1、第四章 数值积分和数值微分,内容提要 4.1 数值积分概论 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.8 数值微分,4.1 数值积分概论 一、数值积分的基本思想对定义在区间a,b上的定积分,但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分 复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计 算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此 有必要研究积分的数值计算问题。,积分中值定理,平均高度,梯形公式,平均高度,中矩形公式,平均高度,更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式,求积节点,求积系数,这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为
2、函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。,二、代数精度的概念,利用代数精度的概念求求积公式的代数精确度,利用代数精度的概念构造求积公式,三、插值型的求积公式,4.2 牛顿-柯特斯公式 一、牛顿-柯特斯公式的导出,柯特斯系数,牛顿-柯特斯公式的代数精度,4.3 复化求积公式一、问题与基本思想在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来
3、，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。,二、复化梯形公式,三、复化辛普森公式,4.4 龙贝格求积公式一、梯形公式的递推化(变步长求积法),于是可以逐次对分形成一个序列T1,T2,T4,T8,此序列 收敛于积分真值 I。当 |T2n-Tn|时，取T2n为 I 的近似值。 以上算法称为变步长求积法。 但由于此序列收敛太慢 ，因此并不实用.现我们试图将它改造成为收敛快的序列。,二、龙贝格算法 如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中 心问题。,这样我们从收敛较慢的Tn序列推出了收敛较快的Sn序列。 可以证明Sn序列实际上就是逐次分半
4、的复化辛普森公式序列。,这样我们从 Cn 序列又推出了收敛更快的 Rn 序列. 我们从收敛较慢的Tn序列只用了一些四则运算，便推出了收敛更快的 Sn 序列, Cn 序列和 Rn 序列。,运算顺序表,这里利用二分3次的数据（它们的精度都很差，只有两三位 有效数字）通过三次加速求得T3(0)=0.9460831,这个结果的每 一位数字都是有效数字，可见加速效果是十分显著的。,4.8 数值微分 一、中点方法与误差分析数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微分公式。,计算结果,从表中可以看到h=0.1的逼近效果最好，如果进一步 缩小步长，则逼近效果反而越差。,二、插值型的求导公式,三 、三次样条求导,知 识 结 构 图 四,函数 逼近 理论,预备知识,范数（定义、常用范数）,内积（定义、柯西-施瓦茨不等式、内积诱导范数）,正交多项式（性质、正交化方法、常用正交多项式的定义和性质）,函数逼 近方法,最佳一致 逼近多项式,最佳平方 逼近,定义 存在唯一性定理 切比雪夫定理 最佳一次逼近多项式的确定,最小二乘 拟合,定义 法方程组和平方误差 基于正交基的最佳平方逼近,离散内积定义 法方程组及哈尔条件 基于正交基的最小二乘拟合,End!,
