1、119第 10 章 统计物理学基础10.1 要求1 了解气体分子热运动的图形，从而建立模型，进行统计平均的思想方法；2 了解麦克斯韦速率分布规律、分布函数和分布曲线的物理意义；3 理解分子运动论、平衡态、理想气体内能；4 从微观和宏观上理解压强、温度和内能的概念；5 通过理想气体的刚性模型，理解气体分子平均碰撞频率、平均自由程；6 掌握理想气体状态方程、压强公式、温度公式和能量按自由度均分原理、分子平均自由程和麦克斯韦速率分布率；6 熟练掌握气体分子运动速度的算术平均值、方均根速率和最概然速率。10.2 气体动理论提要1 平衡态在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态叫平衡
2、态。2 理想气体压强公式微观公式wnvmP321压强单位换算 1mmHg=133.322 帕， ；PacmHgat 51032.7613 温度的宏观统计意义（理想气体分子平均平动动能） KT24 等温气压公式 RgheP05 理想气体状态方程：描述在平衡态的理想气体的宏观量有下述关系：，式中 k 为玻耳兹曼常数，R 为nTPRMV, KJN/138,230普适气体常数 ，n 为分子密度，M 为气体质量， 为摩尔KmolJ/31.8质量。6 能量均分定理：在平衡态下，分子热运动的每一个自由度的平均动能都相等，且等于 ；以 i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总T2平均动能为 KTit2 个
3、 mol 理想气体的内能 ；RiME1207 速率分布函数 Ndvf)(麦克斯韦速率分布函数 KTmveT2/2/3)4三种速率： 1） 平均速率 Rv60.12） 方均根速率： 32RT7.13） 、最概然（可几）速率 。RTvp4.8 气体分子自由程：对于同种分子 ；nd219 气体分子间的平均距离 3PKTL分子数密度分布 mghen/010.3 解题思路1 首先要建立统计概念，这里包括两点：一是要理解平均值的意义。对于分子的微观运动，我们不能给出一个分子的确定的信息，只能求出平均值，如分子数密度、平均动能、平均速率、平均自由程等都是大量分子的平均值；二是要理解分布的概念，这是从宏观上说
4、明气体微观运动情况的方法。应注意的是速率分布公式中的 f（v）也是一种平均值。因为由于分子间的无停息地无规则的碰撞，在某一给定速率区间的分子数在微观上是不可能恒定的，只有其平均值才有实际的意义。2 本章多数习题都可以直接选取已有的公式来求。但是要注意分析题目所给出的条件是否真的符合所用公式的条件。3 利用理想气体状态方法解题，首先要确定分析的系统，然后辨别其所处的状态，最后将同一平衡态的相关的状态参数（P 、V、T 、M ）代入状态方程求解。解题时要注意各量的单位。10.4 思考题选答1 在大气中随着高度的增加，氮气分子数密度与氧气分子数密度的比值也增大。为什么？答：将氮气和氧气按理想气体处理
5、，在大气中各产生自身的压强，根据压强公式： 故 , /0/0 RTghRTghenKPe ghRToNoNen22e 的指数上 h 的系数为正值，因此，氮气分子数密度与氧气分子22No数密度的比值随 h 的增加而增大。1212 地球大气层的电离中，电离气体的温度可达 2000K，但是每 cm中的分子数不过 个。这温度是什么意思？一块锡放到该处会不会被熔化？510答：在该处温度的意义适用于对温度的微观意义的理解，即温度和气体分子的平均动能有关。该处气体因紫外线照射而吸收能量使运动速度增大，因而温度升高了。但是，分子数的密度较小，它们与锡块碰撞时。并不能提供足够大的能量，所以锡块不会被熔化。3 液
6、体的蒸发过程是不是其表面一层一层地变成蒸汽？为什么蒸发时液体的温度会降低吗？答：液体的蒸发过程不是其表面一层一层地变成蒸汽，而是由于液体分子的速度各不相同，那些速度大、能量大的分子克服液面层内分子的引力而飞出液面的过程。由于速度大的分子出走了，剩下的分子的平均能量就小了。如果液体不能及时从外界吸取能量补充，温度就会降低。4 金属棒一端与沸水接触，另一端与冰水接触，可以达到棒内各处温度不随时间变化，能否说棒处于平衡态？为什么？答：一个孤立系统在足够长时间内，必定会趋向一个最终的宏观状态因孤立系统不受外界影响，宏观性质不再随时间变化，这时系统达到了平衡态。否则就是非平衡态。而棒与沸水和冰水不是一个
7、孤立系统，尽管达到棒内各处温度不随时间变化，但是，棒还是要受到外界影响。所以不能说棒处于平衡态。10.5 习题解答10.1 有两瓶气体，一瓶是氦气，另一瓶是氮气，它们的压强相等，温度也相等，但是体积不同，则： （A） 单位体积内的气体的质量相等：（B） 单位体积内的原子数相等：（C） 单位体积内的气体的分子数相等：（D） 单位体积内的气体的内能相等。 解：题意分析很重要！1 已知条件 ；eHNeTP,eV2 要求解的问题 气体的分子密度 、单位体积内分子数 n 和其内能 E；3 解题方法 解选择题有一定的技巧，首先从四个选题中获得有用的信息，尽可能地使问题简单化；然后，从比较容易的选项入手，比
