2xeeAAzxy2A2yez注： zxyzyx22222)(yexezxyeAzyxe zzyxz 2矢量 垂直的条件为 。B、 0B3理想介质的电导率为 ，理想导体的电导率为 ，欧姆定理的微分形式为 。EJ4静电场中电场强度 和电位 的关系为 ，此关系的理论依据为 ；若已知电位EE0，在点（1,1,1）处电场强度 。2zxy642zyxee注： zeyxeE zyx5恒定磁场中磁感应强度 和矢量磁位 的关系为 ；此关系的理论依据为 。 BAAB0B6通过求解电位微分方程可获知静电场的分布特性。静电
2、场电位泊松方程为 ，电位拉普拉/2斯方程为 。027若电磁场两种媒质分界面上无自由电荷与表面电流，其 边界条件为： 和DE、 021Een； 边界条件为： 和 。21DenHB、 021Ben 021Hen8空气与介质 的分界面为 z=0 的平面，已知空气中的电场强度为 ,则介质)4(r 4ezyx中的电场强度 。 2E1zyxe注：因电场的切向分量连续，故有 ，又电位移矢量的法向分量连续，即zyxEeE221400 zzr所以 。122zyxeE9. 有一磁导率为 半径为 a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流 I，柱外是空气（ 0 ） ，则柱内半径为 处磁感应强度 = ；柱外半径为
3、 处磁感应强度 = 。11B12Ie22B20e10已知恒定磁场磁感应强度为 ,则常数 m= -5 。 z4emyx注:因为 ，所以 。0zyxB 50111半径为 a 的孤立导体球，在空气中的电容为 C0= ；若其置于空气与介质（ 1 ）之间，球心位a4于分界面上，其等效电容为 C1= 。102解：（1） ， 204rQEr， ，024rE aQdrEUa04 aUC04（2） ， ， ， ，Drr221 10rrD210rr2102rQDr， ， aUC)(1021021rQErr aQdEUar)(210112已知导体材料磁导率为 ，以该材料制成的长直导线单位长度的内自感为 。813空间
4、有两个载流线圈，相互 平行 放置时，互感最大；相互 垂直 放置时，互感最小。14两夹角为 (n 为整数 )的导体平面间有一个点电荷 q，则其镜像电荷个数为 （2n-1） 。n15空间电场强度和电位移分别为 ，则电场能量密度 we= 。DE、 DE2116空气中的电场强度 ，则空间位移电流密度 = )2cos(0kztex DJ。kztex2sin40注： （A/m 2） 。)2sin(40)2cos(0 kztekztetDJ xx 17在无源区内，电场强度 的波动方程为 。E2Ec18频率为 300MHz 的均匀平面波在空气中传播，其波阻抗为 ，波的传播速度为 )(10，波长为 1m ，相位
5、常数为 ；当其进入对于理想介质( r = )/10.3(8smc /2mrad4， 0)，在该介质中的波阻抗为 ，传播速度为 ，波长为 0.5m ，相位)(60)/(105.8sm常数为 。/(mrad注：有关关系式为波阻抗 （ ） ，相速度 （m/s） ， ， （rad/m）1vvf2k空气或真空中， ， 。)(120)/(038smc19已知平面波电场为 ，其极化方式为 右旋圆极化波 。zjyxi eE注：因为传播方向为 方向，且 ， ， ， ，故为右zmx2y 02xy旋圆极化波。20已知空气中平面波 ，则该平面波波矢量 ， 角频率 =)86(,zxjmeEzxy k86zxe，对应磁场
6、 。)/(1039srad,H)/(30)86(mAezxjzx解：因为 ，所有 ，zxzkyxk86xk， ， ，从而 ， ，0y8z 122zyx 86zxe)(2.0k， ， 。相伴的磁场是)/(13smcvf)(05.9Hf)/(10329sradf)/(360 861)86( )86(mAeE eEeEkeHzxjzxm zxjmyzxn 21海水的电导率 =4S/m，相对介电常数 。对于 f=1GHz 的电场，海水相当于 一般导体 r。解：因为 18721036124990 rf所以现在应视为一般导体。22导电媒质中，电磁波的相速随频率变化的现象称为 色散 。23 频率为 f 的均
7、匀平面波在良导体（参数为 ）中传播，其衰减常数 = ，本征阻抗相、 f位为 ，趋肤深度 = 。4/f124均匀平面波从介质 1 向介质 2 垂直入射，反射系数 和透射系数 的关系为 。125均匀平面波从空气向 的理想介质表面垂直入射，反射系数 = -0.2 ，在空气0,5.r中合成波为 行驻波 ，驻波比 S= 1.5 。解： ， ， ，行驻波，12018025.1202r 2.0125.S26均匀平面波从理想介质向理想导体表面垂直入射，反射系数 = -1 ，介质空间合成电磁波为 驻波 。27均匀平面波从理想介质 1 向理想介质 2 斜入射，其入射角为 i, 反射角为 r, 折射角为 t ，两区
