1、半 导 体 物 理(Semiconductor Physics),第三章 半导体中载流子的统计分布,3.1 状态密度3.2 费米能级和载流子的统计分布3.3 实际半导体中的载流子统计分布 1、本征半导体的载流子浓度 2、杂质半导体的载流子浓度 3、一般情况下的载流子统计分布 4、简并半导体计划总学时：8学时,什么是载流子？,半导体中能够参与导电的粒子：导带电子、价带空穴。关注载流子主要关注：占据导带的电子、占据价带的空穴。,引 言,一、热 平 衡,在温度高于绝对0度时，半导体中存在：,电子从价带或杂质能级向导带跃迁载流子的产生,电子从导带跃迁回价带或杂质能级载流子的复合,载流子浓度恒定,热平衡
2、态是在一定的温度下，载流子的两种相反过程（产生和复合）建立起的动态平衡，动态平衡建立后载流子浓度恒定。,两种过程互逆，在温度恒定的稳态情况下： 产生数=复合数 热平衡状态,二、热平衡时载流子的浓度,半导体的导电性与载流子浓度密切相关：,如：半导体导电性随温度剧烈变化，主要就是由半导体中载流子浓度随温度变化所造成的。,本章就是要解决载流子浓度的计算问题，它决定于：价带和导带允许电子存在的量子态如何按能量分布，即在能量间隔E 内有多少允许电子存在的量子态状态密度温度恒定时，电子(空穴)占据这些量子态的概率，即电子在允许的量子态中分布规律如何载流子的统计分布,3.1 允许的量子态按能量的分布状态密度
3、,为得到g(E) ，可以分为以下几步： 先计算出k空间中量子态密度； 然后计算出k空间能量为E的等能面在k空间围成的体 积，并和k空间量子态密度相乘得到Z(E)； 再按定义dZ/dE=g(E)求出g(E)。,导带和价带是准连续的，定义单位能量间隔内的量子态数为状态密度：,一、理想晶体k空间中量子态的分布,1.一维晶体,设它由N个原子组成，晶格常数为a，晶体长为L，起点在x处,周期性边界条件：在x和x+L处，电子波函数分别为(x)和(x+L)：,(x)=(x+L),周期性边界条件得出一维晶体中k状态点的分布：,2. 三维晶体,设晶体的边长为L，体积为V=L3=NVa,根据周期性边界条件，描述电子
4、状态的k允许值为：,k空间一组整数(nx, ny, nz)决定的一点，对应电子的一个允许的k状态点，也即一个允许的能量状态点。,电子的k空间量子态密度k空间代表点的密度,每一个k点占据的小立方的体积为：,一个允许电子存在的状态在k空间所占的体积,单位 k 空间允许的状态数为：,k 空间的量子态（状态）密度,考虑自旋后，k空间的电子态密度为：,三维晶体k空间中的状态分布：,二、半导体导带底和价带顶附近的状态密度,1. 考虑导带底极值点k0=0，E(k)为球形等能面情况,能量为E的等能面在k空间围成的体积：,以上体积中所包含的量子态数：,导带底附近状态密度gc(E)：,2. 实际半导体材料的状态密
5、度,能量为E的等能面在k空间围成s个旋转椭球体积内的量子态数：,导带底Ec不在k0处，上述椭球方程共s个(Si的s=6，Ge的s=4),Si、Ge导带底附近的Ek关系为:,则导带底（附近）状态密度为：,令 ，称mn*为导带底电子状态密度有效质量，则,同理，对近似球形等能面的价带顶附近，起作用的是极值相互重合的重空穴(mp)h 和轻空穴(mp)l两个能带，故价带顶附近状态密度 gv(E)为两个能带状态密度之和：,其中 ，称为价带顶空穴状态密度有效质量。,3.2 热平衡态时电子在量子态上的分布几率费米能级和载流子的统计分布,半导体中电子数目较多，且在一定的温度下做无规则热运动，即可占据低能态，也可
6、占据高能态 载流子随时间的变化无规律 对大量电子的整体，在热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统计分布规律性(从长期时间内的统计结果看，电子按能量的分布是稳定的) 载流子随时间的统计分布有规律,1、费米分布函数和费米能级,服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计规律k0玻尔兹曼常数，T绝对温度，EF 费米能级系统粒子数守恒：,费米能级的物理意义：化学势当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况下，系统中增加一个电子所引起的系统的自由能的变化。热平衡状态电子系统有统一的费米能级。,费米函数的特性,T=0:f (E)=1,当EEF时f (E)=0,当E0:f (E)EF时f (E)=1/2,当EEF
