1、,习题课,一、 内容小结,二、实例分析,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一章 行列式,一、内容小结,1. 行列式的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 行列式的性质及行列式的计算,3. Cramer法则,二、实例分析,用性质可化为三角行列式或降阶的行列式某些行列式利用性质消去某一行(某一列)的大部分元素后可以直接化为三角行列式或直接降阶.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,将第一行依次加到其他行上便得到一个上三角 行列式且主对角线上元素依次为1,2,n.因此, A=n!,例2. 计算n阶行列式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,第
2、一行乘以(-1)依次加到其余各行上去,得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将第2列至第n列都加到第一列上，得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 按某一行(列)展开法,将行列式按某一行(或一列)展开也是计算行列式的 重要的方法.这种方法常在某一行(列）元素零比较 多时或在某些理论证明题中运用.,例3,计算下列n阶行列式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,按第一列展开,经计算得,例 6 求下列行列式的值:,解 按第一行展开并注意：,an 的余子式,是一个上三角行列式,其值为(1)n1;, 的余子式是与Fn 相似的n 1阶行列式,记为Fn1 ,
3、于是,Fn = Fn 1 + (1)1+n(1)n1an,= Fn 1 + an,利用递推关系可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 提取因子法,在含有文字变量(单项式或多项式)的行列式中,如 当某个变量取某个特定值时行列式值为零,则该行 列式必含有某个特定的因子.用这种方法常常可以 巧妙地将行列式的值求出来.,例4.,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,计算行列式的值,解,从观察看出行列式每一行的和相同,因此将第 二列.第三列.第四列都加到第一列上去便可以 提出一个因子(x+y+z).又将第二行乘以1,第三. 第四行乘以-1都加到第一行上,便可以提出因,机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束,子(x-y-z).类似地有因子(x-y+z),(x+y-z).因此,行列式 A的值为,A=k(x+y+z)(x-y-z)(x-y+z)(x+y-z).,为了决定k的值,可令x=1,y=z=0代入,求出k=1,因此,A=(x+y+z)(x-y-z)(x-y+z)(x+y-z).,例6,计算行列式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,显然当x=0,y=0时A=0.因此含有因子xy.若将-x代x 得到的行列式仍和A相等(只要将第一行.第二行对 换,再将第一列.第二列对换). 可见,A含有因子,同理A含有因子,.而,项的系数是1,因此,4. 各行(列)元素和相等的行列式,若一个
5、行列式各行(或列)的和相等,则可以将这些行 (列)加起来,提取因子后往往可以计算出行列式的值来.,例7 设,分别是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根,求下列行列式的值.,解,由Vieta定理,将后两列都,加到第一列上去,第一列变为零.因此A=0.,例7 计算n阶行列式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 将所有行加到第一行提出因子消去第一行化为n-1阶行 列式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再将得到的行列式的最后一行乘以-1依次加到前面 n-2行上去,得到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此得到,递推法和数学归纳法,递推法的常用步骤
6、是:按行(列)展开行列式,使行列 式降阶,比较原行列式和降阶后的行列式的异同, 找出递推关系,如降阶一次仍看不出关系,可再降一 次试试.从递推式求通式往往需要一定的技巧,如 下例.数学归纳法也是一种常用的方法,本质上也是 一种递推法.许多问题用数学归纳法证明往往比较 简单,但它必须事先知道结论.因此有时可以先猜出 结论,然后归纳地证明它.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8 求下列n阶行列式的值,解 将所有行加到第一行上去,再按第一行展开 得,不难得到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9 计算n阶行列式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同
7、理(转置)有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,解得,若,由递推得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10 设行列式,求证:,证明 用数学归纳法.当n=1,2时结论显然正确,假定结论在 小于n时正确.将 按第n列展开,得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,将归纳假设代入上面的式子就可得到结论.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6. 利用Vander Monde行列式的计算,某些行列式(通常是文字行列式)可以归结为Vander Monde行列式,但通常需要一定的技巧.,例11 设,求行列式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 将原行列式写为,显然,利用行列式性质可将行
8、列式每一列消去除最高次 项外的其他项, 得到一个Vander monde 行列式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,=0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12 设t是一个参数,求证:,其中,7. 分拆法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式中的右边一个行列式用-1乘以第一列加到后面 的列上去,得到:,再对另一个行列式第二列拆成两列展开,不断这样 做下去就可得到结论.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,升阶法 例 13 计算,解 将行列式升阶为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回
9、 结束,将第一行拆开,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将后面一个行列式从最后一列起依次减去前面的一列,得到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 14 计算,解 注意这个行列式和Vander Monde行列式的区别在 于它们的最后一列.现添上一行一列使之成为Vander,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Monde 行列式,再求出,则,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9. Laplace定理的应用,例15 利用行列式的Laplace定理证明,证明 显然下列行列式的值为零:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 16 计算2n阶行列式,解,不断用Laplace定理(第一行及最后一行),即可,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的值为,得行列式,10 . 其他例子,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明: 作一个行列式,
