1、高三第一轮复习 命题与条件1,pq若 则互否互逆互为逆否,pq若 则 ,qp若 则,qp若 则互逆互否命 题 与 条 件 教 师 版【课前预习】一、知识梳理1. 四种命题形式所谓命题是指: 能够_ 的陈述性语句, 命题按其正确与否分为真命题和假命题.若以“若 p, 则 q”来表示原命题, 那么命题的四种形式及其关系如下图所示:其中 和 分别表示语句 的否定形式.pq,互为逆否命题的两个命题是等价的, 即它们“ ”. 上述示意图中, 互为逆否命题关系有两组: 原命题及其逆否命题; 否命题与逆命题.2. 否定形式关键词 是 等于 大于 都是 任意是 至少 n 个 p 或 q否定词 不是 不等于 小
2、于或等于 不都是 存在不 至多 个1 或【评注】请各位老师注意表格的改动.3. 反证法反证法证明的基本步骤: _.4. 充分条件与必要条件以 p 作为条件, q 作为结论, 则有:充分条件: 如果 , 则 p 叫做 q 的充分条件; 必要条件: 如果 ( ), 则 p 叫做 q 的必要条件;充要条件: 如果 , 且 , 即 , 则 p 叫做 q 的充要条件;pq既不充分又不必要条件: 若 且 , 则 p 叫做 q 的既不充分又不必要条件.5. 子集与推出关系设有非空集合 满足 , 满足 ,A|xpB|x(1) , 则 p 是 q 的_条件; 特别地, 若 ,则 p 是 q 的_条件;BA(2)
3、 , 则 p 是 q 的_条件; 特别地, 若 ,则 p 是 q 的_条件;明确判断真假同真同假反设归谬结论充分 充分非必要必要 必要非充分高三第一轮复习 命题与条件2(3) , 则 p 是 q 的_条件;BA(4) 若 _; 则 p 是 q 的非充分非必要条件.【评注】请注意这里 A 和 B 均要求是非空集合.二、基础练习1. “若 , 则 ”的否命题为 _.ab21ab2. 填写常见语句的否定形式.(1) “a,b 都是有理数”的否定形式是_;(2) “a,b 至多有一个为 0”的否定形式是_;(3) “直线 l 与平面 内的任意直线垂直” 的否定形式是_.3. “ ”是“ ”的_ 条件.
4、1x24. 已知 为非零向量, 那么“ ”是“ 与 所在直线平行 ”的_条件.ab/ab5. “ ”是“直线 与 垂直”的_条件.0m5xy31xmy6. 写出实数 a,b 均大于 0 的: 一个充分必要条件: _; 一个充分不必要条件: _.【例题解析】例 1. 写出下列命题的逆命题, 否命题与逆否命题. (1) 若 x, y 都是奇数, 则 是偶数;xy(2) 若 , 则 或 ;00(3) , 若 , 则 中至少有一个非零.12,R(N)n 2210nx 12,nx(1)解: 逆命题: 若 是偶数, 则 x, y 都是奇数;xy否命题: 若 x, y 不都是奇数, 则 不是偶数;逆否命题:
5、 若 不是偶数, 则 x, y 不都是奇数.(2)解: 逆命题: 若 或 , 则 ;00否命题: 若 , 则 且 ;xy逆否命题: 若 且 , 则 .xy(3)解: 逆命题: 若 中至少有一个非零, 则 ;12,n 2210nxx否命题: 若 , 则 全都是零;20x 12,n逆否命题: 若 全都是零 , 则 .12,n 2n【评注】本题需要落实: (1)否定词; (2)否命题与逆否命题.例 2. 填空.(1) 设 A 是 B 的充分非必要条件, B 是 C 的充要条件, C 的必要条件是 D, 则 D 是 A 的_条件;解: C 的必要条件是 D, 则 D 是条件, 由必要性: C D.充分
6、必要A 与 B 互不包含若 , 则ab21aba, b 不都是有理数a, b 都是零平面 内存在直线与直线 l 不垂直充分非必要必要非充分充分必要(答案不唯一)0aba,b 均大于 1(答案不唯一)高三第一轮复习 命题与条件3即有 A B C D, 因此 D 是 A 的必要非充分条件.(2) 如果 A 是 B 的充分条件, 那么 B 是 A 的_条件 , 是 的_条件, 是 的 ABBA_条件.解: A B, B 作为 A 的条件是必要条件.另一方面 A B 的等价命题是 , 因此 是 的必要条件, 是 的充分条件.【评注】本题需要落实: (1)推出关系的传递性; (2)四种条件; (3)命题
