第四章+数值积分和数值微分.ppt-道客多多

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1、1,第四章数值积分与数值微分,第一节 Newton-Cotes求积公式,第二节复化求积公式,第四节 Gauss求积公式,上一页下一页返回,2,要求,问题,上一页下一页返回,若能求出被积函数f (x)的一个原函数F(x)，则定积分 I能根据牛顿-莱布尼茨公式求出，即,面临的困难：,将求积分值转化为直接对定积分进行近似计算.,解决方法：,（即应用相应的数值积分公式进行计算）,3,一、数值求积的基本思想,只要对平均高度提供一种近似算法,便可相应的获得一种数值求积方法.,上一页下一页返回,第一节 Newton-Cotes求积公式,4,例如：,更为普遍的有：,为截断误差,又称求积余项.,

2、称为中矩形公式,上一页下一页返回,称为梯形公式,5,二、插值型求积法,则有,这种求积系数由(*)式所确定的求积公式称为插值型求积公式.,上一页下一页返回,其中lk(x)为插值基函数.,6,插值型求积公式的求积余项为,上一页下一页返回,依次取(x)=1,x,x2验证求积公式是否成立, 若第一个不成立的等式是(x)=xm+1,则其代数精度是m.,三、代数精度,代数精度的求法:,7,梯形公式,例：对于a, b上1次插值多项式，有,考察其代数精度:,取 f = 1：,=,取 f = x ：,=,取 f = x2 ：,代数精度 = 1,上一页下一页返回,8,四、Newton-Cotes公

3、式,上一页下一页返回,将a,b区间n等分，步长h，求积节点为xk=a+kh，k=0,1,n,由此构造插值型的求积公式，则其求积系数为：,令,9,Cotes系数,注：Cotes 系数仅取决于 n 和 k，可查表得到（P75表4-1）。与 f (x) 及区间a, b均无关。,上式称为n阶Newton-Cotes(牛顿-柯特斯)公式.,上一页下一页返回,n = 1:,梯形公式,10,n = 2:,辛普生(Simpson)公式,n = 4:,柯特斯(Cotes)公式,上一页下一页返回,n = 3:,牛顿(Newton)公式,11,解：,上一页下一页返回,12,解：,上一页下一页返回

4、,13,五、Newton-Cotes公式的误差分析,按照余项公式：,梯形公式的余项为：,上一页下一页返回,Ln,Simpson公式的余项为：,14,定理,n 阶牛顿柯特斯公式的代数精度为,上一页下一页返回,Newton-Cotes公式的稳定性和收敛性,15,上一页下一页返回,结论：此时的误差不会扩大太大,只要使 f ( xk )取得足够精确,初始数据的误差对计算结果影响不大，方法是稳定的.,16,Rn不一定趋于0，也就是说Newton-Cotes公式的收敛性也没有保证, 一般不采取高阶(n8)的Newton-Cotes公式。,上一页下一页返回,结论：考虑到当n8时，Newton

5、-Cotes系数有正有负，即使 f ( xk )取得足够精确，方法也可能是不稳定的。也就是说，方法不具有稳定性。,由于函数f (x)的n +1阶导数的不确定性，,17,Newton-Cotes公式是取等距节点作为插值节点,通过构造被积函数的Lagrange插值多项式而推导出来的求积公式,然而,随着插值节点的增多,求积公式的代数精度会提高. 而高次插值公式并不一定能取得好的效果,即通过提高插值多项式的次数来逼近f (x)的效果并不好.,第二节复化求积公式,上一页下一页返回,18,复化求积公式可以克服高次Newton-Cotes公式计算不稳定的问题, 运算简单且易于在计算机上实现。,把积分区

6、间a, b平均分成若干小区间xk , xk+1,上一页下一页返回,复化求积法的基本思想,第一步，在每个小区间上采用次数不高的Newton-Cotes求积公式，如梯形公式或Simpson公式；,第二步，对每个区间的近似积分值求和，用所得的值近似代替原积分值。,如此得到的求积公式称为复化求积公式。,19,则,把区间a,bn等分，取节点xk=a + k h, (k=0,1,.n), h=(b-a)/n,对每个小区间xk ,xk+1用梯形公式计算被积函数 f (x)在其上的积分,即,上一页下一页返回,一、复化梯形公式,20,（每个小区间上用辛甫生公式求积）,求和展开得,上一页下一页返回,二

7、、复化Simpson公式,21,上一页下一页返回,例对利用下表所给数据，利用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算的值。,解：用复化梯形公式计算,则：,= 3.1389885,22, 用复化Simpson公式计算,则：,上一页下一页返回,= 3.1415925,而准确值：,注意：T8和S4运算量基本相同，但是S4比T8精度高。,23,上一页下一页返回,解：用复化梯形公式计算,24, 用复化Simpson公式计算,则：,上一页下一页返回,= 5.033002,25,复化梯形公式的积分余项:由梯形公式的误差估计式可得在小区间xk , xk+1上有,所以,而由定积分的定义和New

8、ton-Leibnitz公式可得,所以,复化Simpson公式的积分余项:,上一页下一页返回,三、复化求积公式的截断误差,26,以复化梯形法为例介绍变步长求积法.,上一页下一页返回,四、变步长求积法,T2n的事后误差估计,27,所以,将这一关系式从0到n-1对k累加求和得,上一页下一页返回,下面建立T2n与Tn之间的递推关系：,28,上一页下一页返回,.,.,?,否:,综上可得变步长复化梯形法的具体过程:,.,是:,结束,令，,转到 .,29,上一页下一页返回,30,上一页下一页返回,说明T8精确到了小数点后第三位。,31,第四节 Gauss求积公式,构造具有2n+1次代数精度的求积公式,将节点 x0 xn 以及系数 A0 An 都作为待定系数。,上一页下一页返回,令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入可求解，得到的公式具有2n+1 次代数精度。,思路,这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。,32,例：求的 2 点 Gauss 公式。,依次取 f (x) = 1, x, x2, x3得,不是线性方程组，不易求解。,解：设，应有 3 次代数精度。,上一页下一页返回,由第二式和第四式可得：,结合第一式和第三式可得：,则得求积公式,该公式有3次代数精度,

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