8、的相位常数分别为 k1、k 2，反射定律为 ，折射定律为 。irtiksns2128均匀平面波从稠密媒质( 1)向稀疏媒质( 2)以大于等于 斜入射，在分界面产生全反c1ar射，该角称为 临界角 ；平行极化波以 斜入射，在分界面产生全透射，该角称为 布儒b12arctn斯特角 。29TEM 波的中文名称为 横电磁波 。30电偶极子是指 几何长度远小于波长的载有等幅同相电流的线元 ，电偶极子的远区场是指 或 。1kr二简答题1 导电媒质和理想导体形成的边界，电流线为何总是垂直于边界？ 答：在两种不同导电媒质交界面两侧的边界条件为 ， ，即 ，021Jen021Een nJ21，因此ttE21 2
9、12121/tannntJE显然，当 时，可推得 ，即电流线垂直于边界。1022写出恒定磁场中的安培环路定律并说明：磁场是否为保守场？答：恒定磁场中的安培环路定律为 ，由斯托克斯定理可得SCdJlH，因此 不恒为零，故不是保守场。 SSCdJldH3电容是如何定义的？写出计算双导体电容的基本步骤。 答：电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。孤立导体的电容定义为所带电量 q 与其电位 的比值；对于两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为 q 与两导体之间的电压 U 之比。单导体的电容为 qC双导体的电容定义为 U计算双导体的步骤为：根据导体的几何形状，选取
10、合适的坐标系；假定两导体上分别带电荷+q 和-q ；根据假定的电荷求出 E ; 由 求出电压; 21ldU由 求出电容 C. qC4叙述静态场解的惟一性定理，并简要说明其重要意义。答：静态场解的惟一性定理：在场域 V 的边界面 S 上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在n场域 V 具有惟一值。 惟一性定理的重要意义：给出了静态场边值问题具有惟一解的条件；为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据；为求解结果的正确性提供了判据。5什么是镜像法？其理论依据是什么？如何确定镜像电荷的分布？答：在适当的位置上，用虚设的电荷等效替代分布复杂的电荷的方法称为镜像法。镜像法的理论依据是唯一性定理。镜
11、像法的原则为：所有的镜像电荷必须位于所求场域之外的空间中；镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足原边界条件来确定。6分别写出麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式并做简要说明。答：积分形式： dVtdtdSSSCDBlEDJH0第一方程说明：磁场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和。第二方程说明：电场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的磁通量变化率的负值。第三方程说明：穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于0。第四方程说明：穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合面包含的自由电荷的代数和。微分形式： DBEJH0tt
12、第一方程对安培环路定理进行修正，表征电流与变化的电场都是磁场的漩涡源；第二方程为电磁感应定律，说明变化的磁场产生电场；第三方程说明磁场为无散场；第四方程说明电荷为电场的源。7写出坡印廷定理的积分形式并简要说明其意义。答：坡印廷定理的积分形式为 VVSt d)21(d)( JEBHDEHE物理意义：单位时间内，通过曲面 S 进入体积 V 的电磁能量等于体积 V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。坡印廷定理是表征电磁能量守恒关系的定理。 单位时间内体积 V 中所增加的电磁能量。Vtd)21(dBD时间内电场对体积 V 中的电流所作的功；在导电媒质中，即为体积 V 内总的损耗功JE率。 通过曲面