7、与其逆否命题的等价性.例 3. 记 A: 充分非必要条件; B: 必要非充分条件; C: 充分必要条件; D: 既非充分又非必要条件. 试用 A, B, C, D 完成下列填空.(1) “ ”是“ ”的_;2()4xkAtan1x(2) 设 为非零向量. “ ”是函数“ 为一次函数”的_;,abb()()fxab(3) “ ”是“ 一元二次方程 有实数解”的_;1m20m(4) 对于数列 , “ ”是“ 为递增数列”的_.n1|()naAn答案: (1)A; (2)B; (3)A; (4)A.【评注】本题需要落实: 四种条件 .例 4. 求解下列问题.(1) 是否存在实数 m, 使得“ ”是“
8、 ”的充分条件? 必要条件?20x230x解: 设 , 则 ,A|20xA()m设 , 则 ,B|3B若为充分条件, 则 , 故实数 m 可取任意值;若为必要条件, 则 , 不存在这样的实数 m.(2) 已知函数 , 试写出“ 对任意实数 x 都成立” 的一个充分不必要条2()1)()3fxax()0fx件.解: 若 ,210a当 时, 恒成立, 符合题意;()3fx当 时, , 不恒成立, 不合题意;23x()0f若 ,2101a则当 时, 不等式 恒成立,2213(,)()()()0aa ()0fx综上所述, 的充要条件为 ,0fx,故 a 取自上述集合的真子集均为所求的充分不必要条件.【
9、评注】本题需要落实: 子集与推出关系 .高三第一轮复习 命题与条件4例 5. 求证: 实系数一元二次方程 有两个异号实根的充分必要条件是 .20()axbca 0ac证明:充分性: 设 , 则 , 从而方程有实根,0ac240bc由韦达定理, , 即两个实根异号.1xa必要性: 如果方程有两个异号实根 , 则 .120cxa证毕.【评注】本题需要落实: 充分必要条件的证明格式 .命 题 与 条 件【巩固练习】1. 填空.(1) 一个命题的逆否命题的否命题, 是原命题的_命题;(2) 写出命题“若 p 是正确的, 那么 q 不正确”的等价命题: _.2. 填空.(1) A 是 B 的充分非必要条
10、件, 则 是 的_条件;AB(2) 设 M: , N: (A 为三角形内角), 则 M 是 N 的_条件;6021cos(3) 设全集为 I, 试写出“ ”的一个充分必要条件 :_.【评注】各位老师请注意, 删去学生讲义上的第(4)题.3. 设 A 与 B 均为非空集合 , 则“ ”是“ ”的_条件.ABxx【评注】各位老师请注意, 加上“A 与 B 均为非空集合”.4. 选择题.(1) 若乙是甲的充分非必要条件, 是丙的必要非充分条件, 那么甲是丙的 答 B A. 充分条件 B. 必要条件C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件【评注】本题中, 甲不能推出乙, 且乙不能推出丙, 但由于推不
11、出是没有传递性的, 故不能判断甲是否能推出丙, 选项需要修改.(2) “a,b,c 成等比数列”是“ ”的 答 A 2bacA. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件(3) 已知直线 a,b 以及平面 , 则 的充分不必要条件是 答 D /abA. 且 B. 且/ /abC. 且 D. 且(4) 下列命题是真命题的是 答 D A. “ 且 ”是“ ”的充要条件3x2y5xy逆若 q 正确, 则 p 不正确必要非充分充分必要(答案不唯一)I(ABI充分高三第一轮复习 命题与条件5B. “ ”是“ ”的充分条件ABC. “ ”是“一元二次不等式 的解集为
