1、第四章 数值积分,4.1 梯形求积公式、Simpson求积公式和Newton-Cotes公式4.2 复化求积公式4.3 自动选取积分步长4.4 求积公式的误差4.5 龙贝(Romberg)方法,引 言,工程上经常用到积分运算，但用牛顿莱布尼兹公式计算定积分时常遇到如下情况：,因此要求建立积分的近似计算方法。,常用插值多项式来构造数值求积公式,这样建立的求积公式称作插值求积公式,(4.1),4.1 梯形求积公式、Simpson求积公式和Newton-Cotes公式,并计算,作为积分值的近似值，得,(4.2),即梯形求积公式,一、梯形公式：,二、辛卜生求积公式：,从而求得求积公式,(4.3)称为辛
2、卜生(Simpson)公式（或抛物线求积公式）。,(4.3),三、牛顿柯特斯公式：,(4.4),4.2 复化求积公式,当积分区间a，b较大时，直接使用上述公式所得近似值的精度很低，实际应用中往往采用复合求积的方法。,一、定义：将积分区间分成几个小区间，在每个小区间上用上述公式计算积分的近似值，即为复化求积。,二、复化梯形求积公式：,由梯形公式，在第i个小区间上,称为复化梯形公式,(4.5),三、复化辛卜生公式,(4.6),四、复化牛顿柯特斯公式：,则有复化牛顿柯特斯公式：,(4.7),例计算：,解：,其中,= 3.138988494,其中,= 3.141592502,都需调用9次函数，但精度差
3、别很大，故常用复化 辛卜生公式。,上机时，可以通过循环来实现公式4.6。,4.3 自动选取积分步长,复化求积方法对提高精度是行之有效的，但是使用复化求积公式之前必须给出合适的步长，步长取的太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加。而事先给出一个恰当的步长是困难的。实际计算时通常采用变步长的求积方案，即在步长逐次折半（或称步长二分）的过程中，反复利用复化的求积公式进行计算，直到二分前后两次积分近似值相当符合为止。下面以梯形公式为例，探求变步长的计算规律。,(4.8),(4.9), 算法设计与流程图：,算法：1 输入初值；2 按公式（4.9）求二分后的积分值，从第一个分点出发取h为步长，逐步
4、向右跨，即可依次确定（4.9）中的各个分点，并将所得分点暂存于单元x中；3 控制精度；4 修改步长。流程图：（略）,练习：分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分：,（1） ，4等分积分区间；（2） ，8等分积分区间 ；（3） ，6等分积分区间。,（1）,（2）,（3）,答案：,4.4 求积公式的误差,一、梯形公式：,证明：由第二章余项公式，有：,(4.10),于是(4.10)成立。,2、复化梯形求积公式 (4.5)截断误差：,(4.11),(4.12),二、辛卜生公式：,1、辛卜生公式(4.3)截断误差：,2、复化辛卜生公式(4.6)截断误差：,(4.13),(4.14),(4.15),1
5、、牛顿柯特斯公式(4.4)截断误差：,三、牛顿柯特斯公式：,(4.16),2、复化牛顿柯特斯公式(4.7)截断误差：,(4.17),4.5 龙贝(Romberg)方法,复化的柯特斯公式，结构简单，易于上机实现，但收敛速度慢，为节约计算工作量，产生龙贝方法。Romberg算法是在积分区间逐次分半的过程中，对用复化梯形法产生的近似值进行加权平均，以获得准确程度较高的近似值的一种方法。优点：公式简练，使用方便，结果可靠。,一、基本原理：,由上节的误差估计式 (4.11),由公式 (4.11),则由上两式求得：,前已说过（见2.2），这种直接用计算结果估计误差的方法称为事后估计法。,(4.18),按估
6、计式(4.18)，,可能是更好的结果。,(4.19),例计算： （4.2 例题）,解法一：利用复化梯形公式变步长的方法，,解法二：利用公式（ 4.19）,二、龙贝求积公式：,(公式4.8),(公式4.5),代入前式：,(4.20),(4.21),(4.22),(4.23),(4.24),综上，可以在积分区间逐次分半的过程中，利用上述公式，将粗糙的近似值逐步精确，得到,这种算法称为龙贝算法。,例利用龙贝算法计算：,解,其中加速运算，只需作少量的四则运算，不涉及 求函数值。,在前述推导过程中，我们都假设函数的各阶导数 在积分区间内变化不大，但龙贝算法的成立，并 不需要上述假设。,三、算法与流程图：
7、,1、龙贝公式的简化：,如上例中，各近似值可以表示如下表：,前述龙贝公式可统一为：,(4.25),2、流程图：（略）,3、C+源代码：,#include #include using namespace std;const double E = 2.718281828;const double PI = 3.1415926;const double EPS = 1e-5;const int ROW_COL = 100;double matrixROW_COLROW_COL;,void InitialMatrix() int i; for (i=0; iROW_COL; i+) int j; f
8、or (j=0; jROW_COL; j+) matrixij = 0.0; return;inline double function(double x) /此处修改被积函数/ return 2 / sqrt(PI) * (pow(E, -x); return x * sqrt(1 + pow(x, 2);,void PrintMatrix(int x) int i; for (i=0; ix; i+) int j; for (j=0; jx; j+) cout matrixij ; cout endl; return;,int Romberg(double a, double b) / a
9、为积分下界, b为上界 double h = b - a; matrix00 = (h / 2) * (function(b) + function(a);int k = 0; int divideNum = 2; int i;,do k+; double sum = 0; double stepLen = h / (divideNum); double temp = a; for (i=0; idivideNum - 1; i+) temp += stepLen; sum += function(temp); divideNum *= 2; matrixk0 = stepLen / 2 *
10、(function(a) +function(b) + 2 * sum);,for (i=0; i EPS); return k;,int main() cout.setf(ios:fixed,ios:floatfield); cout.precision(7); InitialMatrix(); int x = Romberg(0, 3); PrintMatrix(x + 1); return 0;,3、Mathematica数值积分函数：,Integrate与NIntegrate函数均可计算定积分，前者是用准确的公式推导计算问题的精确解，即符号计算；后者是用近似的数值解求解，即数值计算。, 调用格式：,NIntegratef,x,a,b, 函数功能：, 课后练习：,要求：用9个点上的函数值即将积分区间8等分计算,答案：,
