1、 二次函 数及二次函数的图 象知识精讲 知识 要点 1. 一 般地 ，形 如 ) 0 a c , b , a ( c bx ax y 2 是常数， 的函数 叫 作x 的 二次 函数 。 2. 如 图， 二次 函数 2 x y 的图 象 是一条 抛物 线， 它的 开口 向上， 且关 于 y 轴 对称 ， 对 称轴与 抛物 线的 交点 是抛 物线的 顶点 ，它 是图 象的 最低点 。 10 y x 2 2 -2 -4 4 4 6 8 O 3. 二 次函 数 2 x y 的图象 是一 条 抛物线 ，它 的开 口向 下， 且关 于 y 轴对 称， 对称 轴 与抛物 线的 交点 是抛 物线 的顶点 ，
2、它是 图象 的最 高 点， 它的 图象 与 2 x y 的图象 关 于 x 轴对 称。 4. 二 次函 数 2 ax y 的图象 是一 条 抛物线 ， 且 关于y 轴对 称， 当a0 时， 它的 开口向 上， 图象有 最低 点 原 点； 当 a0 ，b0 ，b0 ，c=0 答案：D 例 2. 在同 一直角 坐标 系中， 直 线 y=ax+b 和 抛 物线 ) 0 c ( c bx ax y 2 的图象 只 可能是 图中 的（ ） 答案：C 例 3. 在 同一直 角坐标 系中， 函数 ax bx y b ax y 2 2 和 的图象 只可能 是图中 的 （ ） 答案：D 例4. 抛 物线 m 3
3、 ) 1 m 2 x ( 2 1 y 2 的顶 点 在y 轴上 ， 则m 的值 为_ 。 答案： 2 1例5. 按 要求 求出 下列 二次函 数的 解析 式： （1）形状与 2 x 3 1 y 2 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0， 3） 的抛 物线 的解 析式 ； （2） 与抛 物线 2 x 5 1 y 2 关于x 轴 对 称的抛 物线 的解 析式 ； （3） 对称 轴是y 轴 ， 顶 点 的纵坐 标是 2 7 ， 且经 过 （1 ，1） 点 的抛 物线 的解 析式 。 解：（1 ） 3 x 3 1 y 2 （2） 2 x 5 1 y 2 （3） 2 7 x 2 9 y 2 例
4、6. 已 知函 数 1 x 2 x 2 1 y 2 （1） 写出 抛物 线的 开口 方 向，顶 点坐 标、 对称 轴及 最值； （2） 求抛 物线 与 x 轴、y 轴的交 点； （3） 观察 图象 ：x 为何 值 时，y 随 x 的增 大而 增大 ； （4） 观察 图象 ： 当x 为 何 值时，y0 时， 当 x 为何 值 时，y=0；当 x 为何 值时 ，y0 当 2 2 x 时，y=0 当 2 2 x 2 2 时，y0 且 x 0 时，y 总取负 值 B. 当a0 且x0 时，y 随x 的增 大而 减小 C. 当a0 时， 函数 的图 象 有最低 点， 即 y 有最 小值 D. 当x0 时
5、， 2 ax y 的对 称轴 是y 轴 3. 直线 1 x 2 y 与抛 物线 2 x y 的交 点 坐标为 （ ） A. （0 ，0 ）， （1，1） B. （1 ，1 ） C. （0 ，1 ）， （1，0） D. （0 ，2 ）， （2，0） 4. 已知 1 a ，点 ） ， ）、（ ， ）、（ ， （ 3 2 1 y 1 a y a y 1 a 都 在 函 数 2 x y 的 图 象 上，则 （ ） A. 3 2 1 y y y B. 2 3 1 y y y C. 1 2 3 y y y D. 3 1 2 y y y 5. 函数 ） （ 和函数 0 a a ax y ax y 2 在 同
6、 一 坐 标 系 中 的 图 象 大 致 是 图 中 的 （ ） y y y y x x x x O O O O A B C D 二、填 空题 1. 抛物 线 3 x 2 1 y 2 的图象 开口_ ， 对 称轴 是_ ， 顶点 坐标 为_ ，当x=_时，y 有最_ 值为_ 。 2. 当 m=_ 时 ， 抛 物 线 3 x ) 1 m ( y m m 2 开 口 向 下 ， 对 称 轴 是 _ ， 在对 称轴 左 侧，y 随x 的增 大而_ ，在 对称 轴右 侧，y 随 x 的增 大 而_ 。 3. 抛物线 2 2 x 3 y x y 与 相比，_ 的开口更小，也就是 说明某函数值的 增长速
7、度较 快一 些。 4. 若点 P （1 ，a ）和 Q （1 ，b ） 都 在 抛 物 线 1 x y 2 上 ， 则 线 段 PQ 的 长 是 _ 。 5. 设 2 1 x x 、 是关于 x 的 一 元 二 次 方 程 2 a ax x 2 的 两 个 实 数 根 ， 则 ) x 2 x )( x 2 x ( 1 2 2 1 的最大 值为_ 。 三、解 答题 1. 某商 人如 果将 进货 单 价为 8 元的 商品 按每 件 10 元出售 ， 每 天可 售出 100 件。 现 在 他采用 提高 售出 价， 减少 进货量 的办 法增 加利 润， 已知这 种商 品每 提 高1 元 ， 其 销售