8、如此题中，显然与已知条件 P、T 相关的物理量，就是 应用 公式和已知条件，,nKTP,T非常简便地求解：且， ，,nKeHNeT,HeN4 故（C ） 、单位体积内的气体的分子数相等，为正确答案。10.2 一个绝热容器，用质量可忽略的绝热板 P分开成体积相等的两部分，两边分别装入质量相等、 H2 O2温度相等的氢气和氧气，如图所示。开始绝热板 P固定，然后释放之，板 P 将发生移动（绝热板与容器 图 10.1122壁之间不漏气，且磨擦忽略不计） 。在达到新的平衡位置后，若比较两边温度的高低，则结果是（A） H2 比 O2 高；（B） H2 比 O2 低；（C） 两边温度相等，为原来的温度；（
9、D） 两边温度相等，且比原来的温度降低了。 解：1 已知条件 ；11122222 , TVMOHONOH 2 要求解的问题 比较 T1与 T2的大小？22T3 解题方法 应用（原理或公式）理想气体状态方程和已知条件求解：开始绝热板 P 固定时， ， , ，RV223,OHPP216OH氢器内压强是氧器内压强的 16 倍。（1）22216,OHnKTn当绝热板 P 释放后，其向氧气容器运动，直到新的平衡位置而静止不动。此时，两边压强相等。在达到新的平衡位置后，即nKT（2）22HOTn4 结论 联立（1）和（2）解 （B） 、H2 比 O2 低，为正确答案。221610.3 一个绝热容器被绝热板
10、 P 分成体积相等的两部分，一边装有氮气，温度为 250K，另一边装有氧气，温度为 300K，两者压强相等，求去掉绝热板后，两种气体的混合温度？解：1 目已知条件：混合前， ， ；KTVOHOee 310,25,22 2OHPe2 要求解的问题：混合后温度 T=？即求解混合气体的内能和温度之问题。 3 解题方法：已知混合前 P、T、V，求混合后温度 T，应用理想气体状态和内能公式求解：混合前（1）222, OHOOHHRRVPeeee 且总内能 （2）eeeee RE853220 混合后，总内能 （3）TTee HOOH)3(22能量守恒气体混合前后的总内能不变： RReeeH)5(82123
11、4 结论 。KTOHe 284310/528/53810.4 如图 10.2 所示，两个大小不同的容器用均匀细管连接，管中有一水银滴做活塞。大容器装氧气，小容器装氢气。 当温度相同时，水银滴静止于管中，则（A） 氧气的密度大； （B） 氢气的密度大； H2 O2 （C） 氧气和氢气的密度一样大；（D） 无法判断。 图 10.2解：1 已知条件 当温度相同、水银滴静止时，两个容器的压强相等；2 要求解的问题 静态平衡后，氧气和氢气的密度之比？3 解题方法 根据密度之定义和代入已知条件求解 RTPRTMPVHO222, 4 结论 ，氧气的密度比氢气的密度大， （A ）为正确答案。1622HO例 1
12、0.5 在推导理想气体呀强公式时，体现统计意义的两条假设是：（1） 假设： 沿空间各个方向运动的分子数目相等 ；（2） 假设： 。22zyxvv10.6 一容器贮有氧气，其压强 P=1.0atm，温度为 t=27C。则：（1） 单位体积内的氧气分子数为 n= ；（2） 氧气分子的密度 = ；（3） 氧气分子间的平均距离 d= 。解： 1 已知条件：P=1.0atm，t=27 C；2 要求解的问题：n、 和 d=？3 解题方法：根据理想气体物态方程和它们的定义求解；328.1)723(1.80, mkgRTPVMPV322354.0.1, KnT在平衡态下，假设分子均匀分布, 。3dV mn93
13、/125.)4(10.7 目前可获得的极限真空为 的数量级 , 若气温为 27C,此时Hg130124真空室内每立方厘米的空气分子数为 。解：1 已知条件 ，t=27C；mHgp1302 要求解的问题 压强单位转化和求 n=？3 解题方法 单位转化和应用压强公式求解1mmHg=133.322 帕， = ；13Pa10.= 。08., 23kTPnt 3.cm10.8 氢分子的质量为 ，如果其分子束每秒内有 个氢kg71 2310.分子，沿与器壁成 45 角的方向、以 的速率撞击在面积为 2.0cm的器sc/5壁上。试求该分子束对器壁所产生的压强？解：1 已知条件：M= ，N= ，=45，S=2
