1、对于简单的实际问题，可用初等数学的方法来构造和建立模型。,第二章 初等模型,衡量一个模型的优劣，在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。,2.1 公平的席位分配,问题,1、三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会议 共20席，按比例分配，三个系分别为10, 6, 4席.,2、因学生转系, 三系人数为103, 63, 34, 如何分配20席?,3、若代表会议增加1席，如何分配21席?,比例加惯例,对丙系公平吗,背景,Hamilton (比例加惯例) 方法- 1792年美国国会用于分配各州众议员名额,已知: m方人数分别为 p1, p2, pm, 记总人数为 P= p1+
2、p2+pm, 待分配的总席位为N.,记 qi=Npi /P, 称为第i方的份额(i =1,2, ,m),各方先分配qi的整数部分qi,记ri =qi-qi, 则第i方的分配名额ni为,Hamilton方法的不公平性,1. p1, p2,pm不变, N的增加会使某个ni减少 (上例).,Hamilton方法的不公平性,2. N不变, pi 比pj的增长率大, 会使 ni减少 nj增加(下例).,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1= p2/n2 时，分配公平,p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10,
3、 p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,实际上右面对A的不公平程度已大大降低!,虽然左右两种情况的绝对不公平度相同.,若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案应使 rA , rB 尽量小,设A, B已分别有n1, n2 席, 若增加1席, 问应分给A, 还是B?,不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平., 对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义 rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,
4、 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定义,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,则这席应给 A,2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1, n2),应计算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给,应讨论以下几种情况:,初始 p1/n1 p2/n2,问：,p1/n1p2/(n2+1) 是否会出现？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 则这席应给 B,“公平”分配方法,当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该
5、席给A,该席给A,否则, 该席给B,推广到m方分配席位,计算,该席给Q值最大的一方,Q 值方法,“公平”分配方法,三系用Q值方法重新分配 21个席位,按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,Q2, Q3同上,Q3最大，第21席给丙系,甲系11席, 乙系6席, 丙系4席,Q值方法分配结果,公平吗？,Q1最大，第20席给甲系,模型的公理化研究,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？,席位分配的公理 (1974),份额qi=Npi /P, 分配名
6、额ni = ni (N, p1, , pm ),已知p1, p2, pm , P, N,1) qi ni qi+1 (i=1,2, m) 公平分配性,2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) 名额单调性,“比例加惯例”方法满足公理 1，但不满足公理2.,模型的公理化研究,ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) ,Q值方法满足公理2, 但不满足公理1（如下例） .,模型的公理化研究,不存在满足上述公理的席位分配方法 (1982),qi ni qi+1 (i=1,2, m) ,公平的席位分配,建立“公平分配席位”模型的关键是建
7、立衡量公平程度的数量指标.,在以相对不公平度为衡量指标的前提下, Q值方法比“比例加惯例”方法更加公平.,如果采用公理化方法提出公平分配席位的理想化原则，那么该问题尚未解决已证明不存在满足一组公理的席位分配方法.,问 题,在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？,要求,不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系.,思考,计数器读数是均匀增长的吗？,2.2 录像机计数器的用途,经试验，一盘标明时间为180分钟的录像带从头走到尾，计数器读数从0000变到6061.,观察,计数器读数增长越来越慢！,录像机计数器的工作原理,录像带速度是
8、常数,问题分析,模型假设,录像带的运动速度是常数 v ；,计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；,录像带厚度为常数 w；,空右轮盘半径记作 r ；,时间 t=0 时读数 n=0 .,建模目的,建立时间t与读数n之间的数量关系.,（设v,k,w ,r为已知参数）,模型建立,建立t与n的函数关系有多种方法,1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 即,2. 考察右轮盘面积的增加，等于录像带厚度乘以转过的长度，即,模型建立,模型中有待定参数,一种确定参数的办法是测量或调查,难！,参数估计,参数估计,另一种确定参数的方法测试分析,将模型
9、改记作,只需估计 a,b.,理论上，已知t=180, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可.,实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合.,现有一批测试数据：,用最小二乘法可得,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型：,模 型 应 用,回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分， 剩下的录像带能录 180 -116.4= 63.6分钟的节目.,揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可.,录像机计数器的用途,日常生活中的问题(录制节目),数学建模全过程的典型示例,问题,双层玻璃窗与同样
10、多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失,建模,热传导定律,Q 单位时间单位面积传导的热量,T温差, d材料厚度, k热传导系数,2.3 双层玻璃窗的功效,Ta,Tb,记双层玻璃窗传导的热量Q1,Ta内层玻璃的外侧温度,Tb外层玻璃的内侧温度,建模,记单层玻璃窗传导的热量Q2,双层与单层窗传导的热量之比,玻璃k1=410-3 8 10-3, 空气k2=2.510-4, k1/k2=16 32,对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，,取k1/k2 =16,建模,模型应用,取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。,结果分析,Q