13、 S 进入体积 V 的电磁功率。SHd)(8什么是波的极化？说明极化分类及判断规则。答：电磁波的极化是指在空间给定点处，电场矢量的端点随时间变化的轨迹，分为线极化、圆极化和椭圆极化三类。电磁波的极化状态取决于 Ex 和 Ey 的振幅 Exm、Eym 和相位差 yx，对于沿+ z 方向传播的均匀平面波：线极化： = 0、 ， = 0，在 1、3 象限， = ，在 2、4 象限；圆极化：E xm = Eym， = /2 ，取“” ，左旋圆极化，取“”，右旋圆极化；椭圆极化：其它情况， 0，左旋， 0，右旋。9分别定性说明均匀平面波在理想介质中、导电媒质中的传播特性。答：均匀平面波在理想介质中的传播
14、特性：电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波；电场与磁场振幅不衰减；波阻抗为实数，电场磁场同相位；电磁波的相速与频率无关，无色散；平均磁场能量密度等于平均电场能量密度。均匀平面波在导电媒质中的传播特性：电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波；电场与磁场振幅呈指数衰减；波阻抗为复数，电场与磁场不同相位；电磁波的相速与频率有关，有色散；平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。10简要说明行波、驻波、行驻波之间的区别。答：行波是其振幅不变的波，反射系数 ，驻波系数 ；驻波的振幅有零点（驻点） ，在空间没01S有移动，只是在原来的位置振动，反射系数 ，驻波系数 ；而行驻波则是其振幅在最大值和
15、| 不为零的最小值之间变化，反射系数 ，驻波系数 。1|11简要说明电偶极子远区场的特性。答：电偶极子远区场的特性：远区场是横电磁波，电场、磁场和传播方向相互垂直；远区场电场与磁场振幅比等于媒质的本征阻抗；远区场是非均匀球面波，电磁场振幅与 1/r 成正比；远区场具有方向性，按 sin 变化。三、分析计算题 1电场中有一半径为 a 的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数为： aaAcos)(0221求圆柱体内、外的电场强度；柱表面电荷密度。（提示：柱坐标 ）zueue解：圆柱体内的电场强度为 011E圆柱体外的电场强度为 sin1cos122 22222 aAeaAez柱表面电荷密度为 cos2
16、012EeDeaanS 2 同心球形电容器的内导体半径为 a、外导体半径为 b，其间填充介电常数为 的均匀介质。已知内导体球均匀携带电荷 q。求：介质内的电场强度 E 该球形电容器的电容。解： 高斯定理 )3(r4qeE,rqD,Sd22分得 内外导体间电压： abbarUba 4)1(4d由电容的定义 ，得到qCabUqC43 空气中有一磁导率为 半径为 a 的无限长均匀导体圆柱，其轴线方向电流强度为 I，求圆柱内外的磁感应强度 B 和磁场强度 H。解：由 可得圆柱内外的磁场强度都是IldC 2Ie而圆柱内外磁感应强度是 aIeB204矩形线圈长与宽分别为 a、b，与电流为 i 的长直导线放
17、置在同一平面上，最短距离为 d，如图。已知 i=I，求：长直导线产生的磁场；线圈与导线间的互感。已知导线电流 i(t)=I0cost，求：导线产生的磁场；线圈中的感应电动势。解：电流 i=I 产生的磁场： 20IeB穿过矩形线圈的磁通量是 dbIadISdbln2200故线圈与导线间的互感为 dbaIMln20导线电流 i(t)=I0cost 产生的磁场：tIeBcos20穿过矩形线圈的磁通量是 tdbaIdtISdb cosln2cos200 线圈中的感应电动势 tdbaItsinl20上式中约定感应电动势的方向是顺时针。5一点电荷 q 放置在无限大的导体平面附近，高度为 h。已知空间介质的
18、相对介电常数 r=2，求点电荷 q 受到的电场力；高度为 4h 的 P 点的电场强度与电位。 解：镜像法，确定镜像电荷 q的位置如图和大小 q=-q 。 202016)(4Fhqehqeyy hqhhq qeeyyy 00021 20223)4()4( 54E 6已知半径为 a 的导体球带电荷量为 Q ，距离该球球心 f=4a 处有一点电荷 q，求 q 受到的电场力。 解： 4,42 afdqfaqd则 q 受到的电场力为 )57603164()(44)( 2202/0/20/ aqaQedfqefqQeFxxxq 7海水的电导率 =4S/m，相对介电常数 。设海水中电场大小为 ，求频率81r