14、.0cm；kg27103.2310.2 求解的问题：压强 P=？3 解题方法：根据压强公式的推导过程，进行求解该分子束对器壁撞击前和后的动量 撞击前的动量： 45cos0VtNvi撞击后的动量： ；1i由动量定理 cs20vtFii压强的定义 .PaSP 3432723 105.10.1 10.9 若 N 为分子总数，T 为气体温度，为 m 气体分子的重量，那么当速度确定后，决定麦克斯韦速率分布函数 的数值的因素是：v )(vf（A）m、T； （B） 、N； （C） 、N、m； （D） 、N、T； （E） 、N、m 、T。 解 麦克斯韦速率分布函数 KTmvevf 2/3)2(4)当速度 确定
15、后，决定麦克斯韦速率分布函数 的数值的因素是 m 和 T。v )(f125故（A） 、m、T；为正确答案。 10.10 麦克斯韦速率分布曲线如图 10.3， )(vf图 10.3 中 处虚线两侧曲线下的面积相等，则： 0v（A） 为最可几速率；（B） 为平均速率； 0 0v 0v（C） 为方均根速率； 图 10.3（D）速率大于和小于 的分子数各占一半。 0v解：曲线下的面积表示各种速率的分子总数 N，（D） 、速率大于和小于 的分子数各占一半，为正确答案。010.11 两瓶不同的理想气体，它们的温度和压强都相等，但是体积不同，则它们分子数密度 、质量密度 和单位体积内气体分子的平均动能 有如
16、下关nVE系： （A） 、 不同， 不同， 不同；VE（B） 、不 同， 相同， 不同；（C） 、 相同， 不同， 相同；n（D） 、 不同， 相同， 相同。 VE解： 两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则它们的分子数密度 ， 相同；质量密度 不相同， 相同，kTpn,nVNn则 不同；而单位体积内总的气体分子的平均平动动能 相同。 23kTwE故选（C ） 、 相同， 不同， 相同；为正确答案。VE10.12 关于温度的意义，有下列说法：（1）气体的温度是分子平均动能的度量；（2）气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义；（3）温度的高低反映物体内分子
17、剧烈程度不同；（4）从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度。上述说法正确的是：（A） 、 （1） （2） （4） ；（B） 、 （1） （2） （3） ；（C） 、 （2） （3） （4） ；（D） 、 （1） （3） （4） 。 126解： 气体的温度公式 ， 气体的温度是分子平均动能的度231KTvmw量；气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义；温度的高低反映物体内分子剧烈程度不同。故选（B） 、 （1） （2） （3） ；为正确答案。10.13 图 10.4 中绘出了氢、氮和氧三种气体在相同温度下的速率分布曲线，图 10.410.14 设氢气的温度为 300C，
18、试求分布在速率间隔 30003010 内1sm的分子数 与间隔 内的分子数 之比。1N10smvp 2N解：已知 ，13v 110,svp根据麦克斯韦速率分布定律求解eKTNvf KTmv2/2/3)(4)(，smKTvp /181025738.237.2183021830e0.78。 pvvKTmv eeeNpp 1221)(221 212110.14 改错题 在 A、B、C 三个容器中，装有不同温度的同种的理想气体，其分子数密度之比 =1：2：4，方均根速率之比： =1：2：4，则n CBAvv2:其算术平均速率之比： =1：4：16，压强之比：CBAv:=1：4：16，以上关于算术平均速
19、率之比与压强之比是否正确？如有CBAP错误，请改正。答：以上关于算术平均速率之比与压强之比是不正确。由图可知其中曲线 1 代表 气分子的速率分布，曲线 2 代表 气分子的速率分布。解： ，曲线 1 代表氧pONpHvv分子速率分布、曲线 2 代表氮分子速率，分布。1271 对于不同温度的同种的理想气体， ，有RTvv3,82=1：2：4；CBACBATv：:2:2CBA2 理想气体压强公式 31mvnP=1：8：64。22: CBACBAv10.16 若室内生起炉火后，温度从 15升高到 27，而压强不变，则此时室内的分子数密度减少了：（A）0.5%；（B）4%；（C） 9%；（D）21%。
20、解：已知 T1=15，T2=27，P1=P2；求 =？n理想气体压强公式 kT则有 21n，故（B）4%为正确答案。.0,04.27315221 Tn10.17 两容器内分别盛有氢气和氮气，若它们的温度和质量分别相等，则：（A） 、两种气体分子的平均平动动能相等：（B） 、两种气体分子的平均动能相等：（C） 、两种气体分子的平均速率相等：（D） 、两种气体分子的内能相等。 解：解选择题原则上是越简越好，在四个选项中，寻找一个正确答案。气体分子的平均平动动能： ，已知 ，KTvmw2312121,Tm（A）两种气体分子的平均平动动能相等，为正确答案。10.18 有一瓶质量为 M 的氢气温度为 T