7、时f (E)1/2,当Ek0T，则分母中的1可以忽略，此时上式就是电子的玻耳兹曼分布函数。1-f(E)是能量为E的量子态不被占据的概率，也就是量子态被空穴占据的概率：同理，当EF-Ek0T时，上式转化为下面的空穴玻耳兹曼分布,2、玻耳兹曼分布函数,半导体中常见的是费米能级EF位于禁带之中，满足 Ec-EFk0T或EF-Evk0T的条件。因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都在能带极值附近。通常将服从玻耳兹曼统计规律的半导体称为非简并半导体；
8、而将服从费米统计分布规律的半导体称简并半导体。,复习与总结,热平衡的概念温度一定载流子浓度恒定 计算一定温度下载流子的浓度(载流子在价带和导带能级的分布情况)：允许载流子占据的量子态按能量的分布状态密度电子在允许的量子态中如何分布载流子的统计分布函数 费米分布函数及其特点 波尔兹曼分布函数,3、半导体中导带电子和价带空穴浓度,导带底附近能量E E+dE区间有dZ(E)=gc(E)dE个量子态，而电子占据能量为E的量子态几率为f(E)，对非简并半导体，该能量区间单位体积内的电子数即电子浓度n0为： 对上式从导带底Ec到导带顶Ec 积分，得到平衡态非简并半导体导带电子浓度,引入中间变量：,则：,由
9、于玻耳兹曼分布中电子占据量子态几率随电子能量升高急剧下降，导带电子绝大部分位于导带底附近，所以将上式中的积分用 替换无妨，因此,已知积分：,上式积分必然小于,其中：,称为导带的有效状态密度,电子占据能量为Ec的量子态的概率,同理可以得到价带空穴浓度：,其中 称为价带有效状态密度,平衡态非简并半导体导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0与温度和费米能级EF的位置有关。其中温度的影响不仅反映在Nc和Nv均正比于T3/2上，影响更大的是指数项；EF位置与所含杂质的种类与多少有关，也与温度有关。,将n0和p0相乘，代入k0和h值并引入电子惯性质量m0，得到,3、载流子浓度乘积n0p0,平衡态非简并半导体n
10、0p0积与EF无关；对确定半导体，mn*、mp*和Eg确定，n0p0积只与温度有关，与是否掺杂及杂质多少无关；一定温度下，材料不同则 mn*、mp*和Eg各不相同，其n0p0积也不相同。温度一定时，对确定的非简并半导体n0p0积恒定；热平衡态非简并半导体不论掺杂与否，上式都适用。,未知量：no、p0、EF,为了求解载流子在浓度，需要有关于以上三个参量的第三个方程,载流子浓度的计算问题是否已解决？,3.3 本征半导体的载流子浓度与本征费米能级,本征半导体：不含有任何杂质和缺陷。 本征激发：导带电子唯一来源于成对地产生电子空穴对，因此导带电子浓度就等于价带空穴浓度。 本征半导体的电中性条件是 qp
11、0-qn0=0 即 n0=p0 将n0和p0的表达式代入上式的电中性条件 取对数、代入Nc和Nv并整理，得到,上式的第二项与温度和材料有关。室温下常用半导体第二项的值比第一项(Ec+Ev)/2(约0.5eV)小得多，因此本征费米能级EF=Ei基本位于禁带中线处。 本征载流子浓度n0=p0=ni：,代入相关物理常数后：,本征载流子浓度,总结：任何平衡态非简并半导体载流子浓度积n0p0等于本征载流子浓度ni的平方；对确定半导体，受式Nc和Nv、指数项exp(-Eg/2k0T)影响，本征载流子浓度ni随温度升高显著上升。,300K下锗、硅、砷化镓的本征载流子浓度,基本上是一条直线，直线斜率= -Eg
12、(0)/2k0,实际中，可由实验数据确定直线斜率，算出0K下的禁带宽度：Eg(0)=-2k0斜率。计算结果与光学法测得的结果相符合,室温时，硅的ni为9.65109cm-3；砷化镓的ni为2.25106cm3。上图给出了硅及砷化镓的ni对于温度的变化情形。正如所预期的，禁带宽度越大，本征载流子浓度越小。,3.4 杂质半导体的载流子浓度,杂质的浓度工艺控制参数杂质的电离度如何确定？,影响载流子浓度的杂质浅能级杂质(施主、受主),以施主杂质为例，杂质能级为ED： 施主杂质被电离电子不占率杂质能级 施主杂质未电子电子占据着杂质能级可见解决杂质电离度就是要解决电子在杂质能级上的分布情况！,是否可以采用
