1、Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,第三章 习题课,下页,上页,首页,第三章 习题课,1、罗尔中值定理,下页,上页,首页,罗尔中值定理,2、拉格朗日中值定理,有限增量公式.,下页,上页,首页,拉格朗日中值定理,3、柯西中值定理,推论,下页,上页,首页,柯西中值定理,4、洛必达法则,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,注意：洛必达法则的使用条件.,下页,上页,首页,洛必达法则,5、泰勒中值定理,下页,上页,首页,泰
2、勒中值定理,常用函数的麦克劳林公式,下页,上页,首页,常用函数的麦克劳林公式,6、导数的应用,定理,(1) 函数单调性的判定法,下页,上页,首页,函数单调性的判定法,定义,(2) 函数的极值及其求法,下页,上页,首页,函数的极值及其求法,定理(必要条件),定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,下页,上页,首页,定理(第一充分条件),定理(第二充分条件),下页,上页,首页,定理(第一充分条件),求极值的步骤:,下页,上页,首页,求极值的步骤,步骤:,1.求驻点和不可
3、导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),(3) 最大值、最小值问题,下页,上页,首页,最大值、最小值问题,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求最值;,(4) 曲线的凹凸与拐点,定义,下页,上页,首页,曲线的凹凸与拐点,下页,上页,首页,曲线的凹凸与拐点,定理1,下页,上页,首页,曲线的凹凸与拐点,方法1:,方法2:,下页,上页,首页,方法,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,(5) 函数图形的描绘,下页,上页,首页,函数图形的描绘,第三步,
4、第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;,第五步,下页,上页,首页,函数图形的描绘,(6) 弧微分 曲率 曲率圆,曲率的计算公式,下页,上页,首页,弧微分 曲率 曲率圆,定义,下页,上页,首页,例1,解,二、典型例题,下页,上页,首页,证明方程,有且仅有三个实根。,由观察,得是方程的一个根,考查,在,，,上有, 方程还有另两根分别在,和,典型例题,下页,上页,首页,上假设还有第4个根，设其为,则连续三次使用罗尔定理有,，,但，,，引起矛盾, 方程有且仅有三根,典型例题,例2,解,下页,上页,首页,典型例题,例3,证,由介值定理,下页,上页,首页,典型例题,注意到,由, 有,+
5、,得,下页,上页,首页,典型例题,例4,证,下页,上页,首页,典型例题,例5,证,下页,上页,首页,典型例题, ,则有,下页,上页,首页,典型例题,例6,解,下页,上页,首页,典型例题,若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有,下页,上页,首页,典型例题,解此方程组得,故所求作抛物线的方程为,曲率圆的方程为,两曲线在点处的曲率圆的圆心为,下页,上页,首页,典型例题,例7,解,奇函数,下页,上页,首页,典型例题,下页,上页,首页,典型例题,列表如下:,下页,上页,首页,典型例题,极大值,拐点,极小值,下页,上页,首页,典型例题,作图,下页,上页,首页,典型例题,测 验 题,下页,上页,首页,测 验 题,下页,上页,首页,测 验 题,下页,上页,首页,测 验 题,下页,上页,首页,测 验 题,下页,上页,首页,测 验 题,下页,上页,首页,测 验 题,下页,上页,首页,测 验 题,下页,上页,首页,测 验 题,测验题答案,下页,上页,首页,测验题答案,七、,下页,上页,首页,测验题答案,