21、，则氢分子的平均平动动能为 氢分子的平均动能为 ，该瓶氢气的内能为 。解：， 。KTvmw231,25Ki 452MRTRiE10.19 已知大气随高度的变化规律为 ，设气温 t=5C，同时测TgheP0得海平面的气压和山顶的气压分别为 750mmHg 和 590mmHg，则山顶的海拔高度 。 （ ，P0 为 h=0 的压强）hmolkg/1293128解：已知 P1=750mmHg= ，P2=7.8 papa5510.0132.765 510， ， 所以 RTghe0 RTgh0ln 0lngRTh。m205.1248023.17l 410.20 温度为 27时，1mol 氧气具有的平动动能
22、为 E= ，具有的转动动能为 。解：已知 T=273+37=300K，氧气的平动自由度 i=3，转动自由度 i=2；301.8220RTiKiNE J3174.。Z 93.10.21 有 刚性双原子理想气体，其内能为 。31m J205.6（1） 、试求气体的压强？（2） 、设分子总数为 个，求分子的平均平动动能及温度？2104.5解：已知 V= ， E= ，N= ；求：P=？T=？32J27.62104.5,NKTiEKTVNnP，T362108.4.52，Jk10723。paVENKTVP 53210.1057.62510.22 一高速运动卡车突然刹车停下，试问卡车上的氧气瓶静止下来后，瓶
23、中氧气的压强和温度将如何变化？解答：高速运动的氧气瓶中的分子，在杂乱无章的运动的基础上，附加上在 X 方向上高速运动的速度；当卡车突然刹车停下，气体分子将与氧气瓶发生碰撞，其高速的 X 方向定向运动的动能，经过气体分子之间的频繁发生碰撞，逐步平均分配到 Y 和 Z 方向的自由度和其它自由度上去，达到平衡态时，能量逐步均分，其温度升高，压强增大。10.23 在恒定的压强下，气体分子的平均碰撞频率 Z 与热力学温度 T的关系为：129（A） 与 T 无关；Z（B） 与 成正比；（C） 与 成反比；（D） 与 T 无关。 Z解： ， ，mKTZKv8,8, mTdKZd2216,（C） 与 成反比为
24、正确答案。ZT题 24 气缸中盛有一定量的氢气，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率 和平均自由程 的变化情况是：（A） 和 都增加一倍；Z（B） 和 都减半；（C） 增加一倍而 减半；（D） 减半而 增加一倍。 Z解：已知：温度不变 ，压强增大一倍 1； 21T2P,2pdKv则 .,8,2121ZmT（C） 增加一倍而 减半；为正确答案。Z10.25 一定质量的理想气体，先经过等容过程使出其热力学温度升高一倍，再经过等温过程使其体积膨胀为原来的两倍，则分子的平均自由程变为原来的：倍 。解：1 研究温度 T 和压强 P 先经过等容过程 ，且 1，则有 ；21T12P再经过等温过
25、程： ，则有 ，故 ；232,VV3132 研究自由程1302,2,2,2 1313311 TppdKTpdTpdKT10.26 今测得温度为 t1=30C，压强为 P1=0.76m 汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为： ，求：mmNeAr 880.,07.6（1） 、氩分子和氖分子的直径之比？（2） 、温度为 =20C，压强为 =0.15m 汞柱高时，氩分子的平均自由2t 2程？解：（1） 71.023.6,2 NeArredpKTdpT（2） 。mArr 7821 8.15.037297.610.27 真空管的线度为 ，真空度为 ，有效直径为m0Hg 103的分子。求在 27C 时
26、，管内空气分子数密度、平均碰撞频率和平均自由程？解：已知：L= ，P= ，d=71g5103（1） 分子数密度；31723552.018.760mKTpn（2） 平均碰撞频率 sRTvdZ /4681294.3,8,23n /01094.32(3) 平均自由程： cmd 79.128.3.210由于 ， 21079.LL故实际上 。svZ/068.4410.28 绝热容器被隔板分为两半：一半是真空，另一半是理想气体。若把板隔抽出，气体将进行自由膨胀，达到平衡后，131（A） 温度不变，熵增加；（B） 温度升高，熵增加；（C） 温度降低，熵增加；（D） 温度不变，熵不变。 解答： 在板隔抽出后，气体将进行无限小的等温自由膨胀，达到平衡后温度仍然不变；根据熵增加原理：当一个孤立的热力学系统，从一平衡态绝热过程达到另一平衡态时，如果过程是不可逆的，它的熵的数值增加。所以（A） 温度不变，熵增加；是正确答案。