13、费米分布函数？ 是！,一、电子占据施主能级的几率 杂质半导体中，施主杂质和受主杂质要么处于未离化的中性态，要么电离成为离化态。费米分布函数中一个能级可容纳自旋方向相反的两个电子，而施主杂质能级上要么被一个任意自旋方向电子占据(中性态)，要么未被电子占据(离化态)，可以证明：,空穴占据受主能级几率：,电子占据施主能级几率：,g为基态简并度，对于Ge、Si和GaAs，gD=2，gA=4：,(2) 电离杂质的浓度nD+和pA-,(1) 杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA ：,施主浓度ND和受主浓度NA就是杂质能级上的量子态密度,如果ED-EFk0T(EF-EAk0T)，则未电离杂质的浓度约为0，
14、而电离杂质的浓度与杂质浓度相等，杂质几乎全部电离。反之，EF-EDk0T(EA-EFk0T)时，则电离杂质的浓度约为0，而未电离杂质的浓度与杂质浓度相等，杂质基本上没有电离。如果费米能级EF与杂质能级重合时：施主杂质有1/3电离，还有2/3没有电离；受主杂质有1/5电离，还有4/5没有电离。,上式表明杂质的离化情况与杂质能级ED(EA)和费米能级EF的相对位置有关:,求解步骤与本征半导体类似。多了一种带电粒子电离后的杂质,二、n型半导体的载流子浓度,根据上式求EF比较困难。在不同温度分为，可将上式进一步简化。,假设只含一种施主杂质，浓度为ND。热平衡条件下的电中性条件应为：n0=p0+nD+,
15、因此有：,1、低温杂质离化区,特征：本征激发可以忽略， p00 导带电子主要由电离杂质提供。,电中性条件 n0=p0+nD+ 可近似为：n0=nD+,温度较低时，杂质尚未完全电离,(1) 低温弱电离区：特征是温度太低，电离杂质占总杂质浓度的比例很小，即 nD+ ni的条件，n0在饱和电离区保持等于ND不变,强、弱电离的区分：,判定施主杂质达到饱和电离的方法：,饱和电离时(ED-EF)k0T:,饱和电离状态，认为未电离的施主浓度最多占总施主浓度的10%，即：,据上式，在一定温度下可以确定能达到饱和电离状态的施主浓度上限；在施主杂质浓度一定时也可确定温度的下限。,决定半导体杂质饱和电离(nD+90
16、%ND)的因素：,1、杂质电离能ED=EC-ED2、杂质的浓度温度一定时有上限3、温 度浓度一定时有下限,电中性条件：n0=ND+p0,特征：(1) 杂质全电离 nD+=ND (2) 本征激发不能忽略,2、过渡区,n0、p0的另一种示方法：,电中性条件写为：,双曲正弦函数,讨论:,显然：n0p0，这时的过渡区接近于强电离区,多数载流子（多子）n0少数载流子（少子）p0,3、高温本征激发区,特征：温度较高 本征激发产生的本征载流子数远多于杂质电离产生的载流子数,此时杂质半导体进入本征激发区，表现为本征导电类型，掺入的杂质失去对半导体导电类型的影响。本征激发区的载流子浓度随温度迅速增加，费米能级趋
17、近于本征费米能级,1、温度确定后，保持半导体为n型导电类型的条件是NDni ，定量的限制为 ND10ni 温度一定时掺杂浓度有下限2、杂质浓度确定后，保持半导体为n型导电类型的条件同样为 ni ND/10根据图3-7，ni随温度增加，确定ni为ND/10时所对应温度即为温度上限,掺杂的半导体在实际的器件应用中要求其表现相应的杂质导电类型，比如掺施主半导体要求表现为n型导电类型，而如果半导体进入本征激发区，则其导电型失效，应用于器件的作用也就失效。因此，对杂质半导体的工作条件有一定要求，以n型半导体为例：,4、杂质半导体的工作条件,一般的器件要求半导体工作在饱和电离区，因为浓度与温度无关，器件性
18、能稳定，表现为强烈的杂质导电类型，根据以下两个条件：,温度一定时，可以确定饱和电离区掺杂浓度的上下限掺杂浓度一定时，可以确定饱和电离区温度的上下限,例 题,硅中掺入1016cm-3的硼，则其表现为杂质导电类型的最佳工作温度范围为多少？,5、总结,下图显示当施主浓度ND1015cm3时，硅的电子浓度对温度的函数关系图。,:,:,:,根据上式求EF比较困难。在不同温度分为，可将上式进一步简化。,假设只含一种受主杂质，浓度为NA。热平衡条件下的电中性条件应为：p0=n0+pA-,因此有：,五、p型半导体的载流子浓度,(1) 低温弱电离区,p0=NA，n0=ni2/NA,(2) 强电离区(饱和电离区)
19、,(3) 过渡区：,(4) 本征激发区：,考虑强电离、室温，EFN 费米能级的位置：反映半导体的导电类型和掺杂水平,六、小结单一杂质半导体,ND高强n型,ND低弱n型,NA高强p型,NA低弱p型,3.5 补偿情形下的载流子浓度,含少量受主杂质的n型半导体：NDNA,电中性条件,或,NDNA,引入变数：,方程简化，得到关于Z的一元3次方程，求解复杂，实际无法应用,3.5 补偿情形下的载流子浓度,化简方程，多温度区讨论,1、低温弱电离区,本征激发可忽略，NDNA，EF钉扎在ED附近，远在EA之上，EA完全被电子填充：p0=0，pA-=NA,中性方程：,（1） 温度极低：NAn0,3.5 补偿情形下
