1、第2讲 初等模型,2.1、船艇回合问题2.2、双层玻璃的功效 2.3、崖高的估算 2.4、 经验模型 2.5、量纲分析 2.6、 几个实例,某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。,2.1 舰艇的会合,即：,可化为：,（护卫舰的路线方程）,（航母的路线方程 ）,即可求出P点的坐标和2 的值。 本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用,2.2 双层玻璃的功效,在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一下双层玻璃到底有多 大
2、的功效。 比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的 差异仅仅在窗户不同。,设玻璃的热传导系数 为k1，空气的热传导系数 为k2，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为Q,解得：,此函数的图形为,类似有,一般,故,记h=l/d并令f(h)=,考虑到美观和使用上 的方便，h不必取得过大，例如，可 取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的 3% 。,2.3 崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题
3、。,方法一,我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再积分一次，得：,若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间,进一步深入考虑,不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,最小二乘法 插值方法,2.4 经验模型,最小二乘法,设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1, n。将数据画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很象是分布
4、在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望,最小,此式对a和b的偏导数均 为0，解相应方程组，求得：,例1（举重成绩的比较）,模型1（线性模型）,模型2（幂函数模型）,模型3（经典模型）,(1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截 面积A，即L=k1A (2)A正比于身高 l的平方，即 A=k2l2 (3)体重正比于身高 l的三次方， 即B=k3l3,根据上述假设，可得,显然，K越大则成绩越好，故可用 来比较选手比赛成绩的优劣。,模型4（O Carroll公式）,(1) L=k
5、1Aa, a1 (2) A=k2lb, b2 (3) B-Bo =k3l3,假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设 （3）中O Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。,故有：,根据三条假设可 得L=k(B-B0),k和为两个常数，,此外，根据统计结果，他 得出B035公斤，,模型5（Vorobyev公式）,上述公式具有各不相同的基准，无法相互比较。为了使公式具有可比性，需要对公式稍作处理。例如，我们可以要求各公式均满足在 B=75公斤时有 L=L，则上述各公式化为：,将公式（1）（4）用来比较1976年奥运会的抓举成绩，各公式对九个级别冠军成绩的优劣排序如
6、表 所示，比较结果较为一致，例如，对前三名的取法是完全一致的，其他排序的差异也较为微小。,例2 体重与身高的 关系,插值方法,2.5 量纲分析法建模,例3 在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据量纲齐次性，G的量纲为M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式 相关的物理量有：G、m1、m2、r和F。 现考察这些量的无量纲乘积 的量纲为 由于 是无量纲的量，故应有：,此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取（a,b）=（1,0）和（a,b）=（0,
7、1），得到方程组解空间的一组基 （1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为：,而万有引力定律则可写 成f(1,2)=0，其对应的显函数为：1=g(2)，即,万有引力定律,定理2.1 （Backingham定理）方程当且仅当可以表 示为 f（1，2）=0时才是量纲齐次的，其中 f是某 一函数，1，2为问题所包含的变量与常数的无量 纲乘积。,例4（理想单摆的摆动周期）,考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻 尼 单摆，（如图），其运动为某周 期 t 的 左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之
8、间 的 关系。,考察 ， 的量纲为MaLb+dTc-2b若 无量纲，则有,此方程组中不含 e，故（0, 0, 0, 0, 1）为一解，对应的1=即为无量纲量。为求另一个无纲量可 令b=1，求得（0，1，2，-1，0），对应有,其中,此即理想单摆的周期公式。当然 k()是无法求得的，事实上，需要用椭圆积分才能表达它。,2.6 几个实例,例5（最短路径问题）,设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。A、 B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。 现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。,以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，先介绍一下凸集与凸集的性质。,下面
9、证明猜想,猜测证明如下：,还可用微积分方法求弧长，根据计算证明满足限止条件的其他连续曲线必具有更大的长度；此外，本猜测也可用平面几何知识加以证明等。,到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间中去。1973年，J.W.Craggs证明了以上结果：,例6雨中行走问题,一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全
10、部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。,1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度,2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。,3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。,2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。淋雨总量用 升来记。,3 模型建立与计算,1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋
11、雨。,淋雨的面积,雨中行走的时间,降雨强度,模型中,结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。,从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。,原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。,2）考虑降雨方向。,人前进的方向,若记雨滴下落速度为 （米/秒）,雨滴的密度为,雨滴下落的反方向,表示在一定的时刻 在单位体积的空间 内，由雨滴所占的 空间的比例数，也 称为降雨强度系数。,所以，,因为考虑了降雨的方向，淋湿的部
12、位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。,顶部的淋雨量,前表面淋雨量,总淋雨量（基本模型）,可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。,情形1,结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得,情形2,结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得,情形3,此时，雨滴将从后面向你身上落下。,出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从 你的前面落到身上情形。 因此，对于这种情况要另行讨论。,当行走速度慢于雨滴的水平运动速度
13、，即,这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是,淋雨总量为,再次代如数据，得,结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。,若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角 从背后落下，你应该以,此时，淋雨总量为,这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。,当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即,你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是,淋雨总量为,4 结论,若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单， 应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于落雨速度的水平分量。 5 注意 关于模型的检验，请大家观
14、察、体会并验证。 雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。,例7 席位分配问题,某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各 有多少个席位？,按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则,表示某单位的席位数,表示某单位的人数,表示总人数,表示总席位数,1 问题的提出,20个席位的分配结果,现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）,为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。,21个席位的分配结果,11,7,3,现象2
15、总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）,惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。 存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？,2 建模分析,目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。,一般地，,当,席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。,此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。,C,D的不公平程度大为改善！,2） 相对不公平,表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值 越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。,则A吃亏,或对A 是不公平的。,定义“相对不公平”
16、,对A 的相对不公 平值；,同理，可定义对B 的相对不公平值为：,对B 的相对不公 平值；,建立了衡量分配不公平程度的数量指标,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。,3 建模,若A、B两方已占有席位数为,用相对不公平值,讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。,不失一般性，,有下面三种情形。,情形1,说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。,计算对B 的相对不公平值,情形3,说明当对A 不公平时，给B 单 位增加1席，对A 不公平。,计算对A 的相对不公平值,则这一席位给A 单位，否
17、则给B 单位。,结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。,记,则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。,这样的分配席位的方法称为Q值方法。,若A、B两方已占有席位数为,4 推广 有m 方分配席位的情况,设,方人数为,，已占有,个席位，,当总席位增加1 席时，计算,则1 席应分给Q值最大的一方。从,开始，即每方,至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）,5 举例,甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？,按Q值方法：,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：11，乙：6，丙：4,练习,学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， dHondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。,dHondt方法,有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。,做法：,用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。,下接第三章,