19、 tcosEmf=1MHz 时，海水中的传导电流密度 J; 海水中的位移电流密度 JD。解： tEJmcos4 tEDmr cos8100 tEtEttJ mmm sin458.1sin102136sin81 69 8 、在理想介质 ( )中均匀平面波电场强度瞬时值为： 。已知,25.rr )-kzco(0,zxe该平面波频率为 10GHz，求： 该平面波的传播方向、角频率、波长、波数 k；电场强度复矢量；磁场强度瞬时值；平均能流密度矢量 。vSa解： 传播方向：+z； ；)/(1021029sradf；8805.31rrcvf )(02.198mfv。)/(2.madk /4)(VezEjk
20、zx ，)(8025.100 rr；)/(4)(1)( mAeezEezHjkzyjkzy)/(cos2, Atty )/(102140Re1e1 2* WeeES zjkzyjkzxav 9已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为： A/m，求43cos, zxt-txHy该平面波角频率 、频率 f、波长 电场、磁场强度复矢量瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。解： ； ， ， ；zxzkyxk433xk0y4zk； ，)/(5)(2222 mradzyx 2)(4.0mk（因是自由空间） ， ；cvf )(10.74.0388Hzcf )/158sradf ；)/(31),()43(AezxH
21、zxjy)/()24 5433120,(, )43( )43(mVee eekHEzxjzx zxzxjyn （ )/(cos3),( zttzzx（A/m ）)431x-eHy)/()43(cos32431 )43(cos312mWzxte zxt-etESzxzx y，)43(),( zxjzxz )43(1,zxjyeH)/(324612Re1e22 *)43()43(*mWESzx zxjyzxjzxav 10均匀平面波从空气垂直入射到某介质(= r 0， 0),空气中驻波比为 3，分界面为合成电场最小点，求该介质的介电常数 。解： ， ， ；分界面为合成电场最小点， 0， 5.3S1
22、5.13S， ， 5.10012 rrr，01rr002 9r11已知空气中均匀平面波电场强度的复数表示为 ，由 z=0 区zj0eEt,zx域的理想介质中，已知该理想介质 r = 4， 0，求反射波的电场强度、磁场强度；透射波电场强度、磁场强度。z0 区域合成波的电场强度、磁场强度并说明其性质。解： ， zjyzjxzi eEeH0001zjxieE0， ， ，012002rr 31201232012zjxzjxr eEeE01， zjyzjxzrzr eEeH 36031)()(1000 202rzjxzjkxt eEeE2032zjyzjxztzt eEeH 202022 9)(1)(1
23、 zeE eeeEezjx zjzjzjxzjzjxzjxzjx cos32 313310 0001 zje eeEeeHzjy zjzjzjyzjzjyzjyzjy sin32120 3132103120601行驻波，驻波系数 31S12已知空气中均匀平面波电场强度的复矢量表示为 ，垂直入射于 z=0 的理想导体板zjeEz0xi上，求反射波电场强度、磁场强度复矢量；导体板上的感应电流密度；真空中合成电场强度的瞬时值表示式并说明合成波特性。解： ， zjyzjxzi eEeH0001zjeEz0xi，zjxzjxr e00)1( zjyzjxzrzr eEe120)(1)( 000 zEje
24、EExzjxzjxri sin20001 eHyzjyzjyri co61121 06001eJ xyzzns tzEetzEetE xxtj sin2cosin2R),( 0011 合成电磁波为驻波。13已知均匀平面波由空气向位于 z=0 平面的理想导体表面斜入射。已知入射波电场强度为，在下图中画出入射波和反射波场强与磁场强度方向并判断该平面波为平行)z3x(jye20z,xEi极化波还是垂直极化波。并求：波矢量 平面波频率入射角反射波电场强度反射波磁场强度ik空气中合成电场强度。解：垂直极化波。 ； ， ， ；zxzkyxkiii 31ixk0iy3izk3zxie ， ， ， ，222iziyixi i i2cf)(108Hzf 因为 ，所以 ，iiixksn21siixk630i ， ，13zxrezr)(20,jyzxEr )3(03(00 12031 zxjzxzxjyzxrr eeeeH zejeeEjxyzxjyzxjyri 3sin4202)3()3(1
