1、Matlab与数学建模,计算机科学与信息工程系 软件工程教研室 许晓华 ,2.1 工厂选址,解法1,求p(x)的一阶导数p(x),然后求p(x)=0的解.,建模所需知识点在Matlab中的实现,功能:求一元函数导数/微分 命令:diff(fun,var,n) 说明:对函数fun按变量var求n阶导数,建模所需知识点在Matlab中的实现,功能:求方程的根 命令:solve(f,x) 说明:求解方程f=0,自变量由参数x指定,建模所需知识点在Matlab中的实现,功能:控制数据精度 命令:vpa(s,d) 说明:求s的值,d为有效数字的位数 例: pi ans =3.1416 vpa(pi,10
2、) ans = 3.141592654,解法1代码,syms x; f=20*(9+x2)(1/2)+15*(5-x); %用一阶导数等于0来求极小值点 g=diff(f,x); value=solve(g,x) vpa(value),解法2,利用求一元函数极小值的函数fminbnd,求出p(x)的极小点值即可.,建模所需知识点在Matlab中的实现,功能:在区间x1,x2 内求函数fun的极小值点. 命令:xmin,fmin=fminbnd(fun,x1,x2) 说明:fun为函数，x1，x2 为x 的取值范围，xmin为极（或最）小点，fmin为极小值 注意:Matlab 7.0以上fmi
3、n函数改为fminbnd,解法2代码,syms x; f=20*(9+x2)(1/2)+15*(5-x); %直接求函数的极小值 xmin,fmin=fminbnd(f,0,5),P122 习题4:梯子长度问题,问题:如图所示,在一棟楼房的后面有一个很大的花园,在花园的边上有一个紧靠着楼房的温室,温室伸入花园2米,高3米,在温室的正上方是楼房的窗台,现有一架7米长的梯子,我们能否将这架梯子的一端放在花园中,另一端靠在楼房的墙上,使得梯子不碰坏温室棚?若否,问梯子至少应为多长?,问题分析及模型建立,Matlab求解,syms x; f=2/cos(x)+3/sin(x); %直接求函数的极小值
4、xmin,fmin=fminbnd(f,0,pi/2)梯子最少7.0235米,作业,问题:在医院的外科手术室,往往需要将病人安置到活动病床上,沿走廊推到手术室或送回病房.然而有的医院走廊较窄,病床必须沿过道推过直角拐角(如图所示).设标准病床长2米,宽1米，拐弯前的过道宽1.5米，拐弯后的过道宽1.2米，问标准的病床能否安适的推过拐角?,空中电缆的长度问题,在相距 100 米的两个塔(高度相等的点)上悬挂一根电缆，允许电缆在中间下垂 10 米。请计算在这两个塔之间所用电缆的长度。,问题分析,采用悬链线公式求精确值,比较复杂 可以用简单折线代替悬链线计算出一个电缆长度的近似值，此时，折线的长度为
5、,也可用抛物线代替悬链线计算电缆长度的近似值，此时要用到曲线拟合命令. 步骤: 1.首先用三个数据点(-50,10),(0,0),(50,10)拟合成一个抛物线 2.然后用弧长公式计算该抛物线的长度.,建模所需知识点在Matlab中的实现,功能:多项式拟合 命令:polyfit(x,y,n) 说明:x,y为已知的数据组,n为多项式的次数.结果为多项式的系数矩阵. 例: x=0:5 y=0,20,60,68,77,110 polyfit(x,y,1) polyfit(x,y,4),多项式拟合求抛物线的Matlab解法,x=-50,0,50; y=10,0,10; polyfit(x,y,2)an
6、s =0.0040 0.0000 0 所以抛物线公式为y=0.004x2,定积分的应用:求平面曲线弧长,曲线段在y=f(x)在a,b上的弧长为,建模所需知识点在Matlab中的实现,功能:求定积分 命令:int(f,x,a,b),Matlab解法,syms x; f=0.004*x2 %求f的导数g g=diff(f,x) h=(1+g2)(1/2) L=2*int(h,x,0,50) ans = 102.60606304268444982252752740087,合二为一,x=-50,0,50; y=10,0,10; s=polyfit(x,y,2) syms x; f=s(1)*x2+s(
7、2)*x+s(3); g=diff(f,x); h=(1+g2)(1/2); L=2*int(h,x,0,50) ezplot(f,-50,50),分析,虽然两塔之间的距离为100m，但是架设在两塔之间的电缆线长度却需要102.619m(悬链线公式计算结果)。 第一种方案,用折线代替悬链线，数据结果比较接近悬链线的长度。误差约为：-0.639。 第二种方案,用抛物线近似代替悬链线，得到L2=102.606。这个数据已经很接近于悬链线的长度L=102.619。 这两种近似计算方法都没有遇到非线性方程求根的难题。从实际操作来看是有价值的。,作业:P122习题3,2.2 商品市场占有率问题,问题分析与模型建立,两家公司每年顾客转移的数据资料.市场初始分配数据n年以后的市场份额为:Xn=AnX0,Matlab求解如下,A=1/4,1/3;3/4,2/3; x0=3/5;2/5; x2=A2*x0 x5=A5*x0 x10=A10*x0,设a,b为R公司和S公司的初始市场份额,则有a+b=1 为了使以后每年的市场份额不变,有即,Matlab解法,format rat; rref(A-eye(2) ans =1 -4/9 0 0,
