1、10.5 麦克斯韦速率分布定律,气体中个别分子的速率和方向完全是偶然的，大量分子的整体在一定的条件下速率分布遵从一定的统计规律。,一、实验,分子速率分布图,表示速率在 区间的分子数占总分子数的百分比。,为速率在 区间的分子数。,3,二、速率分布函数,定义分布函数,一定量的理想气体，分子总数为N 。在一定的平衡态下，速率分布在区间 v v+v 内的分子数为N, 则N /N 表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率 (或百分比 ) 。,4,表示在温度为T 的平衡状态下, 速率在 v 附近单位速率区间的分子数占总数的百分比。,速率在 区间的分子数占总分子数的百分比:,5,归一化条件,速率位于 内分
2、子数,由,得,6,速率位于 区间的分子数,速率位于 区间的分子数占总数的百分比,7,三、麦克斯韦气体速率分布定律,麦克斯韦根据气体在平衡态下,分子热运动具有各向同性的特点,运用统计理论提出：,速率在 区间的分子数占总分子数的百分比:,上式反映了理想气体在热平衡条件下, 各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。,即,其中,称为麦克斯韦速率分布函数。,分子速率在 v 附近,单位速率区间的分子数占总分子数占总分子数的百分比的规律。,归一化条件,9,(3) 对v 求微分：,为极大值,由麦克斯韦速率分布函数,四、麦克斯韦速率分布曲线,(1) 当v 0 时,(2) 当v 时,得,10,曲线中有一极大值,
3、 对应速率 vp 称为最概然速率 (最可几速率)，表示在vp附近，单位速率间隔内的相对分子数最多。分子分布在vp附近的概率最大。,对一定量的理想气体,11,T2 T1。温度越高，大部分分子速率加大,vp右移，曲线变扁.,T 和 对速率分布的影响,vp 随 T 升高而增大，随 增大而减小。,。 大，vp 减小，左移，曲线变陡。,12,五、三种统计速率,1. 最概然速率,2. 平均速率,13,或由温度公式,3. 方均根速率,得,14,三种统计速率比较,15,氢气分子,氧气分子,例1计算在 27oC时，氢气和氧气分子的方均根速率。,解,16,例2已知分子数N ,分子质量 ,分布函数 f (v). 求
4、: (1) 速率在 vp 间的分子数;(2) 速率在vp 间所有分子动能之和.,(1),(2),17,例3如图示两条 f (v) v 曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线, 从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率。,H2,O2,18,10.6 温度的微观本质,理想气体物态方程,若分子总数为 N,玻尔兹曼常数,则,或,19,处于平衡态的理想气体，分子的平均平动动能与气体的温度成正比。,温度的微观本质,得,20,(3) 在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等。,(1) 温度是分子平均平动动能的量度。 ( ),(2) 温度是大量分子的集体表现，对个别分子无意义。,讨论,（反映
5、热运动的剧烈程度）,微观量的统计平均值,宏观可测量量,21,例1 有一容积为 10 cm3 的电子管，当温度为 300 K时用真空泵抽成高真空，使管内压强为 510-6 mmHg。求 (1) 此时管内气体分子的数目； (2) 这些分子的总平动动能。,解,(1) 由理想气体状态方程得,(2) 每个分子平均平动动能,N 个分子总平动动能为,22,（A）温度相同、压强相同。 （B）温度、压强都不同。 （C）温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强。 （D）温度相同,但氦气的压强小于氮气的压强。,解:,例2 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同,分子平均平动动能相同,而且它们都处于平衡状态,则它们,23,例3 理想
6、气体体积为V ，压强为 p ，温度为 T ，一个分子 的质量为 ， k 为玻尔兹曼常量, R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：,解:,24,10.7 能量按自由度均分定理,已知温度公式,理想气体分为单原子分子，双原子分子，多原子分子气体。气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。,一、自由度的概念,25,分子在各方向的运动概率均等,分子的平均平动动能有三个独立的速度二次项，且都相等。,分子能量中独立的速度和坐标的二次方项数目叫做分子能量自由度的数目，简称自由度，用符号 i 表示。,26,t 平动自由度；,r 转动自由度。,v 振动自由度。,自由度数目,1. 单原子分子 ( 看作
7、质点),t = 3. i = 3,单原子分子平均能量,27,既有平动，又有转动。,平动可看作质心的平动。,2. 刚性双单原子分子,两个被看作质点的原子被一质量不计的刚性杆相连。,平动三个方向,28,分子平均平动动能,转动也有三个方向,但绕自身转动的 J 很小，其转动动能可忽略，只剩两个。,平均转动动能,29,平均能量,t = 3 , r = 2，i = 5。,除了刚性双原子分子的平动和转动外, 还可看作是一维谐振子, 还有一项振动动能和一项振动势能。,3. 非刚性双原子分子,平动三个方向,30,转动二个方向,振动二个方向,非刚性双原子分子平均能量, 是折合质量,t = 3 , r = 2, v
8、 = 2. i = 7,31,刚性分子能量自由度,32,二、能量按自由度均分定理,气体处于平衡态时,分子任何一个自由度的平均能量都相等, 均为,1. 是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。,2. 是气体分子无规则热运动的结果。,3. 经典统计物理可给出严格证明。,分子的平均能量,讨论,33,三、理想气体的内能,1mol理想气体的内能,质量为m 的理想气体,理想气体的内能只是温度的函数，与热力学温度成正比。,34,内能变化,比较，得,四、气体的摩尔热容,由,而,35,摩尔热容比,得,36,例1 在容积为2.010-3m-3的容器中，有内能为6.75102J 的刚性双原子分子理想气体。,求:,1
9、. 气体的压强;,2. 若分子的总数为5.41023个,气体的温度和分子的平均平动动能为多少?,解:,1. 由理想气体的内能和物态方程,得,37,2. 分子数密度,气体温度,分子的平均平动动能,38,例2 设氢气和氦气的压强,体积和温度相等,求它们的,质量比:,和内能比:,解：,由理想气体物态方程,得,质量比:,P、V、T 相等,内能比:,内能公式,39,例3体积为200升的钢瓶中盛有氧气，使用一段时间后，测瓶中气体压强为2atm。,求: 此时氧气的内能。,解:,体积不变。,内能,利用理想气体物态方程,得,氧气的内能,40,求 1. 等温线对应的温度; 2. Ed 、Eb。,由物态方程,a点,例4 图中是2kg氢气的等温线，其中 p1=4105Pa；V1=2.5m3； p2=1.2106Pa。,解:,41,2. Ed 、 Eb,利用,对b点,ac 为等温线, T = 常数。,利用,