11、1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。,房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。,双层窗的功效不会如此之大,2.4 汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：,背景与问题,正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时，后车与前车的距离应增一个车身的长度.,实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：,后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何,判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样；,建立数学模型，寻求更好的驾驶规则.,问题分析,常识：刹车距离与车速有关,10英里/小时(16km/h)车速下2秒钟行驶29英尺
12、( 9m),车身的平均长度15英尺(=4.6m),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同.,刹车距离,反应时间,司机状况,刹车系统灵敏性,制动力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作减速运动.,车速,假 设 与 建 模,1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和.,2. 反应距离 d1等于车速 v 乘以 反应时间t1.,3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;,F d2= m v2/2,F m,且F与车的质量m成正比.,反应时间 t1的经验估计值为0.75秒.,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k.,模 型,最小二
13、乘法 k=0.06,“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”,模 型,2.5 划艇比赛的成绩,对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系. 试建立数学模型揭示这种关系.,问题,准备,调查赛艇的尺寸和质量,问题分析,前进阻力 浸没部分与水的摩擦力,前进动力 桨手的划桨功率,分析赛艇速度与桨手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:,模型假设,1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比,2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比,符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 桨手数 n, 桨手功率 p, 桨
14、手体重 w, 艇重 W.,艇的静态特性,艇的动态特性,3）w相同，p不变，p与w成正比,桨手的特征,模型建立,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n,np fv,模型检验,利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验.,与模型吻合！,划艇比赛的成绩,对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.,利用物理基本知识分析问题.,模型假设比较粗糙.,利用简单的比例方法建模.,模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！),2.6 动物的身长和体重,背景与问题,研究四足动物躯干的长度与体重的关系.,家畜收购站 (屠宰场) 希望从躯干长度估计体重.,不陷入各种动物生理结
15、构的研究.,问题分析,将动物躯干类比为圆柱形的弹性梁，四肢为支架，借助弹性力学的已有结果进行分析.,假 设 与 建 模,1. 躯干为圆柱体，长度 l, 直径 d, 断面面积 s.,2. 圆柱体为弹性梁，四肢为支架.,3. 动物在自身体重 f 作用下，躯干最大下垂为 b (梁的最大弯曲).,4. 弹性力学的已有结果：,5. 由 f sl ,得,b/l是动物躯干的相对下垂度.,在长期进化过程中每种动物的 b/l 已经达到最合适的数值，即 b/l=常数(与动物尺寸无关).,b/l 太大，四肢无法支撑；,b/l 太小，四肢的尺寸超过支撑躯干的需要，不合乎生物进化论.,对于一种四足动物由统计数据确定系数
16、k .,l3 d2,f sl, s d2, l3 d2,假设与建模,可以从躯干长度 l 估计动物体重 f .,动物的身长和体重,将动物躯干类比为弹性梁充满想像力 的大胆假设!,类比法是数学建模的一种常用方法.,问题,甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案.,用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图：,若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y),都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y).,2.7 实物交换,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占
17、有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度,即p1, p2对甲是无差别的.,将所有与p1, p2无差别的点连接起来, 得到一条无差别曲线MN.,线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度.,比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上, 于是形成一族无差别曲线（无数条）.,无差别曲线族的性质：,单调减(x增加, y减小),下凸(凸向原点),互不相交,在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;,在p2点占有y少、x多，就要以较多的 x换取较少的 y.,甲的无差别曲线族记作,f(x,y)=c1,c1满意度,（f 等满意度曲线）,甲的无差别曲线,
18、乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）.,双方的交换路径,乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系xOy, 且反向）,甲的无差别曲线族 f=c1,双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上!,因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p.,两族曲线切点连线记作AB,分析与建模,A,B,交换方案的进一步确定,交换方案 交换后甲的占有量 (x,y),0xx0, 0yy0矩形内任一点,交换路径AB,等价交换原则,X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为,C,D,(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD.,AB与CD的交点p,设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0),y,yo,0,xo,.,.,x,p,.,