12、R”的充要条件240bac20axbcD. 一个三角形的三边满足勾股定理的必要条件是此三角形为直角三角形(5) “直线 l 与平面 内的无数多条直线都垂直”是“ 直线 l 与平面 垂直” 答 B A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件5. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题, 判断它们的真假, 并说明理由.(1) 如果两个实数都是偶数 , 那么这两个数的和是偶数 ;(2) 若 , 则 ;ab2(3) 垂直于同一平面的两直线平行;(4) 平行于同一平面的两直线平行.(1)解: 逆命题: 如果两个实数的和是偶数, 则这两个数都是偶数; 假命题;否命
13、题: 如果两个实数不是偶数 , 那么这两个数的和不是偶数; 假命题;逆否命题: 如果两个实数的和不是偶数 , 则这两个数不都是偶数; 真命题.(2)解: 逆命题: 若 , 则 ; 假命题;2ab否命题: 若 , 则 ; 假命题;2逆否命题: 若 , 则 ; 真命题.2a(3)解: 原命题: 若两直线同垂直于某一平面, 则它们平行;逆命题: 若两直线平行, 则它们同垂直于某一个平面 ; 真命题 ;否命题: 若两线不同时垂直于任意一个平面 , 则它们不平行; 真命题;逆否命题: 若两直线不平行, 则它们不同时垂直于任意一个平面; 真命题.(4)解: 原命题: 若两直线同平行于某一平面, 则它们平行
14、;逆命题: 若两直线平行, 则它们同平行于某一个平面 ; 真命题 ;否命题: 若两直线不同时平行于任意一个平面 , 则它们不平行; 真命题;逆否命题: 若两直线不平行, 则它们不同时平行于任意一个平面; 假命题.6. 已知 , , 且 是 的充分条件, 求实数 a 的取值P|1|2x2S|(1)0xaxSxP范围.解: , ;(,)(3)|()由 是 的充分条件, ,SxP若 , 则 , 无法满足 ;1a()(1)aSP若 , 则 , 无法满足 ;,若 , 则 , 则 , 即 ;()()3a综上所述, a 的取值范围是 .高三第一轮复习 命题与条件67. 证明: 关于 x 的方程 有一个根为
15、1 的充要条件是 .20abxc 0abc证明:充分性: 若 , 则 , 即方程有一个根为 1;c21必要性: 若方程 有一个根为 1, 则 1 代入方程 , 等式成立, 即 .2x c证毕.8. 已知命题 p: 有两个不等的负实数根; 命题 q: 无实数根. 若命210xm24()10xmx题 p 与命题 q 有且只有一个为真, 求实数 m 的取值范围.解: 设方程 的两个根为 ,2 12x方程 有两个不等的负实数根 ,10x120x方程 无实数根 ;24()mx6()413mm由题意, 则 p 真 q 假或 p 假 q 真,若 p 真 q 假, 则 且 , 即 ;(2,)(,13)3,)若
16、 p 假 q 真, 则 且 , 即 ;)(2综上所述, .(1,3,)【提高练习】9. 已知 是区间 上的单调递减函数. 若将方程 和 的解分别称()yfx(,)()fx1()()fx为函数 的不动点和稳定点, 则“ 是 的不动点 ”是“ 是 的稳定点”的0x()yf0y答 B A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件解: 由题意可知, 在区间 上存在反函数 ,()yfx(,)若 是 的不动点, 则 ,0x0fx由反函数定义可知 , 即 , 也即 是 的稳定点;10()f 10()()fx0()yfx反之, 考虑函数 , 其反函数为其本身, 故任意 , 均有 ,x A100()fx现假设 , 则 是 的稳定点, 但显然 , 即 不是 的不动点;00()yfx()1fy综上所述, 答案为 B.10.设 : 或 , : 或 , 是 的充分条件, 求 m 的取值范围.1x521xm23()xmA解: 所对应的集合为 ,A(,)所对应的集合为 ,B3)由 是 的充分条件, 则 ,若 , 即 时, 集合 , 符合题意;231mBA高三第一轮复习 命题与条件7若 , 即 时, 则 , 解不等式得: ;231mm235101m综上所述, .0