8、量就 要 减少 10 件 ，如 果他 每天 所 赚利润 为 y 元， 试求 出 y 与售出 价x 之间 的函 数关 系式。 2. 已知 抛物 线 3 x 2 y ax y 2 与直线 交于 A 、B 两 点， 已 知 A 点的 横坐 标是 3，求 A、B 两点 的坐 标及 抛物 线 的关系 式。 3. 某地 解放 大桥 拱形 钢 梁呈抛 物线 状， 拱 顶 A 离 桥面 50m ，桥 面上拱 形钢 梁之间 距 离BC=120m ，建 立如 图所 示的直 角坐 标系 。 （1） 写出A、B 、C 三点 的 坐标； （2） 求该 抛物 线的 解析 式 。 4. 卢浦 大桥 拱形 可以 近 似看作
9、抛物 线的 一部 分， 在大桥 截 面 1：11000 的 比 例图上 ， 跨度AB=5cm ， 拱 高OC=0.9cm ， 线 段 DE 表 示大 桥拱 内 桥长，DE/AB ， 如图1 所 示。 在 比例 图 上，以 直线AB 为 x 轴 ，抛 物线的 对称 轴为 y 轴 ，以1cm 作为 数轴 的单 位长 度 ，建立 平面 直 角坐标 系， 如 图2 所 示。 （1） 求出 图 2 上 ，以 这一 部分抛 物线 为图 象的 函数 关系式 ，并 写出 函数 自变 量取 值范围 。 （2） 如果 DE 与 AB 的距 离 OM=0.45cm ， 求卢 浦大 桥拱内 实际 桥长 。（ 4 .
10、1 2 ， 计算结 果精 确 到1 米 ）。 5. 如图 ，有 一座 抛物 线 形拱桥 ，在 正常 水位 时， 水面 AB 的宽 为 20cm ， 如 果水位 上 升3m 时， 水面CD 的宽是 10m。 （1） 建立 如图 所示 的直 角 坐标系 ，求 此抛 物线 的解 析式； （2）现 有一辆 载有救 援物 资的货车 从甲 地出发 需经 过此桥开 往乙 地，已 知甲 地距此 桥 280km （桥 长忽 略不 计） ， 货车正 以每 小 时 40km 的 速 度开往 乙地 ， 当 行驶1 小 时时， 忽然 接 到紧急 通知 ： 前方连 降暴 雨， 造成 水位 以每小 时0.25m 的 速度
11、持续 上涨 （货 车 接到通 知时 水 位在 CD 处， 当水 位达 到桥 拱最高 点 O 时， 禁止 车辆 通行） 。试 问： 如果 货车 按原来 速度 行 驶， 能 否安 全通 过此 桥？ 若能， 请说 明理 由。 若不 能， 要 使货 车安 全通 过此 桥， 速 度应 超过 每小时 多少 千米 ？ 【试题答案】 一、 1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 二、 1. 向 下，y 轴 ，（0 ，3 ），0 ，大 ，3 2. 2，y 轴 ，增 大， 减小 3. 2 x 3 y 4. 2 5. 8 63 三、 1. 1600 x 280 x 10 ) 10 x ( 10 100 )
12、 8 x ( y 2 2. A （3 ，9），B （1 ，1）， 2 x y 3. （1）A（0 ，50 ），B （60 ，0 ），C （60 ，0 ） （2） 50 x 72 1 y 2 4. 解： （1） 由于 顶点 C 在 y 轴上 ，所 以设 以这 部分抛 物线 为图 象的 函数 关系式 为 10 9 ax y 2 ， 因为 点 A （ 2 5 ，0） （ 或 B （ 2 5 ，0 ） ） 在抛 物线 上， 所以 10 9 ) 2 5 ( a 0 2 ， 得 125 18 a 。因 此， 所求 函数 关系 式为 ) 2 5 x 2 5 ( 10 9 x 125 18 y 2 。 （2）
13、 因 为 点 D、E 的纵 坐 标为 20 9 ， 所以 10 9 x 125 18 20 9 2 ，得 2 4 5 x ， 所以 点D 的 坐标 为 （ 2 4 5 ， 20 9 ） ， 点E 的坐标 为 （ 4 2 5 ， 20 9 ） ， 所 以 ) 2 4 5 ( 2 4 5 DE 2 2 5 ， 因此， 卢浦 大桥 拱内 实 际桥长 为： 385 2 275 01 . 0 11000 2 2 5 （米） 。 5. （1） 解： 设抛 物线 的解析 式为 2 ax y ，桥 拱最 高 点O 到水 面 CD 的 距离 为 h 米， 则D（5，h），B （10 ，h3 ） 1 h 25 1 a 3 h a 100 h a 25 解得 抛物 线的 解析 式为 2 x 25 1 y （2） 水 位 由 CD 处涨 到点O 的时 间为 ： 4 25 . 0 1 （小时） ， 货 车按原 来的 速度 行 驶的路程为： 280 200 4 40 1 40 ，货车按原速行驶不能安全通过此 桥，设货车速 度提高 到 x 千米/时 ，当 280 1 40 x 4 时 x=60 ， 要使 货车 安全 通 过此桥 ，货 车的 速度 应 超过 60 千米/时。