20、的载流子浓度,（2） 温度较高：NAni,3.5 补偿情形下的载流子浓度,3. 过渡区（考虑本征激发作用）,4. 本征激发区,3.5 补偿情形下的载流子浓度,多种施主，多种受主并存,电中性条件,已知Si中只含一种施主杂质，其浓度ND=1015cm-3，如果在40K时测得电子浓度为1014cm-3，估算该施主杂质的电离能(gd=2)?已知Si中掺入浓度为1016cm-3的硼，试在300K时求出：（1）电子和空穴的浓度；（2）费米能级。在施主浓度ND=1014cm-3的Ge材料中，求出室温下的电子和空穴浓度。制作结型半导体器件需要一种N型材料，该器件的最高工作温度400K。（1）在这种应用中，掺入
21、1015cm-3的As原子的Si半导体适用吗？（2）如果掺入1015cm-3的Sb原子的Ge，结果又怎样？Si样品中施主和受主浓度分别为1016cm-3和41015cm-3，设室温下杂质已经全部电离，计算电子和空穴浓度及费米能级位置。一个有杂质补偿的半导体样品，已经掺入的受主浓度NA=1015cm-3，设室温下费米能级EF恰好与施主能级ED重合，电子浓度n=51015cm-3。试求：（1）样品中的施主浓度ND=？（2）电离杂质和中性杂质的浓度各是多少？,3.6 简并半导体,单一杂质，n型半导体，处于强电离区（饱和区）,1、简并的出现,当NDNC时，EFEC，波尔兹曼统计不适用,必须用费米统计，
22、考虑泡利不相容原理,载流子简并化 简并半导体,2、简并半导体的载流子浓度,令,费米积分,简并半导体不适用,下图是费米-狄拉克积分F1/2()与的关系：,图3.16 费米-狄拉克积分F1/2()与关系,3、简并化条件简并与非简并的相对误差（判据）,相对误差：,EC-EF2k0T非简并,0Nc，掺杂浓度一般很高。 发生简并的ND还与ED有关，ED较大则发生简并所需要的ND也大，反之亦反。简并与温度有关，ED、ND确定后，简并有一定温度范围。,3、简并化条件临界浓度的估算,估算在室温条件下，EF与EC重合发生简并时，ND为多少？,掺磷的n型锗，施主电离能ED =0.012eV，mn*=0.56m0：
23、,掺磷的n型硅，ED =0.044eV，mn*=1.02m0：,300K下锗、硅、砷化镓的有效状态密度：,4、简并时杂质的电离,简并时杂质不能充分电离,非简并时，室温下通常EFED，nD+ND，（饱和电离区）,简并时，EFEC，nD+ND，简并时不能充分电离,本章总结,温度一定的热平衡态载流子浓度恒定,热平衡态(产生=复合),状态密度,载流子的统计分布,费米函数,波尔兹曼函数,载流子浓度（与EF有关）(n0p0与EF无关),电中性条件,本征半导体（温度）,杂质半导体（杂质浓度、温度）,多温度区段变化规律,费米能级,载流子浓度,ni、EF,简并时的物理意义、浓度计算、判据,半导体的导电性J=nq
24、V,EF的位置反应半导体导电类型、掺杂水平,简并,非简并,gC、gV,+,非简并,简并,设Si晶体中导带底附近电子的纵向有效质量为ml，横向有效质量为mt如外加电场沿100方向，试写出100和001方向导带底能谷中电子的加速度。若外加电场沿110方向，试求100方向导带底能谷中电子的加速度与电场之间的夹角。,根据周期性边界条件，证明有N个原子构成的立方晶体，每个布里渊区中有N个k状态。,制造晶体管一般是在高杂质浓度的n型衬底上外延一层n型外延层，再在外延层中扩散硼而成的。（1）设n型硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能是0.039eV，300K时的EF位于导带地下面0.026eV处，计算锑的浓度和导带中电子的浓度。（2）设n型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为4.61015cm-3，计算300K时EF的位置及电子和空穴的浓度。（3）、在外延层中扩散硼后，硼的浓度分布随样品浓度变化。设扩散层某一深度出硼浓度为5.21015cm-3，计算300K时EF的位置及电子和空穴的浓度。（4）、如温度升高到500K，计算（3）中电子和空穴浓度。,
